Егор Гаврилович Гошков родился в 1916 году в д. Слепушкино, ныне Наро-Фоминского района, Московской области в семье крестьянина. Получил неполное среднее образование. Подростком работал токарем по дереву в Назарьевской артели, затем окончил курсы трактористов.
В 1937 году Горшков был призван на службу в Красную Армию.
Советско-финская война
Участвовал в советско-финской войне, в звании младшего комвзвода был механиком-водителем танка танковой роты 27-го стрелкового полка 7-й стрелковой дивизии 7-й армии Северо-Западного фронта.
13 февраля 1940 года во время наступательного боя Егор Горшков заметил, что финны ранили механика-водителя соседнего танка Горячева. А с танка в это время соскочила гусеница. Раненый водитель, как ни старался, не мог исправить повреждение. Горшков идёт ему на помощь. Прикрыв своим танком машину Горячева, он помог ему надеть гусеницу. Танк товарища двинулся вперед, продолжая уничтожать врага.
При штурме Виипури, ныне г. Выборг Ленинградской области, Горшков вёл сокрушительный огонь по врагам. В этом бою пушка противника подожгла танк командира взвода Калинина. Горшков развернулся и закрыл своим танком горевшую машину командира взвода. Затем под прикрытием автоматчиков он помог выбраться экипажу из горящей машины, вынес в укрытие четырех танкистов.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 марта 1940 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом отвагу и геройство» Егор Горшков был удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 484.
После финской войны Горшкова направили на учёбу в Орловское бронетанковое училище.
Великая Отечественная война
В 1941 году Горшков окончил Орловское танковое училище. В годы Великой Отечественной войны в составе 10-й армии участвовал в битве под Москвой. Командир танкового батальона лейтенант Горшков в боях за г. Белёв Тульской области совершил подвиг: на своем танке взломал оборонительное укрепление врага и первым ворвался в город.
С 5 по 12 июля 1942 года силами 61-й и 16-й армий левого крыла Западного фронта была предпринята наступательная операция для содействия войскам Брянского фронта, где противник прорвал оборону советских войск и успешно развивал наступление на Воронеж. Из-за сопротивления и ответных действий противника советские войска, понеся большие потери, остались практически на исходных позициях. Оставшаяся под контролем советских войск небольшая деревня Паленка (Белёвского района Тульской области) несколько раз переходил из рук в руки.
5 июля 1942 года в боях за деревню Паленка отличился командир взвода танков КВ-1 1-го танкового батальона 68-й танковой бригады (61-я армия Западного фронта) старший лейтенант Егор Горшков. В составе своего экипажа он уничтожил одну противотанковую батарею, три блиндажа, один дзот, три пулемётных гнезда, один миномёт и до 20-ти солдат противника. Дважды его танк загорался от снарядов противника, однако экипажу удавалось погасить огонь и остаться в бою.
После очередного возгорания экипажу пришлось покинуть танк и пробиваться к своим. При отходе Егор Горшков был ранен и умер на следующий день при эвакуации в госпиталь. Посмертно награжден орденом Отечественной войны 1 степени.
Похоронен в Белёве Тульской области в братской могиле на центральной площади Октября.