1.Математика и потусторонний мир.
В школе преподают в основном алгебру действительных чисел и геометрию с максимум тремя пространственными измерениями. Особо прошаренные могут полистать специальную литературу также про комплексные числа вроде журнала "Квант". Но когда человек, даже сдавший школьную математику на отлично, попадает в технический ВУЗ, там его ждут "сюрпризы", чреватые разрывом шаблонов. Для начала уже упомянутые комплексные числа. Ну, в слове комплекс обычно ставят ударение на о. Например, свиноводческий комплекс. А в словосочетании "комплексные числа" предписывается ставить почему-то ударение на е. Не знаю почему. Возможно, чтобы отделить себя от остального мира и продемонстрировать свою исключительность. Ну, значение слова комплекс - это значит "что-то с чем-то". И комплексные числа - это те, которые имеют действительную и мнимую часть. Но нет. Какой-то завкафедрой сказал - кОмплексные - это обеды, а числа - комплЕксные. Так вот, что это за такая мнимая часть в комплексных числах и вообще, что такое мнимое число?
Когда-то, на исходе средних веков, математики занимались извлечением квадратных корней. При этом могли получаться числа рациональные или иррациональные, но всё равно действительные. К тому же, одинаковые по модулю отрицательное и положительное число при возведении в квадрат дают одно и то же положительное число. Если квадратное уравнение способно иметь действительные корни, их бывает два (дискриминант больше нуля) или один (дискриминант равен нулю). А если дискриминант меньше нуля? Это значит, что график этой функции не имеет общих точек с осью ординат и уравнение действительных корней не имеет. То, есть, из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя. Но вдруг кому-то из тех стародавних математиков (тогда они были все молодые) пришла в голову "светлая идея": "А давайте сделаем так, что как будто бы можно". Ну, как "взрослые" поступают - если нельзя, но очень хочется, то можно. Сразу вспоминается конституция, ее "соблюдение" всевозможными руководителями, партийная кормушка, недовольные трудовые массы, протесты и их силовой разгон, но данная статья не про это. Так вот, старинные математики придумали так. Квадратный корень из отрицательного числа, например, минус единицы, извлечь нельзя, но мы будем считать, что как будто бы можно. Что как бы есть такое число, при возведении которого в квадрат получается минус единица. В реальности его нет, но мы будем играть, что как будто бы оно есть. И назовем его i (Imagine - мнимый). И теперь можно как бы извлекать корни из любых отрицательных чисел. Например, корень из -4 будет 2i (соответственно +2i и -2i) , а корень из -6,25 будет 2,5i (и -2,5i тоже) и т.д. А корни любого квадратного уравнения будут тогда состоять из действительной и мнимой части - и такие корни будут являться комплексными числами. Таким образом, действительные корни - частный случай комплексных корней с нулевой мнимой частью. Комплексные числа додумались изображать точками на двухмерной плоскости, аналогичной координатному полю xy, из них тоже можно извлекать квадратные корни, как из действительных чисел, кроме обычной записи комплексного числа вида x+iy, сущесвует также запись R*exp(iф) - про подобное можно почитать в специальной литературе.
То есть, в математику проникло в явном виде нечто потустороннее. И всё бы можно, казалось, списать на не вполне здоровую фантазию, да много интересного открылось с этими мнимыми числами. Например, что число пи можно выразить через число е с помощью специального интеграла. Что е в степени iф равно cosф+isinф, и это подтверждается с помощью рядов Тейлора. Что многие сложные тригонометрические выкладки с синусами-косинусами существенно упрощаются, если записать числа в комплексной форме с экспонентой в степени iф - при умножении происходит сложение степеней мнимой экспоненты, а потом, после вычислений надо взять действительную или мнимую часть - какая вам больше нравится - в ней и будет ответ в виде действительного числа, существующего в реальном мире. С помощью этой плоскости комплексных чисел приноровились решать некоторые трудно решаемые дифференциальные уравнения. Для этого изобрели прямое и обратное преобразования Лапласа. Дифференциальное уравнение как-то переводится в алгебраическое, которое сравнительно просто решается, а потом с помощью обратного преобразования результат из комплексной плоскости переводится обратно в действительную (оригинал-изображение). Существуют также прямое и обратное преобразования Фурье (спектр-частота и частота-спектр), но подробно описать не могу, хоть и сдавал. Почитайте спецлитературу, если плохо не станет (она почти вся одинаковая). Теория функций комплексных переменных- это теория так зазываемых конформных преобразований (сохраняющих углы). На этот предмет есть специальный классический учебник - Лаврентьев, Шабат - книга достаточно дорогая. Говорят, эти комплексные преобразования используются во всякой гидродинамике и таким в молодости занимался политик Борис Немцов. Я до всего этого не очень допёр, т.к. всю эту высшую математику нам объясняли ударными темпами, в суматохе и на пальцах, используя только доску, тряпку и мел в течение 2 или 3 лет. И что эти комплексные дифуравнения используются в радиофизике. Попробуем решить такую радиофизическую задачу. Перестал работать импульсный блок питания. Какое преобразование Лапласа нужно применить?
