Теория решения уравнений, движение по парадигмам
Теорема 0:
Существует всего 3 инструмента преобразования уравнений
(в результате которых получаются уравнения, равносильные исходным. То есть уравнения, корни которых в точности те же, что и корни исходного уравнения.):
1)применение ко всему уравнению некоторой математической операции.(чаще всего используется)
2)преобразование содержащихся в нём подвыражений согласно правилам алгебраических преобразований;
3)вычисление содержащихся в нём подвыражений, если они содержат только числа;
Теорема1:
Чтобы решить уравнение, найди последнюю операцию в той части уравнения, где находится искомая переменная (далее Х) и примени ко всему уравнению операцию, обратную найденной.
/обратите внимание, в эту теорему заложены парадигмы:
1)Х входит в уравнение только 1 раз;
2)в бинарных операциях Х находится на 1-ой позиции./
Теорема2:
Если последняя бинарная операция в той части, где находится Х, содержит Х во 2-ой позиции, то следует преобразовать уравнение так, чтобы Х находилось в этой операции в 1-ой позиции.
(подробнее об этом – отдельная теорема)
/парадигма "в бинарных операциях Х находится на 1-ой позиции" отвергнута./
Теорема4:
Если Х входит в уравнение много раз, то следует преобразовать уравнение так, чтобы Х входил в уравнение 1 раз. (подробнее об этом – отдельная теорема)
/парадигма "Х входит в уравнение только 1 раз" отвергнута.
Добавлена парадигма:
3)все вхождения Х имеют место в одной части./
Теорема3:
Если искомая переменная входит в уравнение в разных частях, то следует преобразовать уравнение так, чтобы все вхождения искомой переменной были в одной части. (подробнее об этом – отдельная теорема)
/отвергнута парадигма "все вхождения Х имеют место в одной части"/
Отсюда пересмотр теорем 1-4.
Теорема5:
Если последняя бинарная операция в той части, где находится Х, содержит Х в 1-ой позиции, то примени теорему1, иначе – примени теорему 2.
Теорема6:
Если Х входит в уравнение 1 раз, то примени теорему 5, в противном случае теорему4 или теорему3.
Еще один виток пересмотра даёт:
Теорема5:
Если последняя операция в той части, где находится Х, унарна или бинарна и содержит Х в 1-ой позиции, то примени ко всему уравнению операцию, обратную найденной, иначе - преобразуй уравнение так, чтобы Х находилось в этой операции в 1-ой позиции. (подробнее об этом – отдельная теорема)
Теорема6:
Если Х входит в уравнение 1 раз, то, если последняя операция в той части, где находится Х, унарна или бинарна и содержит Х в 1-ой позиции, то примени ко всему уравнению операцию, обратную найденной, иначе - преобразуй уравнение так, чтобы Х находилось в этой операции в 1-ой позиции. (подробнее об этом – отдельная теорема), иначе (Х входит в уравнение много раз), если Х входит в уравнение в разных частях, то следует преобразовать уравнение так, чтобы все вхождения искомой переменной были в одной части. (подробнее об этом – отдельная теорема), иначе (Х входит в уравнение много раз в одной части) - преобразуй уравнение так, чтобы Х входил в уравнение 1 раз. (подробнее об этом – отдельная теорема)
**
Таким образом, получилось, что теорема6 вобрала в себя все предыдущие теоремы. Но вырабатывалась она именно так, попарадигменно (методом восхождения по парадигмам, а точнее – методом освобождения от парадигм, то есть от решения частной задачи к решению всё более общих задач)
Каковы же дополнительные теоремы к теоремам 2, 3 и 4?.
Теорема7 (дополнительная к теореме 2) (а точнее – процедура)
Процедура7:
Если бинарная операция – сложение или умножение, то просто переставь с ней операнды, иначе,
если вычитание, то примени ко всему уравнению унарный минус, иначе, если деление, то примени ко всему уравнению унарное деление, иначе, если степень, то примени ко всему уравнению логарифм по 1-ому операнду степени.
Процедура8 (дополнительная к теореме 3)(Х в разных частях)
Если в некоторой части уравнения последняя операция унарна, то преврати её в бинарную (например унарный минус – в вычитание), иначе, если последняя операция бинарна и подвыражение, содержащее Х, находится в ней на 1-ой позиции, примени к данной операции процедуру 7, иначе (подвыражение, содержащее Х, находится в этой операции на 2-ой позиции) - примени операцию, обратной данной, ко всему уравнению.
Процедура9 (дополнительная к теореме 4)(Х много в одной части)
К той части, в которой находится Х, примени правило алгебраических преобразований, позволяющее перейти от выражения, содержащего некоторую переменную 2 раза к выражению, содержащее эту же переменную 1 раз. (например: 1)a*c+b*c=(a+b)*c; 2)a^n*b^n=(a*b)^n)