Распутаем электротехнику

Распутаем электротехнику

0.Ток через пассивный элемент цепи и мощность на нём

Ток через активный элемент цепи, понятное дело, течёт в том направлении, в каком потенциал на нём, этом элементе, увеличивается. (что аналогично процессу движению в гору. Для этого нужно затратить энергию.)
Кроме того, понятно, что ток через пассивный элемент цепи течёт в том направлении, в каком потенциал на нём, этом элементе, уменьшается. (что аналогично процессу движению под гору. При котором энергия, затраченная (но накопленная) при движении в гору, высвобождается.)
Но определение понятия «разность потенциалов», как начальный потенциал минус конечный, используемое и поныне, путает все карты.
Ибо в результате, вместо естественного для пассивного элемента:
I=-U/R
и
P=U*(-U/R)=-U^2/R
получается:
I=U/R
и
P=U*(U/R)=U^2/R
Тогда как для активного элемента, при данном определении разности потенциалов, вместо естественного
I=U/R
и
P=U*(-U/R)=U^2/R
получается:
I=-U/R
и
P=U*(-U/R)=-U^2/R

Но самое-то отвратительное в том, что и поныне считается, что
I=U/R
и
P=U*(-U/R)=U^2/R
применимо как для пассивного, так и для активного элемента. Что есть уже двойная ошибка.

Между тем совершенно очевидно, что мощность электрического тока на активном элементе цепи положительна, а на пассивном – отрицательна. Потому что активный элемент цепи снабжает цепь электрической энергией, тогда как пассивный её потребляет (то есть электрическая энергия через него уходит из цепи, и причём безвозвратно)
А, чтобы это было так, ток через пассивный элемент цепи должен быть противоположен по знаку разности потенциалов на этом элементе, вычисленной в направлении тока. И притом вычисленной по формуле: конечный потенциал минус начальный потенциал (то есть в соответствии с понятием приращения, а не наоборот, как принято до сих пор)
В итоге так:
fab=fb-fa
Iab=-Uab/Rab

Иначе говоря: ток через пассивный элемент течёт в том направлении, в котором потенциал на нём падает.

0б.Токи и мощности на реактивных элементах цепи

Каковы же направления токов и знаки мощностей на реактивных сопротивлениях, то есть на конденсаторах и катушках?
Об этом заставило задуматься правило определения комплексов (=комплексных отображений) полных мощностей, которое предписывает для этого умножить комплекс напряжения на данном элементе на сопряженный комплекс силы тока. Но почему сопряженный-то? 
Проверка на синусоидальных напряжениях показывает: для того, чтобы в процессе зарядки конденсатора и катушки мощности на них были отрицательными, т.к. они при этом потребляют энергию электрического тока, превращая её в другие формы, а именно соответственно в энергию электрического поля и энергию магнитного поля.
А зарядка этих элементов происходит тогда, когда ток через них противоположен по знаку напряжению на них.
А поэтому силу тока через конденсатор и катушку следует определять исходя не из U на них, а из -U, то есть так же, как и через пассивный элемент:
I=-U/Z

Другое дело, что при определении силы тока через конденсатор и катушку используются еще дифференцирование и интегрирование напряжения, то для этих элементов существуют и такие процессы, при которых сила тока и напряжение на них имеют одинаковые знаки, что говорит о том, что при этом мощность на них положительна, а значит, они выдают энергию электрического тока в цепь. Но это не умаляет значения приведённой выше формулы.

Данный вывод вместе с выводом пункта 0 говорит нам о следующем: если для определения тока через импедансы (это обобщенное название сопротивлений, будь они хоть активными, так и реактивными) использовать формулу
I=-U/Z,
то нам не придётся при вычислении комплексного отображения мощности применять сопряженное значение комплекса силы тока. Ибо и без этого знак мощности на любом импедансе цепи в любой ситуации будет получаться правильный.

