назад http://www.proza.ru/2019/06/30/74
Драматическая история решения задачи равновесия статически неопределимых конструкций-2
**
Поскольку как метод сил, так и используемый нами метод ВП исходит из энергетического взгляда на процесс достижения равновесия, то скорее всего, более универсальный критерий равновесия может быть найден именно с этих позиций. И ключевое положение здесь такое:
1)при переходе конструкции из свободного состояния к состоянию равновесия (при данном профиле нагружения) сумма работ всех сил равна 0.
Но есть здесь и конкурирующие положения:
2)при переходе конструкции из одного состояния равновесия к другому состоянию равновесия сумма работ всех сил равна 0.
Но этот переход может быть вызван чем? Только изменением профиля нагружения, а именно: значений грузовых сил, точек их приложения, удалением КС с сохранением их РСв. А это ведь разные случаи, поэтому переход переходу рознь.
3)при переходе конструкции из одного состояния равновесия к бесконечно близкому к нему состоянию равновесия (то есть при бесконечно малых перемещениях УЛ) сумма работ всех сил равна 0.
Какую же в итоге интерпретацию метода ВП следует принять? Учитывая то, что мы уже получили неудачный опыт применения метода ВП, а именно в интерпретации 2, следует от неё отказаться, тем более, что при данных перемещениях сила упругости, вообще-то говоря, изменяется. Но ведь мы говорим о работе только грузовых сил (=ГС), которые в этом процессе неизменны. Но вот РСв в этом переходном процессе изменяются, т.к. достигают своих равновесных значений только при достижении состояния равновесия, тогда как в начале этого процесса их значения другие. (т.к. исходный профиль нагружения – другой) Поэтому работу РСв неправильно будет находить, умножая их исходные значения на результирующие перемещения.
То же самое относится и к интерпретации 1 метода ВП, когда начальное состояние конструкции – свободное, то есть ненагруженное. Ибо отсутствие нагружения – это тоже профиль нагружения.
Что же в итоге? В итоге может быть принята только 3-ья интерпретация метода ВП.
Но как её реализовать на практике? Ведь метод УЛ позволяет найти УЛ уже в равновесных состояниях, то есть при конечных перемещениях. Как же реализовать б/м перемещение УЛ? И это приводит нас к идее отыскания производной УЛ. Но по какому аргументу?
А как может быть изменена УЛ? Например, изменением прогибов в точках КС, что наиболее популярно в методе ВП. Таким образом, нам нужно найти производную суммарного прогиба от прогиба в точке КС. Немного несуразно, ведь так? Ведь чем был вызван прогиб? Действием грузовых сил. Наличие КС, несомненно, тоже влияет на прогиб, но оно же не первично. К тому же такая производная будет равна бесконечности, т.к. изначально, то есть несмотря ни на что, прогиб в точке КС равен 0. Спрашивается, какой же нужен прогиб в какой-либо другой точке конструкции, чтобы в точке КС изменить прогиб? Бесконечный!
А что если исследовать влияние на УЛ значения грузовой силы? Можно, конечно, но вряд ли перспективно. Ведь очевидно, что, при прежних равных, УЛ будет подобна прежней УЛ.
Можно также исследовать влияние на УЛ точек приложения грузовой силы или даже точек КС. Но это уже экзотика, поэтому оставим это на потом.
Всё это приводит к выводу, что при решении р-задачи следует принять, что:
1)не следует руководствоваться какими-то наперёд заданными КС, и притом обязательно равными 0. Некие КС складываются потом случайно, если что. Как так?
А вот как:
2)каждая сила, действующая на конструкцию, создаёт свою частную УЛ, т.к. действует, благодаря силам упругости конструкции, не только на свою точку приложения, но и на каждую точку конструкции.
Но как, спросите вы, можно говорить об одной силе, действующей на конструкцию, если равновесие конструкции, если оно поперечное, достигается минимум 3-мя силами? А разве мы говорим в данном случае о равновесии? Нет, мы говорим всего лишь о прогибах. Ведь, смотри выше, мы отделили прогибы (=УЛ) от равновесия.
3)УЛ всей конструкции равно сумме частных УЛ каждой силы, действующих независимо.
Но энергетический подход неотделим от метода УЛ, т.к. чтобы определить работу силы, нужно знать, на каком перемещении она происходит. Поэтому перейдём к обсуждению способов определения УЛ.
**
Казалось бы, что тут обсуждать, ведь всё замечательно и так получается, при определении УЛ: составляешь функцию моментов вдоль всей конструкции, делишь её на коэффициент жесткости сечения конструкции и 2 раза интегрируешь результат по продольной координате конструкции. Но скажите, как мы находим функцию моментов? Мы идём по конструкции слева направо и суммируем моменты силовых факторов, находящихся слева от заданного сечения конструкции, относительно этого сечения. (в результате чего и получается кусочная функция моментов, равно как и изгибающих сил) Но почему мы делаем именно так? Ведь разве силовые факторы, находящиеся слева от заданного сечения, не создают в нём моментов? Конечно, создают, другое дело в том, что сумма моментов справа по модулю будет такой же, но только с противоположным знаком, т.к. сумма всех моментов относительно любого сечения для уравновешенной конструкции равна 0. Поэтому зачем делать лишнюю вычислительную работу?
