Формализм для записи дефиниций
То, что можно записать наши утверждения в виде формул, то есть с помощью особого, формального языка, открывается нам в начале изучения математики. Но особенно рельефно это становится понятно, когда мы переходим к изучению естественных наук и в 1-ую очередь физики.
Но лишь только после изучения физики (в лучшем случае) мы обращаем внимание на то, что формулы физики отображают только одну часть её знаний, а именно вычислительные связи между физическими величинами.
Например, такая формула
K=m*v^2/2,
где
K – кинетическая энергия тела
m – масса тела
v – модуль скорости тела.
Но эта формула заодно является и определением понятия «кинетическая энергия», которое, как видно, является понятием-величиной. А значит, определяется математической формулой
Но не все же понятия физики таковы. Например, такие понятия:
1)движение
2)равномерное движение
3)нагревание
4)плавление
не являются понятиями-величинами.
А значит, никак не определяются? Определяются, но не виде формул. А в виде текстов на естественном языке. (дефинициями это называется) Например, вот так:
1)фокус собирающей линзы – это точка, в которой сходятся все лучи параллельного пучка, идущего вдоль оптической оси линзы, после преломления их в линзе.
2)насыщенный пар – это такое состояние пара, при котором он находится в динамическом равновесии с контактирующей с ним жидкостью.
3)динамическое равновесие пара с жидкостью – это такое состояние системы пар+жидкость, при котором скорость процесса испарения равна скорости процесса конденсации.
4)динамическое равновесие (системы) – это такое состояние системы, при котором скорости взаимообратных процессов в ней равны.
5)конденсация – это процесс превращения пара в жидкость.
исправление: конденсация – это процесс перехода агрегатного состояния (материала) тела из пара в жидкость.
6)испарение – это процесс превращения жидкости в пар (=газ).
исправление: испарение – это процесс перехода агрегатного состояния (материала) тела из жидкости в пар (=газ. Пар – это только для воды).
(И эти исправления соответствует определению понятия «процесс» как изменения значения некоторого параметра объекта (в данном случае - агрегатного состояния материала тела, в данном случае с жидкости на пар))
7)газ – такое агрегатное состояние вещества, при котором тело, материал которого имеет данное агрегатное состояние, не имеет ни собственного объёма, ни собственной формы. (а приобретает форму и объём ограничивающего его движения твердого тела (включая форму атмосферы планеты))
8)жидкость – такое агрегатное состояние вешества, при котором тело, материал которого имеет данное агрегатное состояние, при нормальных условиях (включая наличие веса тела) имеет собственный объём, но не имеет собственной формы (а в условиях невесомости имеет собственную форму шара)
9)твердость - такое агрегатное состояние вещества, при котором тело, материал которого имеет данное агрегатное состояние, имеет собственный объём и форму.
**
Геометрия открывает перед нами также огромное множество понятий, без знания которых невозможно знание геометрии (а не только без её расчётных теорем, типа теоремы Пифагора. Ведь даже для применения последней нужно знать такие понятия, как катет, гипотенуза).
Вот примеры геометрических понятий:
1)квадрат – это прямоугольник, длины смежных сторон которого равны.
2)квадрат – ромб, у которого угол между смежными сторонами прямой.
3)прямоугольник – это паралеллограмм, у которого угол между смежными сторонами прямой.
4)ромб – это параллелограмм, у которого длины смежных сторон равны.
5)прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого один угол прямой.
6)высота треугольника (как отрезок) – это отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно оппозитной стороне треугольника до пересечения с ней
6а)оппозитная сторона (вершине) треугольника – такая его сторона, что данная вершина ей не принадлежит (а как это определить для многоугольника с нечётным количеством сторон? Уже сложнее. Но можно.)
6б)оппозитная сторона (стороне) четырёхугольника – такая его сторона, которая по отношению к даной стороне не является смежной (а как это определить для многоугольника с чётным количеством сторон? Уже сложнее)
6в)сторона многоугольника – это отрезок, принадлежащий данному многоугольнику.
7)высота треугольника (как число) – это длина высоты треугольника (как отрезка)
7а)основание треугольника – это сторона треугольника, на которую опущена высота (как отрезок) треугольника
8)смежные стороны многоугольника (отношение) – такие его стороны, которые имеют общую вершину.
9)треугольник – многоугольник, у которого 3 стороны.
10)многоугольник (произвольный) –
(до сих пор по умолчанию говорилось только о выпуклых многоугольниках. Кстати, треугольник не может быть невыпуклым.)
