Парадокс колеса

На приведённом рисунке хорошо видно, что все точки расположенные на радиусе колеса при совершении им одного оборота занимают те же самые места, на которых они были до начала вращения. Иными словами все точки радиуса колеса за один оборот перемещаются на одно и то же расстояние.

В то же время из школьного курса математики известно, что длина окружности равна:

С = 2пиR

Если прокатить колесо по поверхности и затем замерить пройденный им путь, то он будет точно соответствовать длине его окружности. Таким образом, две точки колеса: центр вращения и точка на внешней окружности проходят путь точно соответствующий приведённому расчёту. Но вот в отношении меньших радиусов мы приходим к выводу, что траектория их движения противоречит каноническому утверждению.

Так путь пройденный точкой, расположенной на половине радиуса колеса (r = R/2) должен быть равен:

C(r) = пиR, т.е. в половину меньше траектории точки расположенной на внешней окружности.

Но на самом деле она проходит фактически путь вдвое больший.

Соотношение фактически пройденной траектории и фактической дины окружности описываемый соответствующим радиусом растёт с уменьшением радиуса, фактически до бесконечности. Но в точке вращения он вновь возвращается к единице.

Самое удивительное в том, что если вырезать любую внутреннюю часть колеса и измерить его окружность, то она точно будет соответствовать вычисленной по канонической формуле.

Рассмотренный парадокс усиливается в случае, если колесо прокатывается с внешней стороны другой окружности. В этом случае траектория внутренних радиусов становится больше траектории точки на внешнем радиусе. И, наоборот, при прокатывании с внутренней стороны их траектория становится меньше.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что траектория точек расположенных на внутренних радиусах колеса зависти не от величины собственного радиуса, а от радиуса внешней окружности. Что при этом происходит с материальными точками колеса расположенных на этих радиусах в пространстве остаётся загадкой.

Единственно разумное объяснение этого феномена предложил Галилей. Он считал, что  поскольку фактическая траектория движения внутренних точек значительно больше фактической длины окружности, то точки внутренних радиусов проходят наблюдаемую траекторию с большей скоростью, чем это предписано им физикой [1]:

V = w*R, где w  - угловая скорость вращения колеса.

Фактически линейная скорость внутренних точек колеса должна описываться уравнением:

V = n*w*r, где n = R/r
R – внешний радиус колеса;
r – внутренний радиус.

Иными словами линейная скорость точек внутренних радиусов является величиной постоянной и зависит только от внешнего радиуса колеса.

Вывод прямо скажем обескураживающий, но иного разумного объяснения пока ни кто не предложил.


ДОПОЛНЕНИЕ

Математически парадокс колеса в интерпретации Галилея описывается следующим уравнением:

dV = w*(R-r), где
dV – изменение скорости движения внутренних точек колеса;
R – внешний радиус колеса;
r – внутренний радиус колеса.
При r = R    dV = 0
При r = 0    dV = w*R

Иными словами, изменение скорости точек расположенных на внутренних радиусах колеса меняется пропорционально от 0 на внешнем радиусе до V=w*R в центре вращения колеса. Поэтому ось колеса перемещается в пространстве с той же скоростью, которая соответствует линейной скорости вращающегося движения внешней окружности колеса при его прямолинейном движении. Соответственно такую же скорость имеют и все внутренние точки колеса.

С физической точки зрения полученный результат интерпретируется как движение жёсткого стержня, расположенного перпендикулярно направлению линейного движения оси вращения. Если рассмотреть движение такого стержня без привязки его к вращательному движению, то не трудно заметить, что все материальные точки стержня имеют одну и ту же скорость.

Преобразование вращательного движения в линейно-поступательное в данном случае решается методом рычага в рамках курса теоретической механики, которой к сожалению во времена Галилея ещё не существовало.




[1] Очевидно, именно по этому, этот парадокс практически не обсуждается в научной литературе.


Поскольку один из комментаторов так возбудился после прочтения этой статьи, что внёс меня в свои чёрные списки, и у меня нет возможности ему ответить иным путём, поэтому использую материал статьи не по назначению.

