Современная математика существует и развивается в составе большого комплекса наук. И она же существует в контексте формирования как эмпирических, так и теоретических знаний.
Добавление: В математике есть имиджевая, престижная составляющая. Она входит в культурное пространство нашего времени под флагом выдающихся имен, с вывеской «сделано крупнейшими учеными-творцами». Подразумевается, что математика суть продукт высшей пробы. Но это внешний момент существования математики.
В содержательном плане на первое место в наше время выдвигается та математика и те ее служители, которые занимают видное место в решении актуальных технических, естественнонаучных, социально-экономических задач. Такая математика активно участвует в разработке и в применении сети моделей, способных обеспечивать расчетную, управленческую и оценочную деятельность в различных областях современной практики. Даже академическая математика наших дней и в России, и за рубежом, участвует в делах промышленного, социального, экономического и военного назначения. Показательно, что в скрытом от посторонних глаз оборонном секторе рождались многие направления теоретических исследований, которые стали со временем началом крупных научно-технических и социальных разработок.
Тем не менее, на фоне бурной математизации экспериментального естествознания, техники и социальной деятельности высокая теоретическая математика продолжает сохранять свой статус и значение. Решаемые в ней задачи и вопросы касаются различных аспектов сущности математической науки. Доказанные теоремы теоретического порядка, сформулированные на высоких уровнях обобщения и абстракции, служат ориентирами дальних математических прозрений и обеспечивают более или менее прогнозируемое развитие существующих отраслей математической науки. Не давая непосредственной практической отдачи, теоретические отделы математики создают запас методологических знаний, которые получают свое развитие и применение в отдаленном, а иногда и совсем близком будущем.
Да, теоретическая математика опирается на абстрактно-всеобщие основания. Да, они направляют дедуктивное развитие собственных теорий этого уровня. Но в этой же сфере, то скрыто, то явно рождаются своеобразные технологические инструменты математического познания, воплощающиеся в алгоритмах математических действий. Здесь осуществляется своеобразное оборачивание математических методов. И в этом просматривается печать практической значимости математического познания, выстроенного даже на отвлеченных абстрактных теоретических конструкциях. На начальных стадиях развития теоретической математики данное обстоятельство может быть не различимо. Но указанная технологизация обнаруживает себя в отдаленном движении, при охвате теоретических конструкций математики в контексте целостного и самодвижущегося процесса математического познания.
Реальное познание, и научное познание в том числе, представляет собой единство предметной основы и субъективных аспектов познавательной деятельности. Поэтому изменение предметной области математики так или иначе связано с процессом роста знания, с новыми проявлениями творческой активности ученых-математиков. Отсюда проистекает правомерность тезиса, что истины математики принадлежат ее субъекту, но вместе с тем такие истины имеют объективный характер. Учет этого обстоятельства выдвигает требование соразмерности в продвижении научного математического познания к истине. В частности, чрезмерный субъективизм в математике должен быть ограничен.
Вся история математики показывает, что в ней действуют регуляторы и методологические правила, с помощью которых существенно ограничивается произвол и субъективистские ошибки исследователей. Одно из подобных требований связано с дедуктивным характером развития математических теорий. Приемлемая дедукция работает тогда, когда она опирается на ранее проверенные результаты, использует достоверный математический опыт, сохраняет предметную определенность математических понятий.
Высказанные в этом тексте мысли, убежден автор, могут получить продолжение в дискуссиях профессионалов. Призываю к дальнейшему обсуждению общих идей современного математического знания.