11)параллелограмм – это трапеция, у которой боковые стороны параллельны
12)трапеция – это четырёхугольник, у которого пара оппозитных сторон параллельна.
13)дельтоид – четырёхугольник, в котором существуют две пары смежных сторон, длины которых равны (а если только одна пара? То как называется эта фигура?)
**
В итоге спрашивается: так неужели все эти дефиниции невозможно записать в виде формул, подобно дефиницям для понятий-величин? Ведь в противном случае дефиниции эти не являются дефинициями, т.к. по определению дефиниция – это точное определение понятия. (ну, например, такое: человек – это существо 2-ногое, но без крыльев. Шутка)
А ведь именно формальность языка и обеспечивает точность определения понятий.
И вообще утверждений на этом языке. А ведь что еще нужно для научных утверждений?
Отсюда вывод: дефиниции понятий – просто просятся стать формулами, но традиции такой всё нет и нет. А ведь уже 21-ый век на дворе.
(Не потому ли это так, что некоторым ученым в некоторых науках до последнего хочется сохранить возможность топить своих оппонентов, пользуясь этим болотом понятий?)
Так давайте сделаем этот шаг.
Знание логики и приведенные выше примеры определений-дефиниций говорят, что структура дефиниции понятия такова:
1)указание на материнское (родовое) понятие;
2)указание на видовое отличие, то есть значений определённых свойств представителя определяемого понятия, отличающих его от представителя родового понятия.
Например, в определении «фокус собирающей линзы – это точка, в которой сходятся все лучи параллельного пучка, идущего вдоль оптической оси линзы, после преломления их в линзе.» родовым понятием является «точка», а видовым отличием – «в которой сходятся все лучи параллельного пучка, идущего вдоль оптической оси линзы, после преломления их в линзе.»
Иначе, говоря структура дефиниции записывается так:
<понятие> - это <родовое понятие> такое, что <видовое отличие>.
Наиболее сложной частью дефиниции является видовое отличие, и оно может содержать другие понятия. Например, дефиниция «квадрат – это прямоугольник, длины смежных сторон которого равны.» содержит следующие понятия:
1)длина – тип свойства отрезка
2)отрезок – тип предмета
3)смежность – тип отношения отрезок-отрезок
4)равенство – тип отношения число-число.
Поясним сказанное так: каждое понятие соответствует некоторой сущности предметного мира. Но в том-то всё и дело, что сущности предметного мира разнородны А именно, среди них есть не только предметы, но и свойства, отношения, процессы.
Как предметы, так и свойства и иные род сущностей имеют также разнообразные типы. Например, свойства бывают следующих типов: цвет, форма, масса, температура. Типы свойств, равно как и типы отношений, привязаны к определённым типам предметов (или процессов)
Наибольшое разнообразие типов имеет место среди предметов, поэтому для описания типов здесь применяется древовидный принцип, причём большой этажности. (Хотя не исключено применение этого принципа и для описания типов внутри других родов сущностей.)
В целом же получается, что каждое понятие соответствует описанию типа сущности предметного мира определённого рода.
Будучи же распространено на более сложные случаи, понятие тип (переменной) приобретает (в объектно-ориентированном программировании) название класс (объекта)
Что и является мостиком между логикой и программированием.
**
Так как же всё-таки в виде формулы записать определения понятий?
Например, определение понятия «квадрат»:
квадрат – это прямоугольник, длины смежных сторон которого равны.
Формула такова:
Кв=Пр\{a=Ст(:Пр), b=Ст(:Пр), a=/=b, См(a, b)} => {l(a)=l(b)}\
Читаем её по частям:
1)Кв=Пр\ \ - квадрат – прямоугольник такой, что \ \
2){} => {} - если {}, то {}
3)a=Ст(:Пр) – a –сторона произвольного объекта типа Пр
4)b=Ст(:Пр) – b –сторона произвольного объекта типа Пр (но того же самого, что и пункте 3, на что и указывает : перед Пр)
Но лучше, наверно, всё-таки сделать так:
Кв=Пр с\\{a=Ст(c), b=Ст(c), …\
5)a=/=b – a и b – разные объекты
6)См(a, b) – a и b – смежные объекты
Итак, что же входит в краткую запись понятия?
