В природе существует четыре основные первичные элементы структур, как составляющие десятирицы: монады, диады, триады и тетрады. В математике одни считают, что имеются скаляры, векторы и билинейные формы и тензоры, частными случаями последних являются все предыдущие. Другие представляют, что тензор обобщает понятия скаляра, вектора и матрицы и что привычные математические объекты лишь частные примеры более общего понятия, коим является тензор.
Кто прав? Чтобы разобраться в этом, необходимо выяснить физическую сущность математических объектов.
Математика вместе с языком, искусством и изобретательством образовывают систему мыслительной деятельности человека. Вместе с тем она сама является системой, так как содержит все присущие системам атрибуты.
Она существует в среде, которая является источником своего существования. Это можно представить, как множества с математическими объектами. В математике осуществляются какие-то операции, как аналог функционирования системы.
Она имеет свои фазовые состояния. У нее есть неопределенности, взаимодействия и преобразования. С ее помощью формулируются задачи, которые имеют решения, что аналогично органу саморегуляции в естественных системах или органу управления в искусственных системах.
Математика должна быть построена по образу и подобию естественных систем, тогда она будет способна предсказать то, что существует, но пока недоступно человеческому сознанию. Так оно, в принципе и есть, но не всегда и не везде.
Даже если математика построена на ложных физических принципах, то ее формулы работают, а теория создает некие фантастические конструкции. Так случилось и с теорией относительности, и с квантовой механикой.
Это свидетельствует о том, что законы в математике и в реальной действительности одни и те же, только сформулированы по-другому. Однако математика может «оторваться» от реальной действительности и изобрести такие конструкции, которые не существуют в реальности. В связи с этим возникает вопрос: а нужна ли человеку такая математика, которая ничего не отображает в настоящем и не может ничего отобразить в будущем?
Для того, чтобы такого не случалось, надо математику строить по законам естественного развития Природы. Прежде всего, необходимо рассмотреть единичные объекты Природы и их аналоги в математике, т.е. естественные количественные объекты и их меру.
Элементы десятирицы должны соответствовать основным математическим объектам. Монада – это скаляр, как одномерная структура, диада - это двумерный комплекс, триада - это трехмерный вектор, тетрада - это четырехмерный тензор.
Особенностью этих элементов является то, что каждый последующий содержит все предыдущие. Комплекс содержит два скаляра, вектор – три комплекса, в которых по два скаляра, тензор – четыре вектора, в которых по три комплекса, содержащих по два скаляра. Получается цепочка скаляров: 1-2-6-10 (рисунок). Это напоминает расположение электронов и орбит атома. Видимо не случайно.
Вообще говоря, в математике считается, что «тензор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого». Или «тензор – это математический объект, который как объект не зависит от смены системы координат, но его компоненты при смене системы координат преобразуются по определенному математическому закону»
Очевидно, второе определение более предпочтительно. И в том , и в другом случае считается, что частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т.п. Вряд ли составляющие тензора скаляр, комплекс и вектор, можно назвать частными случаями, поскольку они являются его частью.
Здесь, очевидно, следует уточнить природу математических объектов. С одной стороны, меньшие образовывают большие, а большие распадаются на меньшие. Видимо, это не одно и то же. Два скаляра образуют комплекс, три комплекса – вектор, четыре вектора – тензор. А распадаются они в обратной последовательности. Поэтому, говорить о том, что меньшие являются частным случаем больших, вряд ли обоснованно.
Все структурные элементы могут существовать не только как самостоятельные целостные объекты, являясь элементами множеств, но и как среды (источники) существования систем.
Например, у естественных и технических систем таким источником является энергия, у производственных систем источником существования служат сырьевые ресурсы. Есть сырье – производство работает, нет сырья – производство стоит. Таких примеров много, где в качестве источника существования выступают, либо монады (скаляры), либо диады (комплексы), либо триады, (векторы) либо тетрады (тензоры).