назад http://www.proza.ru/2019/07/07/39
Драматическая история решения задачи равновесия статически неопределимых конструкций-4
Отсюда и возникли достаточно слепые (пробные) формулировки условия равновесия с энергетических позиций, происходившие от метода ВП, который, напоминаю, дал пока что адекватный результат только для 2-задачи. (то есть задачи с 2-мя КС – вот нам новое понятие, вместо старого-то, привычного, СО-задача.) Которые, предполагаю, и дали миру такие порождения научной мысли, как метод сил и метод перемещений.
Но что же теперь, когда у нас уже есть все недостающие ранее инструменты? Может, в этом случае энергетический взгляд на проблему равновесия, родственник метода ВП, теперь откроется нам?
Для этого поразмыслим еще раз над методом ВП, с помощью которого успешно разрешаются задачи с 2-мя КС, то есть СО-задачи, по старой терминологии. В том, что мы убираем из профиля нагружения 1 КС, но оставляем РСв, связанную с этой КС.(назовём её меченная РСв) После чего, суммируя работы всех сил на получившихся прогибах и приравнивая эту сумму 0 (т.к. в итоге конструкция перешла из одного состояния равновесия к другому)
Затем то же самое делаем с другой РСв, в результате (для конструкции с 2-мя ШНО) получаем систему:
Ya*dAa+F*dFa+Yb*dBa=0
Ya*dAb+F*dFb+Yb*dBb=0
Пояснения:
dAa, dFa, dBa – прогибы соответственно в точках приложения сил Ya, F, Yb после удаления связи в точке А
dAb, dFb, dBb – прогибы соответственно в точках приложения сил Ya, F, Yb после удаления связи в точке B.
Учитывая то, что dBa=0 и dAb=0 (т.к. А ушло, а В-то на посту! И наоборот.), получаем более простые уравнения:
Ya*dAa+F*dFa =0
F*dFb+Yb*dBb=0
Далее, используя простые связи между dAa и dFa, а также между dFb и dBb (которые являются чисто геометрическими, что проистекают из того, что ШНО не сопротивляется повороту, поэтому при удалении связи как в А, так и в В балка просто поворачивается, не изгибаясь.), получаем уравнения (которые, к слову сказать, почти в точности идентичны уравнениям равновесия по моментам), решение которых и даёт нам решение задачи, полностью соответствующее последним.
Назовём эту интерпретацию ВП исходной.
Теперь попробуем логику составления уравнений метода ВП для случая с 2-мя КС (которую, правда, сначала следует понять) распространить на произвольное количество КС. Отсюда получаем следующие интерпретации метода ВП:
1-ая интерпретация ВП
Согласно логике исходной интерпретации ВП, мы должны найти сумму работ:
1)меченной РСв на сумме прогибов, создаваемых всеми остальными силами
+
2)всех остальных сил на создаваемыми ими прогибах.
Она, эта сумма, равна следующему интегралу:
int(Ya*(yb+yf)+Yb*yb+F*yf, ks=0..AB)
для силы Ya и интегралу:
int(Yb*(ya+yf)+Ya*ya+F*yf, ks=0..AB)
для силы Yb.
Пояснения:
Ya, Yb – РСв
F – грузовая сила
ya(ks), yb(ks) , yf(ks) – прогибы, создаваемые соответственно силами Ya, Yb, F по всей длине конструкции;
AB – длина конструкции.
Спрашивается, почему для вычисления работ применены интегралы? Так силы ведь по факту распределённые.
Теперь, приравнивая оба интеграла 0, получаем систему уравнений для определения РСв. Но проверка этой модификации метода ВП (МетодСил9а) выдаёт бредовые комплексные решения системы. Использование другого метода представления сил (МетодСил9b) также даёт комплексные корни.
2-ая интерпретация ВП
Что ж, попробуем поменять интерпретацию метода ВП и возьмём её из модифицированного метода сил. Быть может, использование в данном случае найденных нами новых инструментов исправит ситуацию?
Стало быть, приравняем 0 следующие интегралы:
int(Ya*y, ks = 0 .. AB) = 0
int(Yb*y, ks = 0 .. AB) = 0
int(Yc*y, ks = 0 .. AB) = 0
где y – суммарная УЛ.
Но решение этой системы (МетодСил9аа, сс) опять же выдаёт бредовые результаты.
3-ья интерпретация ВП
Так как в исходной интерпретации работы оставшихся РСв не учитываются (в связи с тем, что прогибы в точках их приложения равны 0), еще раз поменяем интерпретацию метода ВП, в связи с чем будем искать решение следующей системы:
int(Ya*(yb+yc+yx), ks = 0 .. AB)+Ax = 0
int(Yb*(ya+yc+yx), ks = 0 .. AB)+Ax = 0
int(Yc*(ya+yb+yx), ks = 0 .. AB)+Ax = 0,
где
Ax= int(Qx*yx, ks = 0 .. AB)
Отличие 3-ьей интерпретации от 1-ой – понятно: кроме работы искомой РСв мы учитываем работу только грузовой силы. (МетодСил9ааа, ссс) Что же это даёт? Опять же бредовые результаты.