1.Метод Кирхгофа

Этот метод – базовый метод электротехники, то есть который не вызывает ни грамма сомнения, т.к. основан на столпах электротехники.
Но при этом способы составления уравнений для него, излагаемые в методичках, оставляют желать лучшего.
Поэтому я и задумался, как же их улучшить.
И 1-ое, что я придумал – это трансформировать изображение (но не топологию) исходных схем так, чтобы уравнения СУ МК по ним можно было составлять максимально просто.
Что легко сделать, беря с одну руку один узел схемы, а в другую – другой, после чего растянуть схему так, чтобы она стала одномерной, то есть лежала вдоль одной прямой.
Для чего это нужно? Чтобы, при принятии того, что токи через все элементы схемы текут слева направо, максимально упростить составление уравнений Кирхгофа. А именно, с помощью таких правил:
1)для узлов (суммы токов): что слева (входит), то и справа (выходит)
2)для контуров (суммы напряжений): что сверху, то и снизу.
Ведь такие правила позволяют нам освободиться от мучительных размышлений над тем, как направить токи. А в результате и какие падения напряжений на элементах контура брать с +, а какие с -.
Но при этом с учётом того, что токи через пассивные – противоположны по знаку напряжениям на них.

2.Метод контурных токов

Чуть больше года назад обнаружил, что метод контурных токов (МКТ), применяемый в электротехнике для расчёта схем, как он излагается в методичке, даёт в результате значения токов через элементы схемы и напряжений на них, не соответствующие результатам, которые даёт решение системы уравнений метода Кирхгофа (СУ МК)
Диагноз был ясен: изложение МКТ, приводимое в методичке, не позволяет составить СУ МКТ, которая была бы равносильна СУ МК. Ибо только при этом условии МКТ будет давать соответствующие МК результаты.

После этого я перелопатил множество методичек, но ни в одной из них не нашёл не только корректного, но и исчерпывающего изложения этого метода. (а именно такого, которое не вызывает вопросов при решении любой конкретной задачи этим методом) Для проверки корректности изложений МКТ я применял метод перехода от уравнений МК к уравнениям МКТ. А именно, связывал токи через элементы цепи с контурными токами. (и так получал «железные» уравнения МКТ)
Итог этих размышлений я отразил в статьях
http://www.proza.ru/2018/07/25/64
http://www.proza.ru/2018/07/31/1826
После чего я отказался от идеи распутать (а не разрубить) этот Гордиев узел.
И только теперь настало то время, когда я могу это сделать. К чему и приступаем.

Прежде чем формулировать правила метода, введём понятия метода (т.к. для 1-го мы будем использовать 2-ое):
1)суммарное падение напряжений на контуре – сумма падения напряжения на собственно контуре и взаимных падений напряжения этого контура со всеми другими контурами схемы.
2)падение напряжения на собственно контуре – произведение контурного тока на сопротивление контура.
3)падение напряжения контура А с контуром Б – это произведение контурного тока Б на взаимное сопротивление контура А с контуром Б. Причём если ток через контур Б в месте его пересечения в контуром А - противоположен току через контур А, то оно берётся с минусом.
4)сопротивление контура – сумма сопротивлений всех резисторов (то есть неисточников электрической энергии), принадлежащих контуру.
5)сопротивление контура А с контуром Б – сумма сопротивлений всех резисторов, принадлежащих как контуру А, так и контуру Б.
Отсюда следствие: взаимное сопротивление контура А с контуром Б = взаимное сопротивление контура Б с контуром А. (следовательно, можно говорить о взаимном сопротивлении контуров)
6)контур А взаимен с контуром Б, если их взаимное сопротивление больше 0.

Теперь правила метода:
1)суммарное падение напряжений на контуре равно сумме эдс всех источников эдс (ИЭ), принадлежащих контуру, причём с учётом их направления по отношению к направлению контурного тока через данный источник эдс.
2)если контуру (или контурам) принадлежит источник тока (ИТ), и он единственный, то ток через этот ИТ также связан к контурными токами данных контуров, как и токи через все элементы цепи.
Поэтому данный контур (контура) исключаются из системы уравнений метода контурных токов (СУ МКТ).
После чего ток через данный контур (контура) определяется исходя из связи контурных токов с токами через элементы цепи, токи же через элементы цепи – из СУ МК.
Следствие: если во все контура схемы входит единственный ИТ, то задача решается без составления СУ МКТ.
3)если контуру принадлежит более одного источника тока, то такая постановка задачи некорректна (без указания проводимости каждого ИТ)
4)ИТ, принадлежащий контуру Б, взаимному с контуром А, создаёт в контуре А падение напряжения, равное произведению тока этого ИТ на взаимное сопротивление этих контуров.
С учётом направления ИТ по отношению к направлению тока, принятого для данного контура, в месте нахождения взаимного сопротивлениях контуров.

