Драматическая история решения задачи равновесия статически неопределимых конструкций
Всем, кто брался грызть гранит сопромата, общеизвестно, что прежде чем найти мехнапряжения в конструкции, нужно определить всю картину сил и моментов, действующих на конструкцию, то есть в каждой её точке. По которой и найдутся мехнапряжения в каждой её точке, знание которых и обеспечит прочность конструкции при данных внешних нагрузках, за счёт определения правильных параметров конструкции (а именно, жесткостей её элементов).
Но в том-то вся и фишка, что, чтобы определить всю картину сил и моментов, действующих на конструкцию, нужно сначала решить задачу равновесия конструкции. А именно, по известным внешним силам, действующим на конструкцию, определить так называемые силы-реакции связей (РСв), то есть те невесть откуда берущиеся силы, действие которых на конструкцию обеспечит определённые (равновесные) значения перемещений конструкции в заданных точках, причём обязательно равные 0 и в тех точках, где приложены данные РСв .(в дальнейшем будем называть это требование «кинематическая связь» или сокращенно КС)
То есть решить, в сущности, задачу не сопромата, а теормеха.
Но теормех, создав теорию равновесия, основанную на двух уравнениях равновесия: по силам и по моментам (назовём это классической теорией равновесия), на этом и успокоился. (оговорюсь сразу, что для простоты я рассматриваю только чисто поперечные схемы нагружения) Однако сопромату этого оказалось недостаточно, так он вскоре столкнулся на практике с задачами, в которых фигурировали не уже 2 КС, а больше. Ибо теория равновесия, созданная в теормехе, годилась только для решения задачи равновесия с 2-мя КС. Тогда задачи с бОльшим количеством КС были названы статически неопределимыми.(=СН)
Что же делать? Как решать СН-задачи? В ответ на это в сопромате был создан метод сил. Который якобы и позволял решать СН-задачи. Идея этого метода – в том, что давайте назначим какую-то (и не важно какую) РСв лишней. Тогда её значение (в состоянии равновесия конструкции) можно определить как-то по-иному, а значения всех остальных РСв потом определим по классическому методу.
Не описывая детали этого метода, зададимся вопросом: а разве равновесие конструкции не обеспечивается сразу всеми силами, действующими на неё? Так почему же тогда значение одних РСв решено определять так, а всех других – этак? Ну, допустим, мы сделаем так.
Отсюда следует проверка результатов метода на соответствие классическим уравнениям равновесия. Не получается соответствия.
Далее, еще один вопрос: поскольку лишними разрешено назначать любые РСв, значит и результаты решения будут одинаковыми? Отсюда еще одна проверка метода сил, которая опять же даёт отрицательный ответ.
К тому же метод сил при самых разных способах его применения даёт решения, не соответствующие классической теории равновесия.
И всякий, кто попытается применить его на практике, может убедиться в этом.
Так что же теперь делать? Ведь признать метод сил корректным точно нельзя. Позже мы вернёмся к этому вопросу и докажем это утверждение более основательно.
Но и классическая теория равновесия тоже не позволяет нам решить такую, статически неопределимую, задачу равновесия.
Так что же теперь, отменить классическую теорию равновесия?
Конечно же, нет. Поступим так: оставим в качестве базового инструмента для решения задачи равновесия уравнения равновесия по силам и по моментам (и даже более того, будем использовать эти уравнения для проверки всех испытываемых методов), а в добавление к ним постараемся найти какие-то еще уравнения, которые и позволят решить в итоге задачу равновесия СН-конструкций любой степени неопределённости.
И 1-ая идея, которая приходит на ум – это использовать другие уравнения равновесия по моментам, а именно построенные относительно других осей вращения, а именно проходящих через точки приложения РСв.
Но легко доказать, что если выбрать из множества этих уравнений любые два, то все остальные уравнения – линейно зависимы от первых 2-х, а поэтому никакой новой информации не добавляют, а поэтому являются нерабочими. Итак, 1-ая идея по развитию инструментария решения задачи равновесия, оказалась непригодной.
Что же дальше? Вспомним, что в теоретической механике используют еще так называемый метод виртуальных перемещений (ВП). Суть его сводится к следующему: по очереди убираем одну из КС, но оставляем соответствующую ей РСв и рассматриваем сумму работ, которые совершат все силы на получившихся в итоге перемещениях конструкции. Поскольку конструкция находится в равновесии, эта сумма должна равняться 0. Из получившихся уравнений (которых ровно столько, сколько РСв, что нам и нужно) и находим все РСв. Вопрос в данном случае сводится к тому, как найти перемещения с точках приложения каждой силы, в том числе и грузовой.
Но прежде чем обсудить этот вопрос, займёмся еще вот каким вопросом: а насколько обоснованно при этом утверждение, что сумма работ всех сил = 0? Да, и еще: от какой ситуации до какой находятся работы? Ведь если от состояния равновесия конструкции в ситуации с имеющей место связью до состояния равновесия без этой связи, то очевидно, что утверждение, что сумма работ всех сил = 0 не факт, что истинно, т.к. конструкция при этом из одного состояния равновесия переходит в другое, соответствующее новому профилю нагружения. Да, без всякого сомнения то, что при переходе конструкции из свободного состояния в состояние равновесия при любом профиле нагружения сумма работ всех сил равна 0, т.к. одни силы совершают положительную работу, а другие – отрицательную и причём в равной мере. Но то, что при переходе из состояния равновесия в другое состояние равновесия сумма работ всех сил равна 0, далеко не очевидно.
