назад http://www.proza.ru/2019/07/08/1359
Драматическая история решения задачи равновесия статически неопределимых конструкций-5
Но в чём же причина того, что долгое время не удавалось создать этот метод?
Давайте сравним уравнения классического метода ВП (в его исходной интерпретации), с которого мы начинали строить энергетический подход к решению задачи равновесия:
Ya*dAa+F*dFa =0
F*dFb+Yb*dBb=0
И исходные уравнения модифицированного (согласно 5-ой интерпретации) метода ВП
F*dFa +Yb*DBa=0
F*dFb +Ya*DAb=0
Что же мы видим? Тогда как в 1-ом уравнении 1-ой системы DBa отсутствует ввиду равенства его 0, в 1-ом уравнении 2-ой системы он присутствует и вовсе не равен 0, однако отсутствует dAa, ввиду равенства его 0.
Аналогичное различие имеет место и для 2-ых уравнений систем. Как же его объяснить? Так, что в 1-ом случае считается, что связь в точке А отсутствует, но соответствующая РСв осталась и поэтому совершает работу, но на прогибах, создаваемых оставшимися силами. Во 2-ом же случае работу совершают оставшиеся силы, но на перемещениях, которые создала бы удалённая сила.
Отсюда очевидный вывод: исходная интерпретация ВП и конечная находятся в явном противоречии. А учитывая то, что именно конечная интерпретация и дала адекватный результат, исходную интерпретацию, которая и легла в основу интерпретаций с 1-ой по 4-ую (что легло в основу 5-ой интерпретации, мы разберём позже), следует признать явно ошибочной. Что и является причиной того, что интерпретации, полученные из неё, тоже оказались ошибочными.
И в самом деле, как может сила совершать работу только на прогибах других сил, не создавая прогибов сама по себе? А в исходной интерпретации это так и есть.
Другая ошибка, присущая уже следующим интерпретациям (кроме 5-ой) – это вычисление работы фактически точечных сил (которыми являются грузовые силы (кроме случая распределённых грузовых сил, но это случай особенный. Мы же разбираем пока простейшие) и РСв) при помощи интегрирования по длине конструкции. Что же касается того, что, несмотря на свою точечность, грузовая сила создаёт отнюдь не точечный прогиб, объясняется очень просто: неточечность прогиба от точечной силы возникает вследствие упругих свойств конструкции, а следовательно работы не грузовой силы (или РСв), а сил упругости, возникающих вследствие действия на конструкцию данной внешней силы.
Поэтому работу внешних сил дОлжно вычислять исходя из прогиба в точке приложения этой силы. А точнее - исходя из приращения прогиба в в этой точке, т.к. мы определяем работу внешних сил при переходе из одного напряженно-деформированного состояния равновесия в другое такое. Тогда как в исходной интерпретации метода ВП работу вычисляли
Но тогда спрашивается, как так случилось, что ошибочная (исходная) интерпретация метода для задачи с 2-мя КС дала правильный результат? (и это, знаете ли, навевает на какие-то мистические объяснения) Оставим этот вопрос на потом, а займёмся лучше вот этим: так как всё-таки получилась 5-ая интерпретация ВП?
Пусть некоторая конструкция с 2-мя ШНО (в точках A и B), после воздействия на неё грузовой силы Yd (с точкой приложения D) пришла в положение равновесия, то есть когда
y=ya+yb+yd
y(A)=0
y(B)=0
Предположим теперь, что силу Ya мы удалили.
Тогда новый суммарный прогиб:
yA=yb+yd=y-ya
Следовательно, если речь идёт о точках, в которых прогиб был y=0 (точках КС), то в них проиб станет
yA(A)=-ya(A)
И точно также рассуждаем, если мы удалили другую РСв и для других точек КС.
В итоге конструкция придёт в новое состояние равновесия. Для которого характерно следующее:
yA(A)=-ya(A)
yA(B)=-ya(B),
где
yA(A) – прогиб в точке А после удаления силы Ya
yA(B) – прогиб в точке B после удаления силы Ya.
Теперь мы можем найти перемещение точек А и В, ведь именно на них, а не на всём прогибе в этих точках идёт работа внешних сил при переходе из одного состояния равновесия в другое. Получается такое:
DyAa= yA(A)- y(A)= -ya(A)-0=-ya(A)
DyBa= yA(B)- y(B)= -ya(B)-0=-ya(B)
Ну а всё остальное, думаю, в созданном нами методе (осталось только придумать ему название.) не требует пояснений.