Шутки шутками, а у меня практически всегда, когда листаешь учебник по электронике или электротехнике с вот такими комплексными величинами, с мнимыми экспонентами, обозначающими переменный ток (в электротехнике эта мнимая величина на показателе экспоненты обозначается не буквой i, а буквой j, т.к. буквой i там обозначается величина тока - так сделано, чтобы уменьшить путаницу), у меня всё же возникает отчетливое ощущение соприкосновения с чем-то потусторонним. Словно ты в каком-то печальном полумраке и даже вне жизни, по ту её сторону, а там, за невидимой стеной, происходит нормальная, реальная жизнь, но прямо туда из мира мнимых величин так просто попасть возможности нет, остается надеяться разве что на чудо и что со временем это, может быть, как-то рассосётся.
В электротехнике, которую излагают таким образом, сопротивление - вообще говоря, комплексная величина. Действительная часть - это активное сопротивление, а мнимая часть - реактивное, определяемое емкостью и индуктивностью. Реактивная часть зависит от частоты, а активная - нет. При нулевой частоте (постоянный ток) остается только активная составляющая. Был описан прибор, измеряющий комплексное сопротивление молока и определяющий таким образом его качество - на деле измерялись активное и реактивное сопротивления. Конечно, электротехнику можно излагать и иначе, без привлечения мнимых математических величин. От того, каким образом вы опишете эти физические процессы, сами процессы никак не зависят. И в реальной технике мнимого как-то не обнаруживается, как и четвертого пространственного измерения.
2."Новое платье короля" в курсе вузовской математики.
Где-то во второй половине школы, на уроках физики и математики вводится понятие "вектор". Вектор-это направленный отрезок. Это палка со стрелкой. Это направление, куда прилагается сила или куда что-то движется. Они могут складываться, вычитаться. Если векторов много, в какой-то данной точке они могут образовать суперпозицию, как, например, в случае с вектором напряженности электрического поля E - в данной точке существует только один результирующий вектор электрического поля E. Векторы могут быть в зависимости от представления задачи, одномерными, двухмерными, трехмерными, зависеть от координат, времени и иных параметров. Ключевое замечание - пространство максимум трехмерно. Вроде всё не вызывает особых затруднений или противоречий.
И вот ты попадаешь в вуз с предметом, например, "Линейная алгебра и аналитическая геометрия". Первый курс, первый семестр. Ну, поначалу ничего. Вводятся понятия скалярного перемножения векторов (сила на направление равно работа) и векторного перемножения - тут рисуется матрица 3 х 3 , в верхней строке - векторы i,j,k, в двух последующих - координаты первого вектора, потом второго вектора, на выходе как результат имеем тоже вектор, перпендикулярный двум первым и численно равный площади параллелограмма, на них построенного. На самом деле, на выходе - не реальный вектор, а так называемый, аксиальный вектор или псевдовектор, т.е., физически его нет как вектора, а существует он только в нашем воображении да на картинке в тетрадке или учебнике. Этот вектор - фантазия теоретиков и используется для расчета всяких моментов импульса и подобных величин, образующихся по правилу штопора или буравчика. Ну, ладно, фантазии-фантазиями, а пространственных измерений пока только три, что вполне укладывается в человеческое воображение. Но вот идем дальше по шкале времени, осень прогрессирует, и вскоре нас ожидает "сюрприз". На очередной лекции нам сообщают, что теперь мы будем изучать, говорят, векторы, в самом общем виде, что у векторов оказывается, может быть измерений больше трех - там, 4,5 и вообще бесконечно много.
Не бывало, говорите, пространственных измерений больше трёх? - А я хочу, хочу, хочу. А у меня будет! - Но ведь это не имеет отношения к реальности! - А твоя оценка и стипендия имеют отношение к реальности? И вообще, если не хочешь учиться в техническом вузе по нашей программе - учти, у нас монополия и во всех вузах то же самое, мы тебя не держим - можешь валить отсюда и учиться на гуманитария (перспектива - стать неконструктивным оппозиционером) или в ПТУ (перспектива - стать рабом и класть плитку в палисадниках новообогатившихся "хозяев жизни"). Не хочешь? Ну тогда сиди, слушай, записывай и сдавай. Так вот, вы должны забыть, что вектор - это палка со стрелкой. - Как забыть? Ведь в школе именно такому учили.