А вот зачем: представим, что на конструкцию действует всего одна сила. Отсюда понятно: левая от точки приложения этой силы часть конструкции окажется свободной от воздействий каких-либо СФ, а поэтому на ней не будет никаких прогибов. Но ведь физически же это не так! Тогда как математика приведёт нас к ложному выводу (см. выше)
Другой аналогичный пример: любая сила, приложенная к самой правой точке конструкции, не оказывает на неё никакого воздействия с точки зрения создания прогибов. Но это же не так!
Проверить ложность такого подхода к определению функции моментов легко: решив, например, задачу равновесия балки с 2-мя неподвижными шарнирными опорами (ШНО), приложив внешнюю (грузовую) силу точно посередине её. Тогда, поскольку картина нагружения симметрична, логично ожидать и симметричную картину прогибов. Но математика (см. МетодУЛ_F) упорно даёт своё, отклоняя точку максимального прогиба влево от ожидаемой, причём прогиб направлен почему-то вниз, тогда как грузовая сила – вверх.
Те же самые дефекты решения обнаруживаем при решении согласно этому же подходу аналогичной задачи, но уже с равномерно распределённой (вдоль всей конструкции) грузовой силой. (см. МетодУЛ_q)
Попробуем применить для решения этих же задач другой метод представления функции моментов. А именно, при помощи так называемой функции Хэвисайда, которая равна 0 до определённого значения аргумента, а сразу при нём и далее равна 1. Чисто формальная замена методу сборки функций моментов, которая позволяет заменить кусочную функцию суммой слагаемых, вводящих следующий кусочек кусочной функции. Такая замена – обеспечивает технические удобства при вычислениях, но по сути, получается, даёт в точности то же самое что и функция моментов, собираемая как кусочная. (за исключением, может быть, некоторых мелких нюансов, связанных с интегрированием)
Что нетрудно проверить при решении вышеупомянутых при помощи этого метода представления профиля нагружения: в файле МетодУЛ_q обнаруживаем смещение максимального прогиба вправо от ожидаемой, а в файле МетодУЛ_F, как ни странно – почему-то физически адекватное решение. Тогда как направление прогиба в обоих решениях – корректное (вверх).
Какой отсюда вывод: да, применение функции Хэвисайда – несомненно, более техничный метод представления профиля нагружения, но при этом всё-таки некорректный.
Но у него есть и еще одно преимущество: этот метод позволяет наиболее явственно разглядеть однобокость представления профиля нагружения в классике. Тогда как классическое представление профиля нагружения позволило столетиями маскировать эти его дефекты.
Куда же нам теперь деваться! Как представлять профиль нагружения конструкции, чтобы он давал (в любом случае) физически корректные решения? Но прежде зададим себе вопросы:
1)поскольку мы рассматриваем равновесие отнюдь не материальных точек, а распределённых конструкций, то так ли уж следует цепляться при задании профиля нагружения за привычные точечные силы, а потом напрягать свой интеллект при причудливой и проблемной сборке из этих сил (а значит, точечных функций) всё-таки распределённых функций?
2)не следует ли по той же причине поискать распределённое представление, но всё-таки точечных сил (но теперь уже как бы точечных) И шаг к такому представлению – функция Хевисайда. А также и производная её, функция Дирака. Но, как показывает практика, не совсем удовлетворительный. И прежде всего, видимо, из-за недостаточно глубокой разработки этих мат.инструментов, чтобы они давали адекватные реальной физике результаты.
3)ради решения проблемы, может, стоит всё-таки пожертвовать классическим представлением о том, что можно точечно (равно как и моментально) передать телу некоторую энергию? И в том числе механическую, при помощи приложения к телу силы или момента.
Все эти вопросы ориентируют нас на ту ситуацию, что в математике уже давно используется функция, которая вполне способна, при надлежащей настройке, заменить функцию Дирака. И прежде всего она востребована в теории вероятности, а именно как функция плотности нормального (Гауссова) распределения: exp(-((x-m)/s)^2). Если в этой функции значение s=0.01 (или меньше), то чисто визуально она ничем не отличается от функции Дирака (то есть чисто точечного приложения силы F, причём отражает не саму силу, а погонную интенсивность этой силы, которая равна F/s), зато математически остаётся вполне нормальной функцией, её можно адекватно интегрировать и дифференцировать.
Что ещё замечательно для такого способа представления профиля нагружения?
1)чтобы получить общую интенсивность воздействия на конструкцию, мы просто суммируем интенсивности всех СФ, а не мучительно собираем её как кусочную функцию.
2)вследствие этого обеспечивается решение проблемы отображения в матмодели симметричности воздействия на конструкцию любого СФ.
Тестирование этого способа представления профиля нагружения (см. МетодСил9), причём уже не для 2-х, а для 3-х КС даёт адекватный результат, то есть соответствующий как физике, так и классическим уравнениями равновесия.
Так что же теперь, задача решена? Закрываем тему?
**
Нет, на этом пути предстоит обсудить еще один вопрос.
А именно, что же такое собственно равновесие конструкции? Может, ответ на этот вопрос позволит лучше понять смысл энергетического метода равновесия?
Не условие равновесия, как
1)классические уравнения равновесия
2)уравнения соблюдения заданных КС
3)сумма всех работ (чего-то и когда-то) = 0,
а именно само понятие равновесия.
Что же это такое?
Вперёд http://www.proza.ru/2019/07/07/39