Вернёмся теперь к вопросу: как же так случилось, что ошибочная (исходная) интерпретация метода для задачи с 2-мя КС дала правильный результат? Напишем друг за другом сравниваемые системы уравнений:
0-ая интерпретация:
Ya*dAa+F*dFa =0
F*dFb+Yb*dBb=0
5-ая интерпретация:
Yb*DBa +F*DFa =0
F*DFb +Ya*DAb=0
Известно, что системы уравнений имеют одинаковы корни, если они равносильны. Системы уравнений равносильны, если одна система может быть преобразована в другую с помощью выполнения некоторой операции над каждым уравнением системы.
Так вот, восстанавливая ход рассуждений при решении 1-ой системы, легко установить, что 1-ое уравнение было умножено на AB/dAa, а 2-ое – на AB/dBb, в результате чего произошли следующие превращения:
dAa -> AB, dFa -> AD
dBb -> AB, dFb -> DB
(где D – точка приложения силы F)
Восстанавливая же ход рассуждений при решении 1-ой системы, легко установить, что
DFa=-ya(D)/Ya=AD, DFb=-yb(D)/Yb=DB,
DBa=-ya(B)/Ya=AB, Dab:=-yb(A)/Yb=AB
(для упрощения выкладок здесь принято, что kt=1, что не идёт в ущерб общности рассуждений)
Вот так и получилось, что обе системы чудесным образом превратились в одну, а именно:
Ya*AB+F*DB =0
F*AD+Yb*AB=0
И помогли сделать этот фокус следующие ошибочные утверждения, положенные в основу исходной интерпретации ВП:
1)из картины напряженно–деформированного состояния конструкции можно убрать прогибы, создаваемые силой, не убирая самой силы.
(чему эквивалентно утверждение: удаляем КС, но оставляем соответствующие им РСв. И оно было сформулировано так потому, что у формулировавшего его индивида не было представления о том, что каждая сила в отдельности создаёт прогиб.)
2)удаляя прогибы, созданные одной из РСв, мы совершаем переход не из конечного состояния равновесия (то есть при наличии всех РСв) в другое состояние равновесия, а из свободного состояния конструкции в другое состояние равновесия (в котором нет одного из КС)
Отсюда вывод: нужно определять работы по прогибам, а не по перемещениям.
Но ведь понятно же с самого начала, что удалить прогибы, созданные одной из РСв, можно только из некоторого состояния равновесия, в котором участвуют все имеющие место в задаче РСВ, а не из свободного состояния, в котором прогибы во всех точках равны 0.
Да, есть и такая версия интерпретации ВП, что состояние равновесия при участии всех внешних сил слегка нарушается, в результате б/м приращения прогиба в точке приложения одной из РСв, то каковы будут приращения прогибов в точках приложения всех других внешних сил? То есть, получается, нужно продифференцировать УЛ по каждой частной УЛ. И что же в итоге получится? Так как каждая частная УЛ зависит только от силы, которая её создаёт, то получится, в виде производной … соответствующая сила. Но оставим пока эту тематику на потом.
Итак, вывод: некорректная, как теперь точно установлено, исходная интерпретация метода ВП (изложенная нынче во всех учебниках и методичках) позволила решить задачу равновесия с 2-мя КС (сила+ сила) благодаря наложению внутри неё 2-х ошибочных утверждений, положенных в её основу.
Корректная же интерпретация метода ВП теперь известна и изложена в этом цикле статей.
Новые представления, понятия и инструменты, потребовавшиеся для получения корректно модифицированного метода ВП, изложены к этой же статье.
**
Остаётся, правда, еще один вопрос: почему же всё-таки сумму работ всех оставшихся сил после удаления одной из внешних сил (и не обязательно РСв) мы приравниваем 0? Не взяли ли мы это утверждение из 0-ой интерпретации метода ВП, как и алгоритм составления уравнений, некритично?
В самом деле, ведь удаляя из профиля нагружения одну из внешних сил, мы разве не уменьшаем потенциальную энергию упругости конструкции? Подобно тому как добавляя в профиль нагружения новую силу, мы увеличиваем потенциальную энергию конструкции, ведь новая сила совершает (до достижения НДСр) работу, которая и создаёт прибыль потенциальной энергии.
Вроде бы всё верно, но заметьте: в 1-ом случае силу мы удаляем после того, как она совершила работу, а не до того. А это значит что? Что силу-то мы удаляем, а энергию-то, которую она принесла в конструкцию – нет. (ибо она сохраняется в конструкции в виде прогибов, которые создала эта сила) Да, после удаления силы равновесная УЛ конструкции изменяется, но это происходит вследствие работы сил упругости, а значит - перераспределения уже запасенной в конструкции потенциальной энергии упругости.
Поэтому-то сумма работ всех оставшихся сил после удаления одной из внешних сил (и не обязательно РСв) равна 0, т.к. убыли потенциальной энергии конструкции в данном случае не происходит.
вперед http://www.proza.ru/2019/07/25/36