Существуют ли иные расположения в кружочках чисел от 1 до 8, дающие сумму 13 по каждой стороне квадрата?
Отличные от найденного Олегом (решения, переходящие друг в друга с помощью поворотов и отражений, считаем одинаковыми).
Если да, то сколько их?
Олег;
Пятерка не может лежать и в одной вертикали с восьмеркой. Что же остается? Только три кружочка, но в двух из них уже поставлены числа 6 и 7. Поэтому число 5 может занимать единственное место: в правом нижнем кружочке. Ну, а после этого числа в остальных кружочках определяются без труда, исходя из того, что сумма чисел по всем сторонам квадрата равна 13. Например, в левом нижнем кружочке должно быть число 13 – (7 + 5) = 1, в правом верхнем 13 – (6 + 5) = 2 и так далее. Итоговое расположение показано на рисунке.
Ну, а сумма чисел в серых кружочках равна 8 + 2 + 1 + 5 = 16.– Умница! – похвалил я его. – Не осрамил честь семиклассника перед третьим и даже четвертым классом!
– Но, – многозначительно добавил Олег, – я обнаружил в условии лишние данные!
– Это какие?
– удивился я.
– Шестерка и семерка! Оказывается, достаточно указать расположение только восьмерки, т.е. исходная картинка могла выглядеть, как на рисунке.
– Ну-ка, поясни.
– Я подумал: если для пятерки допустимы только три кружочка, то это тем более верно для шестерки и семерки! Значит, эти три числа должны лежать в тех же трех «разрешенных» кружочках, но вот вопрос: обязательно ли в том же порядке? Сразу видно,
Шестерка и семерка не могут находиться на одной горизонтали – ведь 6 + 7 = 13 и сумма их с третьим числом той же горизонтали превысит 13. Точно так же они не могут быть в одной вертикали. Значит, в правом нижнем углу – непременно пятерка, а шестерка и семерка расположены либо как в условии исходной задачи, либо симметрично относительно диагонали. Потому итоговое расположение чисел – либо то, которое я нашел, либо симметричное ему.
Но нас-то интересует не расположение чисел, а только сумма тех из них, что находятся в серых кружочках. Эти цифры – те же самые, так что и сумма их останется неизменной – 16.
Что тут сказать? Молодец парень! Однако он был весьма удивлен, когда узнал, что и единственная восьмерка – тоже лишние данные! Иначе говоря, можно было вообще не указывать ни одного числа в кружочках. Более того –решение при этом еще и упрощается.
Итак, пусть не указано положение ни одного из чисел.
Обозначим их значения (пока неизвестные) буквами.
Тогда, согласно условию, выполняются четыре таких равенства:
А + Б + В = 13, В + Г + Д = 13,
Д + Е + Ж = 13, Ж + И + А = 13.
Давайте их сложим. В правой части будет, понятное дело, число 13 ; 4 = 52. А в левой? Там окажется сумма значений всех букв, причем некоторые из них встретятся один раз, а другие – дважды. Поэтому для удобства представим суммарное выражение в таком виде (убедитесь в его справедливости!):
(А + Б + В + Г + Д + Е + Ж + И) + (А + В + Д + Ж) = 52. Заметим, что в первых скобках находится сумма всех имеющихся чисел (правда, не ясно, в каком порядке, но от перестановки слагаемых сумма не меняется).
Поэтому она равна 1 + 2 + … + 8 = 36. Получаем, что 36 + (А + В + Д + Ж) = 52, и потому А + В + Д + Ж = 52 – 36 = 16.
Но А + В + Д + Ж – это и есть сумма чисел в серых кружочках. Так что она равна 16 в любом случае.
Отсутствие данных избавило нас от необходимости выполнять какой бы то ни было перебор.
Более того – не требуется даже выяснять, можно ливообще расставить числа в кружочках в соответствии с требованиями условия. Так что в некоторых случаях, действительно, меньше знаешь – лучше решаешь. И, соответственно, крепче спишь, почивая на лаврах.
"Квант" 2013 N°1
4 8 1
3 .. 7
6 2 5