3.Метод узловых потенциалов (МУП)

То же самое, что я сказал выше об МКТ, относится и к этому методу. Поэтому приступаю сейчас к корректному его изложению.
Сначала введу понятия:
1)суммарный узловой ток - сумма тока собственно через узел и токов этого узла с другими узлами.
2)ток собственно через узел – это произведение потенциала этого узла на проводимость узла.
3)ток узла А с узлом Б – это произведение потенциала А на проводимость узла А с узлом Б.
4)проводимость узла – сумма проводимостей всех резисторов, непосредственно соединённых с этим узлом.(инцидентных этому узлу)
5)проводимость узла А с узлом Б - сумма проводимостей всех резисторов, непосредственно соединённых как с узлом А, так и с узлом Б.
Следствие: проводимость узла А с узлом Б  = проводимость узла Б с узлом А.
Отсюда имеет смысл говорить о взаимной проводимости узлов А и Б.
6)взаимные узлы – узлы, взаимная проводимость которых больше 0.

Теперь правила:
0)потенциал одного узла (любого) принимается равным 0 и уравнение для него не составляется.
1)суммарный узловой ток равен сумме токов ИТ, инцидентных данному узлу.
Причём взятых со знаком +, если они создают токи, втекающие в данный узел, и со знаком -, если они создают токи, вытекающие из данного узла.
2)один узел из пары узлов, которым вместе инцидентен один (и единственный) ИЭ, исключается из системы уравнений метода узловых потенциалов. (СУ МУП)
(исключаемый узел не может быть тем узлом, значение потенциала которого было принято за 0.)
Потенциал данного узла определяется с помощью его связи с потенциалом левого узла этой пары узлов.(fb=fa+Eab)
4)если паре узлов вместе инцидентны более одного ИЭ, то такая постановка задачи некорректна (без указания сопротивления каждого ИЭ).
5)если ИЭ инцидентен узлу Б, взаимному  с узлом А, то он создаёт в узле А ток, равный произведению эдс этого ИЭ на взаимную проводимость узлов А и Б.
С учётом направления ИЭ по отношению к узлу А. Причём подход к узлу А нужно осуществлять по их взаимной зоне.

4.Метод наложения

Этот метод состоит в том, что из исходной цепи, если в ней больше одного ИЭ, поочерёдно исключаются все остальные ИЭ кроме одного, потом делается расчёт токов для каждой частичной цепи (что возможно сделать и самым простым методом – методом свёртки. Но только, правда, в цепи есть только параллельные или последовательные соединения элементов. Так что мост исключается.), а реальные токи,как гласят методички, находятся как сумма частичных токов через данный элемент во всех частичных цепях.
Проверка же этого метода на реальной задаче путём определения баланса мощностей даёт отрицательный результат. В чём же причина?

Да, реальный ток через ИЭ равен сумме частичных токов через них, но так ли это для резисторов?
Ведь, чтобы прошло испытание по методу баланса мощностей, нужно, чтобы
P1+P2= I1^2*R+I2^R=I^2*R,
где
I1 – ток через R в 1-ой частичной схеме,
I2 – ток через R в 2-ой частичной схеме,
I – ток через R в суммарной схеме.
Отсюда
I1^2+I2^2=I^2 => I=sqrt(I1^2+I2^2)
Объяснение этому – таково: мощность на резисторе – зависит не только от тока через него, но и от напряжения на нём. Тогда как в формуле
I=I1+I2
Считается, что U1=U2=U.
На самом же деле
P=I1*U1+I2*U2=
=I1*(-I1*R)+I2*(-I2*R)=
=-I1^2*R-I2^2*R=
=-(I1^2+I2^2)*R,
поэтому
I=sqrt(I1^2+I2^2)