Сазонов Сергей 3 сентября 2019 года в 12:54

Писать рецензию на Вашу бредятину "Парадокс колеса" считаю излишним (много чести) - найдите в детском журнале "Квант" за 1975 год статью "ЦИКЛОИДА" . Там - примерно этот круг вопросов. Парадокса нет.
(конец цитаты)

К сожалению, найти указанный журнал в Интернете не смог, поэтому не смог лично ознакомиться со статьёй. Но уже само её название «ЦИКЛОИДА» говорит о том, Сергей Сазонов не видит разницы между прямой и циклоидой. В парадоксе колеса траектория меньшего радиуса разворачивается не в виде циклоиды, а в виде прямой линии. В этом то, как раз, и заключается парадокс. С другой стороны, то, что этим парадоксом интересовались Аристотель, Галилей, и возможно другие, не менее, замечательные умы человечества, говорит о том, что парадокс действительно существовал.
Уничижительное отношение к оппонентам явный признак ограниченной умственной деятельности. Конечно, можно было и не обращать внимание на подобные выпады, но, к сожалению, подобный уровень комментаторов встречается не так уж редко, поэтому считаю необходимым противостоять банальному хамству.


Рецензии
Объяснение можно посмотреть в Википедии (статья "Колесо Аристотеля"). Вот оно: "Ошибка заключается в предположении, что внутреннее колесо, подобно внешнему, движется без скольжения". Соглашусь, что глядя на картинку довольно сложно заметить здесь скольжение. Ну, так сделайте такое двойное колесо и соответствующую ступенчатую дорожку. Проведите опыт - покатайте это колесо по дорожке...

Локтионов Николай   31.12.2019 12:18     Заявить о нарушении
> Проведите опыт - покатайте это колесо по дорожке...

Хотя опыт без всякого сомнения является важным аргументом, но как показывает практика его результаты очень часто интерпретируются не верно, поэтому любой эксперимент в науке принято подкреплять теоретическим расчётом. К сожалению, надо признать, что теоретическая часть парадокса колеса до сих пор не разработана, хотя на самом деле, это не представляет какого либо труда.

Парадокс колеса решается анализом характера движения внешнего обода колеса, который прокатывается по поверхности колеи (рельса) условно выкладывая на неё развёртку длины своей окружности и движением центра вращения колеса, который условно не вращается, а движется методом скольжения по прямой линии. Последовательно вычитая из этой линии длину окружности любого диаметра, вплоть до диаметра обода мы находим путь которой проходят окружности соответствующего радиуса методом прокатывания со скольжением. Этот путь описывается выражением:

L(ск) = 2пи(R - r)
при r=0 - центр оси колеса
L(ск) = 2пиR - т.е. длина окружности и весь путь этого центра проходит методом скольжения.
при r=R - обод колеса
L(ск) = 0 - скольжение (проскальзывание) отсутствует, и весь путь колеса проходит методом прокатывания.
при r = (2/3)R
L(ск) = (2/3)пиR и т.д. - движение осуществляется методом прокатывания с проскальзыванием. Фактически осуществляется прокатывание со скольжением одновременно.

Все кто рассматривает парадокс колеса упускают из вида движение центра, который вносит в движения колеса свое участие. Пока мы рассматриваем исключительно движение обода, этим участием мы можем пренебречь, но стоит нам рассматривать меньшие диаметры, это участие необходимо учитывать и тогда понятие парадокса колеса исчезает.

Аналогичный парадокс возникает при анализе циклоиды. Линейная скорость точки двигающейся по траектории циклоиды рассчитанная относительно центра своего вращения всегда меньше в 4/пи раз относительно линейной скорости этой же самой точки рассчитанной для циклоиды. Т.е. одна и та же точка рассмотренная в разных системах координат имеет разные скорости.

Рассмотрение парадокса колеса интересно при закрепление навыков анализа сложных движений механических систем.

К решению задачи бесконечности, как это предполагал Галилей, этот парадокс не имеет никакого отношения.

Александр Захваткин   31.12.2019 15:30   Заявить о нарушении
Вот эта формула все и объясняет: L(ск)=2пи(R - r). Почему-то в основном тексте у Вас этого нет. Думаю, что описывать это словами нет необходимости. Все с этим парадоксом ясно.

Локтионов Николай   31.12.2019 17:13   Заявить о нарушении
> Почему-то в основном тексте у Вас этого нет

Это уравнение выводится из уравнения dV = w*(R-r) представленного в тексте:

L(ск) = ТdV = (2пи/w)*w*(R-r) = 2пи(R-r)

T = 2пи/w

Абсолютно с Вами согласен, что в таком виде оно более наглядно описывает парадокс колеса.

Александр Захваткин   31.12.2019 17:37   Заявить о нарушении
На это произведение написаны 2 рецензии, здесь отображается последняя, остальные - в полном списке.