4-ая интерпретация ВП
Так что же опять пошло не так?
А, вот что: мы не учли при вычислении работы, что конструкция-то – не точка, а отрезок-линия, а поэтому нужно сначала иметь дело с дифференциалом работы по ks:
dA=dF*y+F*dy=dF/dks*y(ks)*dks+F(ks)*dy/dks*dks
В итоге
dA/dks = qyks*y(ks) +kt*f(ks)*f(ks)
а поэтому
A=int(qyks*y(ks) +kt*f(ks)*f(ks), ks=0..AB)
И вот именно такая работа и равна 0 (в отличие от всех других), т.к. qyks*y(ks) – это работа внешних сил (которые и накачивают энергию в систему), а вот kt*f(ks)*f(ks) – это работа сил упругости конструкции, которую мы до сих пор не учитывали в своих расчётах. А ведь зря, потому что в состоянии равновесия, и только в нём, они в сумме, и только в сумме, дают 0!
Какой же отсюда вывод? Попытаться решить задачу, используя эти доводы. Но при этом озаботясь, как всегда, еще и тем, чтобы энергетическое влияние каждой РСв на конструкцию было учтено в отдельном уравнении. Ведь это и есть главная проблема при совершенствовании метода ВП. И именно по этому направлению мы пошли, совершенствуя метод УЛ.
Не описывая полностью реализацию этого проекта, скажу лишь, что и он не привёл к адекватному результату. (МетодСил9е)
5-ая интерпретация ВП
В результате всех этих проб и ошибок возникают следующие вопросы:
1)почему при решении задачи энергетическим методом мы совершенно не используем КС? Ведь именно они, при помощи УЛ, и дают искомые РСв, и в этом деле никак без них не обойтись.
2)так каков же всё-таки ключ к разделению влияния на конструкцию отдельных СФ уже не в виде прогибов, создаваемых ими, а в виде приращений потенциальной энергии конструкции, создаваемых ими в отдельности?
Для ответа на эти вопросы возвратимся к простейшей задаче.
Пусть мы имеем дело с конструкцией с 2-мя ШНО по концам (и нулевыми КС) и к ней приложена точечная сила. Пусть получено состояние равновесия этой конструкции.(и соответствующие ему прогибы и суммарный прогиб)
Теперь проделаем следующий эксперимент: удалим из профиля нагружения одну из РСв, например, Ya. Что же произойдёт? Конструкция перейдёт в другое состояние равновесия, а именно, характеризуемое следующим:
F*Dyfa+Yb*Dyba=0
(то есть работа оставшихся сил при удалении силы Ya)
Если же удалить Yb, то получим такое равенство:
F*Dyfb+Ya*Dyab=0
(то есть работа оставшихся сил при удалении силы Yb)
Пояснения:
Dyba – приращение прогиба в точке В (то есть поперечное перемещение точки В) вследствие прекращения действия силы Ya.
Dyfa - приращение прогиба в точке приложения силы F (то есть поперечное перемещение точки приложения силы F ) вследствие прекращения действия силы Ya
Dyab – приращение прогиба в точке А вследствие прекращения действия силы Yb.
Dyfb - приращение прогиба в точке приложения силы F вследствие прекращения действия силы Yb.
Но чему же равны эти перемещения? Да очень просто:
Dyba = -ya(B)
(то есть полному прогибу, создаваемому силой Ya в точке В)
И т.д.:
Dyfa = -ya(f)
Dyab = -yb(A)
Dyfb = - yb(A)
Пояснения:
ya(B) – прогиб от силы Ya в точке приложения силы Yb
ya(f) - прогиб от силы Ya в точке приложения силы F
yb(A) – прогиб от силы Yb в точке приложения силы Ya
yb(A) - прогиб от силы Yb в точке приложения силы F
Подставляя эти 4 равенства в изначальные уравнения, получаем:
F*(-ya(f))+Yb*(-ya(B))=0
F*(-yb(f))+Ya*(-yb(A))=0
Так как понятно, что прогибы, создаваемые силой Ya (равно как и силой Yb) в любой точке конструкции зависят соответственно только от Ya и Yb, то разумно, чтобы не получать паразитные корни Ya=0 и Yb=0, 1-ое уравнение поделить на Ya, а 2-ое – на Yb.
В результате чего и получим систему:
(F*(-ya(f))+Yb*(-ya(B)))/Ya=0
(F*(-yb(f))+Ya*(-yb(A)))/Yb=0
Которая, будучи решена (МетодСил11_3) и даёт значения Ya и Yb, в точности соответствующие классическим уравнениям равновесия. Но вся прелесть этого подхода в том, что его работоспособность не ограничена значением КС=2. Таким образом, мы получили наконец-то модифицированный метод ВП, который поистине можно считать и адекватной заменой метода сил.
С чем мы себя и всех и поздравляем!
Кроме того, полученный энергетический метод - это не просто еще один метод решения задачи равновесия, но он замечателен еще и тем, что менее трудоёмок, чем изложенный ранее в этой статье метод УЛ+КС.
**
Но в чём же причина того, что долгое время не удавалось создать этот метод?
вперёд http://www.proza.ru/2019/07/10/16