1)наименования типов (Кв, Пр, Отр);
2)наименования объектов (a, b, с)
3)наименования типов свойств объектов (Ст, l)
4)наименования типов отношений между объектами и их свойствами (=, =/=, См)
5)знаки логических функций ({}, [], =>)
6)скобки «такой, что» (\\)
Кстати, Ст (сторона прямоугольника) – это не свойство (функция), а тоже отношение (т.к. функция должна быть однозначной, а сторон у прямоугольника - 4)
Кроме того, данное определение требует важного дополнения – указания на тип объектов a и b – отрезок. Например, так:
Отр a=Ст(:Пр), Отр b=Ст(:Пр),
Поработаем над определением фокуса линзы.
Фокус собирающей линзы – это точка, в которой сходятся все лучи паралельного пучка света, идущего вдоль оптической оси линзы, после преломления их в линзе.
Запишем (кратко) определение фокуса собирающей линзы:
Ф(:СЛ)= Т\{}=>{}\
Тут уже сложнее написать определение формально. Потому что непонятно кое-что, а именно, про некоторые слова – чем они являются здесь. Но начнём с того, что всё-таки понятно:
1)точка, луч, пучок света, линза – это наименования типов.
2)все - квантор
3)луч пучка – отношение принадлежности (луча пучку)
4)сходятся в – (полиарная) функция от всех лучей пучка, возвращающая точку
5)параллельный пучок – свойство пучка (определяется через отношение между лучами пучка),
6)лучи, преломлённые в линзе – отношение между лучом и линзой.
7)пучок лучей параллелен оптической оси – отношение между между пучком и оптической осью
8)оптическая ось (линзы) – свойство линзы
9)фокус (линзы) – свойство линзы
Теперь мы готовы (более) формально записать определение.
{а = констр(:пучок_света), сходимость(а)=параллельный, параллелен(а, оптическая_ось(:линза)), б = констр(:луч), принадлежит(б,а), преломлён(б, :линза)} => принадлежит(:точка, б)
Пояснение: сходимость(а)=параллельный означает, что все лучи пучка а параллельны друг другу. Как вариант пучок может быть сходящимся или расходящимся (и это – значения свойства сходимость (пучка))
Сделаем это поподробней (и без скобок «такой, что»):
({л:линза, в: точка, а: пучок_света, б: луч; сходимость(а)=параллельный, параллелен(а, оптическая_ось(л)), принадлежит(б,а), преломлён(б, л)} => принадлежит(в, б)) <=> в=фокус(л)
Вынесем описания типов из логического выражения (так будет естественней):
л: линза, в: точка, а: пучок_света, б: луч; ({сходимость(а)=’параллельный’, параллелен(а, оптическая_ось(л)), принадлежит(б,а), преломлён(б, л)}=> принадлежит(в, б)) <=> в=фокус(л)
Не хватает еще квантора.
л: линза, в: точка, а: пучок_света, б: луч; (для всех(б)\{сходимость(а)=параллельный, параллелен(а, оптическая_ось(л)), принадлежит(б, а), преломлён(б, л)}\=> принадлежит(в, б)) <=> в=фокус(л)
Ну вот, пожалуй, и всё.
Возьмём еще определение:
конденсация – это процесс перехода агрегатного состояния (материала) тела из пара в жидкость.
К: конденсация, П: процесс, Т: тело; { Св(П)=агрегатное_состояние(материал(Т)), НЗ(Св(П))=’газ’, КЗ(Св(П))=’жидкость’} => П=К(Т)
Прямоугольник – это паралеллограмм, у которого угол между смежными сторонами прямой.
А: прямоугольник, Б: параллелограмм, В1: отрезок, В2: отрезок, Д: угол;
{B1=Ст(Б), В2=Ст(Б), См(В1, В2), Д=Уг(В1, В2), Вид(Д)=’прямой’} => Б=А
Насыщенный пар – это такое состояние пара, при котором он находится в динамическом равновесии с контактирующей с ним жидкостью.
Тело: Т1, Т2; {АС(Мат(Т1))=пар, АС(Мат(Т2))=жидкость, Контакт(Т1, Т2), ДРавовесие(Т1,Т2)} => Сост(АС(Мат(Т1))=насыщенный
**
Что ж, по-моему замечательные получаются формулы! За исключением, конечно, некоторых нюансов формализма. Но не все же нюансы сразу.
Самое главное, что формулы чётко фиксируют смысл понятий.
Кроме того, эти формулы открывают возможность для автоматизированной проверки теорем.
И не только в физике и геометрии, но и, скажем в экономике и даже в обществознании. (если, конечно, представители этих наук возьмут на себя труд создать такие формулы для всех понятий своих наук.