При исследовании сложных систем применяется моделирование с изменением масштаба и объема исследований. В основе такого моделирования лежит принцип непрерывности пространства и времени. Основной трудностью на завершающем этапе моделирования является перевод модельных размеров и времён в натуральные. Из ОТО известно, что при отсутствии гравитации за рельеф модели отвечает число ПИ, а за время - число e. Поэтому изначально необходимо установить связь между этими основными константами.
В молельной системе всегда можно выделить колебательный процесс, который в общем виде можно записать в виде
exp (iФ) = cos Ф + isin Ф (1)
Область изменения экспоненты (1) лежит в пределах от –1 до + 1. Поэтому вполне допустимо предположить, что в области изменения имеется период 1/Т, записав это в следующем виде:
[exp(i/Т)]^4 = 1 (2а)
[exp(i/Т)]^2 = - 1 (2б)
Приняв угловую скорость, равной 1, так как в модели сравнивать всё равно не с чем, в чём бы она в модели не измерялась, получаем
1/Т = 2 П. (3)
Из (3) приходим к выводу, что время и длина дуги в модели размерности не имеют.
Допустим, что в некоторой системе мер углу в 1 рад соответствует A угловых единиц модели. Тогда
lag e = 1 /ln a = A , где (4)
lag – логарифм по основанию a.
Длина окружности в модели равна 2П дуговых единц. Или
2П/А = 2П* ln a = 2ПИ, тогда П = ПИ/ln a (5)
Разобравшись с угловыми преобразованиями, перейдём к линейным преобразованиям подобия плоскости и при необходимости пространства. Допустим, что R(a) – единичный модельный радиус, а R(e)=1 – натуральный единичный радиус. Исходя из свойств линейного преобразования можно, записать
R(a)/2П = R(e)/2ПИ (6)
Выражение (6) позволяет линейные метрики модели, даже при отсутствии их размерности, преобразовывать в натуральные линейные значения, используя коэффициент преобразования, определяемый углом, равным arctg(1/2 ПИ).
Нелинейные погрешности в пространстве можно исключить применением процедуры поворотного преобразования, найдя общий центр симметрии.
При a=e получаем модель тождественную реальной системе, то есть точки модели и реальной системы совпадают.
Рассмотренные преобразования могут пригодиться и для согласования систем измерения, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен.
Наиболее впечатляющим достижением применения может быть генерация внутренней системы измерений на совокупности органов чувств. Закон Вебера-Фехнера, проглядываемый в выражении (5), напрямую указывает на такую возможность