Нюансы интегрирования
Нюанс 1
Всякий, кто изучал интегральное исчисление, знает, что при взятии некоторых интегралов (например int(tg(x),x) в результате интегрирования вдруг неожиданным образом возникает модуль, а именно:
int(tg(x),x) = -ln(abs(cos(x))+C
Однако некоторые пособия до сих пор этот модуль не признают и печатают такое:
int(tg(x),x) = -ln(cos(x))+C
И продолжается такое с моих студенческих лет и по сей день.
А поэтому надо же с этой проблемой наконец-то раз и навсегда разобраться!
Итак, берём интеграл
int(tg(x),x)
Решающая его подстановка:
t=cos(x) => dt=-sin(x)*dx
Т.к. tg(x)=sin(x)/cos(x), то
int(tg(x),x) = -int(-sin(x)/cos(x), x) = -int(dt/t) = -ln(t)+C= -ln(cos(x))+C
Получилась функция:
y=-ln(cos(x)+C
Так какой же волшебник и на каком основании добавил в эту функцию модуль косинуса? Ведь интегральные преобразования не ведут нас к этому.
Да, ln(x) определён только при x>0, но это же не основание для того, чтобы cos(x) поставить под модуль.
Просто полученная функция не определена на всей числовой оси (А именно, неопределена при cos(x)<=0)
Но разве получение таких функций запрещено при интегрировании?
Конечно же, нет.
Далее, проверим результат с модулем при помощи дифференцирования. Для этого, кстати, нужно знать, что (abs(x))’ = sign(x) (то есть знак x). В результате дифференцирования всей многосложной функции получаем:
(-ln(abs(cos(x)))’= -sign(cos(x))*(-sin(x))/abs(cos(x)
Вроде бы, что-то похожее на tg(x), но не более того.
Однако это так, пока не доказана теорема:
abs(x)/sign(x)=x
С другой стороны, в результате без модуля всё-таки есть некорректность.
Во-первых, она в том, что при таком результатае невозможно вычислить определённый, например, интеграл:
int(tg(x), x=Pi/2..3*Pi/2)
Хотя, судя по графику tg(x) и интерпретации интеграла как площади под графиком, этот интеграл существует и равен, похоже, 0.
Как же разрешить это противоречие? Оно, несомненно, связано с тем, что tg(x) определён при Pi/2+2*Pi*k x < 3*Pi/2+2*Pi*k, тогда как ln(cos(x) (результат интегрирования) – не определён. Но интегрирование не должно менять область определения функции. Как же разрешить эту проблему?
Применим другую подстановку:
t=-cos(x) => dt=sin(x)*dx
тогда:
int(tg(x),x) = - int(-tg(x),x) = -int(dt/t) = -ln(t)+C=-ln(-cos(x))+C
В итоге получаем как результат интегрирования следующую кусочную функцию:
int(tg(x),x) =
=[-ln(cos(x))+C при -Pi/2+2*Pi*k =< x =< Pi/2+2*Pi*k,
-ln(-cos(x))+C при Pi/2+2*Pi*k x < 3*Pi/2+2*Pi*k]
Если свернуть эту запись при помощи определения функции abs, то и получится:
int(tg(x),x) = -ln(abs(cos(x))+C