Кроме того, есть еще такой вопрос: если конструкция имеет 2 силовых КС, то при удалении одной из них она придёт … не в другое состояние равновесия, а в инфинитное вращение относительно другой точки закрепления (точки КС). Корректен ли в таком случае метод ВП?
Однако применение этого метода к такой конструкции даёт результаты, в точности согласующиеся с результатами, получаемыми с помощью классического метода равновесия. Более того, легко доказать, что система уравнений, получаемая с помощью метода ВП, равносильна системе классических уравнений равновесия.
Это обстоятельство заставляет поискать другую интерпретацию метода ВП. Предположим, что в одной из точек КС по какой-то 3-ьей причине, то есть без удаления самой КС, возникает бесконечно малое перемещение (почему его и называют виртуальным, то есть воображаемым), тогда какие перемещения возникнут в точках приложения грузовых сил? Ибо зная эти перемещения, мы также можем найти РСв, решив систему уравнений равенства 0 суммы работ всех сил. В сущности, эта интерпретация лишь немногим отличается от 1-ой интерпретации, а именно тем, что исходное перемещение – бесконечно малое, что необходимо для упрощения расчёта, т.к. позволяет допустить, что значения РСв в результате данной пертурбации останутся прежними. А кроме того, позволяет увериться в том, что сумма работ всех сил в результате этого всё-таки равна 0, т.к. произошёл переход между весьма близкими, различающимися на бм величину, состояниями равновесия конструкции.
Таким образом, логика метода ВП всё-таки нас убеждает и мы готовы приступить к решению с помощью него уже СН-задач. Идея здесь в чём? Пусть для начала задача 1-жды СН, тогда, по очереди применяя метод ВП к каждой КС, мы получим систему уравнений метода ВП. Тогда вопрос опять же сводится к определению перемещений в точках КС, но решается он в данном случае уже не так просто, как для СО-конструкции, методами чисто геометрическими. Здесь придётся применить более кардинальный метод, который почему-то в некоторых учебниках называют методом начальных параметров, но мы, для бОльшей понятности, назовём его метод упругой линии (УЛ). Заключается он в том, что, зная точки приложения всех сил, мы получаем сборную функцию моментов, действующих на конструкцию, а потом делим её на коэффициент поперечной жесткости конструкции (E*J) интегрируем дважды по х, сначала получая функцию углов поворота б/м элементов конструкции, а потом и функцию прогибов конструкции на всём её протяжении (которую и назвали образно «упругая линия», отсюда и название метода).
Но при этом возникают 2 новых неизвестных – постоянные каждого интегрирования. Их значения определяем исходя из заданных КС – значений прогиба в точках закрепления.(разумеется, равных 0), решив соответствующие уравнения для прогибов в этих точках, использующие построенную функцию УЛ.
Применив метод УЛ к каждой КС, получим искомые значения прогиба. После чего можно переходить к собственно методу ВП, составляя и решая уравнения равенства 0 суммы всех работ для каждой КС. В результате всё, дело сделано, искомые значения РСв найдены, хоть мы и решали СН-задачу.
Но проверка таким образом полученного решения по уравнению равновесия по силам даёт некоторую, хотя и малую невязку.(0.04*F) Проверка же по уравнениям по моментам даёт уже существенную невязку (0.7*F и даже более), что указывает на явную некорректность этого метода решения задачи равновесия. Как же это объяснить?
Но здесь возникает идея: а что если «лишнюю» РСв находить по методам ВП+УЛ, а все остальные – по классическому методу? Но и в этом случае мы получаем результат, не соответствующий классической теории равновесия. Значит что, пока предложенный метод отодвигаем? Или всё-таки отодвигаем классическую теорию равновесия? Ведь так хочется совершить революцию в науке! А ведь обосновать-то это легко! Просто объявив, что равновесие СН-конструкции – это совершенно другое равновесие, чем равновесие СО-конструкции, так как для обеспечения последнего – совсем не требуется учёт деформаций конструкции, чего не скажешь при обеспечении равновесия СН-конструкций.
Но давайте пока не будем горячиться и поищем какой-то более универсальный критерий равновесия.
А на пути в нему попробуем сделать так: зная точки приложения всех сил, мы строим функцию упругой линии (см. метод УЛ) и на основании его для каждой КС строим систему уравнений для определения РСв, решая которую и находим каждую РСв. Но в том-то вся и фишка, что в процессе построения функции упругой линии образуются 2 константы интегрирования: для функции углов поворота сечений и для функции прогибов. Как же их найти? А вы что, забыли? У нас же есть в запасе еще 2 классических уравнений равновесия.
Что же показывает практика? Что таким образом задачи любой степени СН превосходно решаются, т.к. уравнения для КС – не имеют в принципе тенденции к линейной зависимости между собой (в отличие от множества классических уравнений равновесия, дополненного уравнениями равновесия по моментам относительно других точек КС, кроме одной) И данное обстоятельство – легко доказывается строго.
Кроме того, полученные решения, понятно, в точности соответствуют классическим уравнениями равновесия.
Что же в итоге? Тема закрыта? Казалось бы, да. Но, увы, тот самый более универсальный критерий равновесия пока не найден. Поэтому продолжение следует.
вперёд http://www.proza.ru/2019/07/06/37