См. также: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=3_33
СОДЕРЖАНИЕ:
Предисловие
• Десятичные цифры
• Целые числа
• Обыкновенные дроби
• Десятичные дроби
• Упражнения
Резюме
Литература
Товарищи ученые! Доценты с кандидатами!
Замучились вы с иксами, запутались в нулях!
(Владимир Высоцкий)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современную математику переполняют парадоксы [1], большая часть из которых является следствием противоречий между материальной реальностью и математическими абстракциями, грубейшим образом искажающими эту реальность.
Одна из наиболее одиозных абстракций этой группы – принятое в философии и в физике понятие п у с т о т ы, абсолютно чуждое изучаемому объекту, то есть окружающей природе [2]. В геометрии эта абстракция приобретает вид пустой безразмерной точки. В арифметике она играет роль нуля, символа пустого числа и пустого разряда. В алгебре дополнительно – роль пустого начала натурального ряда [3], факториала пустоты [4], пустого показателя степени, пустого множества.
При этом самым распространённым источником пустоты в математике остаются позиционные системы счисления, прежде всего, десятичная.
Удивительно, но математикам удалось сформировать стойкое мнение, что использование нуля для записи чисел является неизбежным следствием применения позиционных систем счисления. Другими словами, ноль – это якобы вынужденная расплата за удобство применения позиционной записи чисел.
Целью статьи является опровержение этого заблуждения на примере предложенного автором способа позиционной записи целых десятичных чисел б е з п р и м е н е н и я н у л я.
ДЕСЯТИЧНЫЕ ЦИФРЫ
В настоящее время в десятичной системе счисления используются следующие десять цифр [5]:
Рис. 1. Современное начертание десятичных цифр.
При этом все цифры от 1 до 9 обозначают количество весовых единиц в каждом разряде позиционного числа, а цифра 0 используется исключительно для указания места пустого разряда. Другими словами, цифра 0 не является числом и её участие в вычислениях, фигурально выражаясь, притянуто за уши и, как следствие, служит источником наибольшего количества математических парадоксов.
Кроме того, использование нуля в позиционной записи десятичных чисел имеет ряд других недостатков:
• число 0, соответствующее цифре 0, не имеет числовой величины, что противоречит понятию числа;
• в материальном мире отсутствуют объекты, требующие представления числом «ноль»;
• в наборе цифр десятичной системы (рис. 1) отсутствует цифра «десять»;
• обозначение одного десятка достигается путём использования избыточного разряда;
• изображение нуля в форме гладкого цикла не согласуется с принципом начертания остальных цифр, а применение прямоугольника даёт 4 угла (рис. 2), что противоречит требованию отсутствия углов для этой цифры.
Рис. 2. Начертание нуля в стиле остальных цифр.
В связи с вышесказанным, предлагается отказаться от использования нуля, а десятичную систему дополнить до десятка цифрой «десять», использовав для этого широко известный символ десятки Х из римской системы счисления:
Рис. 3. Изображение цифры «десять».
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Содержимое любого разряда (новой декады) в предлагаемой позиционной десятичной системе счисления будет отличаться отсутствием числа «ноль» и наличием числа «десять»:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
Все прочие ч и с л а п е р в о й с о т н и будут двухразрядными:
11 12 13 14 15 16 17 18 19 1X
21 22 23 24 25 26 27 28 29 2X
31 32 33 34 35 36 37 38 39 3X
41 42 43 44 45 46 47 48 49 4X
51 52 53 54 55 56 57 58 59 5X
61 62 63 64 65 66 67 68 69 6X
71 72 73 74 75 76 77 78 79 7X
81 82 83 84 85 86 87 88 89 8X
91 92 93 94 95 96 97 98 99 9X
Начало в т о р о й с о т н и ч и с е л также будет двухразрядным:
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 XX
Однако все остальные ч и с л а п е р в о й т ы с я ч и будут уже трёхразрядными:
111 112 113 114 115 116 117 118 119 11X
121 122 123 124 125 126 127 128 129 12X
· · ·
991 992 993 994 995 996 997 998 999 99X
Нетрудно видеть, что новый подход к записи чисел использует прежний принцип формирования числового значения многоразрядного числа путём поразрядного суммирования всех произведений содержимого каждого разряда на вес данного разряда (рис. 4):
Рис. 4. Названия (веса) основных разрядов.
Например, число д в е с т и п я т ь д е с я т (24Х) в новой системе будет представлено следующим образом:
24Х = две · сотни + четыре · десятка + десять · единиц.
Полезно также понять простейшие приёмы сложения и умножения с использованием числа «десять»:
9 + 1 = Х,
Х + 1 = 11,
Х + Х = 1Х,
9Х + 1 = Х1,
Х9 + 1 = ХХ,
ХХ + 1 = 111,
3 · Х = 2Х,
Х · Х = 9Х.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
Поскольку рациональная дробь представляет собой отношение двух целых чисел вида m/n, то всё сказанное выше о записи произвольных целых чисел без привлечения нуля, будет справедливым также при записи как числителя, так и знаменателя обыкновенной дроби.
ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
С десятичной дробью можно поступить одним из двух способов:
а) привести к безнулевой позиционной форме отдельно целую часть (до запятой) и отдельно правую (после запятой) часть десятичной дроби;
б) преобразовать десятичную дробь в обыкновенную (смешанную) и воспользоваться рекомендациями, приведенными выше для обыкновенных дробей, например:
п = 3,14 = 3 + 14/100.
После избавления от нулей в знаменателе получим:
п = 3 + 14/9Х.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Запишите без использования нуля следующие числа:
• девяносто,
• сто,
• тысяча.
2. Произнесите названия перечисленных ниже чисел, содержащих цифру «десять»:
ХХ,
Х9Х,
ХХХ.
РЕЗЮМЕ
1. В работе наглядно показано, что ноль не является обязательным элементом позиционной системы счисления. Другими словами, продемонстрированный в статье способ избавления от нуля лишает математику главного козыря в поддержку ложной идеи несуществующей пустоты.
2. Автор не ставил цели внедрить новую систему счисления взамен существующей, поэтому описанный способ представления чисел при первом ознакомлении выглядит непривычным и неудобным. Однако после тренировки и наработки некоторого опыта и навыков эти впечатления вполне могут измениться.
3. Для практического применения новой системы счисления требуется разработка правил и рекомендаций по переходу от классической формы представления чисел к новой и обратно. Разумеется, потребуется также скорректировать правила выполнения арифметических операций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александр Котлин. Причины парадоксов математики. – http://www.proza.ru/2016/05/28/1324
2. Александр Котлин. Пустота – взгляд свыше. – http://www.proza.ru/2016/06/27/1607
3. Александр Котлин. Натуральные числа. – http://www.proza.ru/2015/08/18/1526
4. Александр Котлин. Факториал. – http://www.proza.ru/2015/09/10/1699
5. Где и как появились арабские цифры. – https://интересный.com/gde-i-kak-poyavilis-arabskie-tsifry/
8 февраля 2019 года – День российской науки