И тут начинаются уклончивые объяснения: "Вместо того, чтобы дать прямое определение, что такое вектор, перечислим свойства, которыми он должен обладать и на основании этих свойств в дальнейшем будем строить нашу теорию". - А почему вы сразу прямо не объясните, что такое вектор в вашем теперешнем понимании? - Да потому что в человеческом языке для определения таких объектов нет слов. По крайней мере приличных. Да потому что такой объект не существует в реальности. Мы строим теорию того, чего нет и не было. Учтите - вам сдавать! И человек представить себе в воображении это не может и создать пространственную модель этого тоже не может, т.к. у нас - высших математиков - в голове измерений больше трех - мы так говорим вслух, потому что сказать можно вообще всегда что угодно. И наши так называемые многомерные измерения подчиняются формальной логике. Что у вас, юных студентов, происходит вынос мозга, нас не волнует. У нас монополия. -Но как это нам забыть то, чему столько лет учили в школе, получали положительные оценки и это было без выноса мозга? Может, вообще надо полную амнезию? -Нет, полную не надо. Надо как в фильме "Джентльмены удачи" - помните, там был такой Доцент - тут помню, тут не помню.- А, тот Доцент, наверно, тоже был математик, как вы. То-то среди вузовских математиков столько странноватых субьектов. Теперь понятно. В школе учились, потом память слегка отшибло, поступили в ВУЗ. Забыли, что больше трех измерений нет в реале, выдумали свои, по формулам чудом сошлось. Вы, наверно, на школьных педагогов и программу какую-то обиду или злобу затаили и теперь на вчерашних школьниках отыгрываетесь? - Мы великие фарисеи от науки, попробуй спихни! Ты ничего не опровергнешь. В МГУ, мы уверены, то же самое. Ну и что что измерения больше трех представить нельзя. Один из великих наших теоретиков, академик, сказал, что в теоретической физике вообще много того, что вообразить и представить нельзя. -Но ведь конечный продукт физики - это техника, а в ней не бывает больше трех пространственных измерений.- Не знаю, - сказал великий фарисей от науки, аргументируя вращением рук. Записывайте в ваши каньсьпекты...
"Пусть V — непустое множество, элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать x,y,z … и т. д, со стрелками над буквой (а, всё-таки и у вас палка со стрелкой!) Пусть на V заданы и определены каким-либо образом две операции. Первая операция — бинарная аддитивная операция. Вторая операция — умножение вектора на какой-нибудь элемент A такого множества, которое является полем, в результате которой получается новый вектор". - Чего вы так мудрено объясняете? Это же не наука, а наукообразие получается. - Понимаете, если мы будем просто объяснять, это любой дурак станет понимать, тогда поблекнут наша слава, могущество и величие. Так вот, чтобы такого не произошло, надо было что-то предпринять и мы придумали вот такое изложение. Сами понимаете, рыба в какой воде лучше ловится? Гэта я з табой вечарую - туманамi цябе я чарую...Пишите дальше...Ничего, я тоже, когда был студентом, ничего не понимал, а потом привык. И вы привыкните.
..И вот, спустя годы, те же ощущения при открывании подобных учебников - мозг начинает запинаться на третьем знаке и хочется закрыть и забыть. Нет, не школьную программу по математике и не то, что вектор-это палка со стрелкой. Да, такое можно терпеть, к такому можно приспособиться, подобное, оказывается, даже можно сдавать на экзаменах, расплываясь мозгами, срыгивая и с ощущением, что еще немного - и поймёшь, но вот привыкнуть...увы. Когда-то я не понимал, как работает цветной телевизор, а теперь понимаю, а вот "четвертое измерение" как тогда не мог себе представить, так и теперь не воспринимаю. Какая-то слепая формальность.Почему-то даже маститый профессор, вспоминая подобные предметы и теории (профессор вел общую физику, не математику) кривился и говорил в беседе со студентами: "Да, гадко, ничего не поделаешь, противно. Но надо, надо..."
P.S. Есть идея - может быть открыть при некоторых математических факультетах шахматные отделения? Говорите, финансировать накладно? Можно сильно и не финансировать. Без крутых тачек и золотых унитазов. Может, для народного хозяйства, выгода и невеликая, зато и вреда немного. Ну, всё же, меньше чем от Чернобыльской электростанции или завода по изготовлению бактериологического оружия. Ну сидят люди, дуются в шахматы или шашки. Можно для разнообразия еще теннисные столики поставить. Туалеты будут убирать по очереди. Пользы может, и немного, зато удовольствия больше, чем от гиперпупербесконечномерных квазивывертов. И всё в пределах трех измерений, всё представимо. Как вам такая идея?
P.P.S.Это ж сколько наглости надо набраться, чтобы заявить на этапе начала высшего образования:"А теперь забудьте, что вектор - это палка со стрелкой"? А где ты, такой разумный, был, когда нам в школе это несколько лет подряд втюхивали? Недаром говорят, что левая рука не ведает, что творит правая. Два раза мозг ученика всё же не отформатировать. Неудивительно, что на втором-третьем году обучения подобным предметам с наукообразным изложением у студентов складывается впечатление о полной нелогичности математики и они начинают обсуждать это между собой, что там царит произвол и что запомнить всё это можно только механически, да и то, лишь для того, чтобы "спихнуть".