Оно - это число Пи. Математическая константа, трансцендентная и иррациональная. Выражается как отношение длины окружности к ее диаметру. Среди людей больше известна как 3,14. Точнее про Пи - это 3 с бесконечным числом разрядов дробной части числа после десятичной запятой. В поисках конца этого числа справа от запятой человечество бьется без малого четыре тысячи лет (и это только по известным, и, похоже, неполным и скудным источникам). Говорят, что найдено уже 10 триллионов цифр после этой проклятущей запятой.
Казалось бы - бытие дало нам гениальные вещи - радиус, с помощью которого мы получаем окружность, и далее производные - круг, шар, и другие чудные фигуры, типа трехмерной сферы из гипотезы Пуанкаре, доказанной Перельманом. Все изучено, осмыслено, понятно. Но не рассчитано с математической строгостью. Математика, ведь, точная наука. И тут такой конфуз - есть всемирно известная и древнейшая, как сама жизнь, величина, а вычислить ее невозможно. Мы с ней, условно говоря, живем бок о бок, ее значение велико, польза неоспорима, и при этом, мы ее до конца не знаем. Вот такая неуловимая бестия. Математическая. Ее, похоже, внедрили некие силы для того, чтобы человек никогда не забывал о своей слабости перед окружающим миром. Шутка. На самом деле оно внедрилось само по себе, без постороннего участия. Просто оно было всегда. А мы на него наткнулись и теперь мучаемся. И мучениям этим не видно конца.
Вот, например, одна из мученических мат-идей - построить квадрат, равновеликий по площади заданному кругу. Две с половиной тыщи лет математики самоистязали себя, пытаясь решить эту задачу исключительно с помощью циркуля и линейки. В этом они видели особый шик. Другие методы вычислений не принимались. Ничего не вышло. В 1882-м Линдеман доказал бессмысленность этого занятия. Виновница неудачи - Пи со своей трансцендентностью. Умный да Винчи, казалось бы, решил эту задачу другим путем. Он предложил (далее цитирую почти по Вики) "изготовить круговой цилиндр с радиусом основания R и высотой R/2, намазать чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатить его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью Пи*(R в квадрате). Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат". Учтено, казалось бы, все. Но тут есть своя заковыка. При прокатывании цилиндра невозможно определить точку остановки. Вы до нее или не докатите, или перескочите. Причина опять та же - трансцендентность Пи. Все, сливайте воду. Понятно, что площадь квадрата, если его сторона не выражается через такое же сумасшедшее число как Пи, например е, можно вычислить, и эта величина будет конечна. А вот площадь круга никогда не может быть вычислена точно. Дальше можно не париться. Если только когда-нибудь мы не вычислим, что Пи - конечная величина. И что-то мне подсказывает, что это невозможно. Хотя, чем, как говорится, математический черт не шутит.
На бытовом, и, даже, инженерном уровне, невычисляемость Пи значит следующее - вы никогда не сможете просверлить отверстие заданной площади. Просверлите или большей, или меньшей площади. Вот требуемого радиуса - сколько угодно, а площади - увы, нет. То же - с расчетами. Никогда вы не получите четкого ответа на задачу, в которой при вычислении будет присутствовать Пи. Будете нарываться на ошибку и/или на необходимость округления результата. При этом, похоже, ошибка вычисления будет набегать прямо пропорционально близости округления числа Пи к десятичной запятой. И особенно эта ошибка будет заметна при работе с большими числами, или с циклами, в которых при каждом следующем вычислении учитывается предыдущий результат, тем более, если в каждом цикле присутствует трансцендентность.
К примеру, как может выглядеть ошибка расчета параметров орбиты планеты. Например, Марса, тем боле, что на него рвутся люди. Некоторые данные (без учета эксцентриситета орбиты) возьмем из Вики, другие зададим, посчитаем приблизительно. Среднее расстояние от Марса до Солнца 228 млн км - это радиус (R), значения Пи (=3,14159...): первое - с округлением до двух знаков после запятой 3,14, второе - с округлением до трех знаков - 3,142. Определим, насколько велика будет ошибка при исчислении пути, пройденного планетой за ее полный оборот вокруг Солнца. Начнем считать. Путь (длина окружности) равен 2*Пи*R. Для Пи=3,14 получаем путь в 1431840000 км, для 3,142 - 1432752000 км. Разница 912000 км. Много или мало? Для межпланетных перелетов это чудовищно много! Допустим, на Марс надо лететь полгода (182,5 суток). Период обращения Марса вокруг Солнца 687 суток. Ошибка в исчислении пути Марса по орбите составит более 242000 км (182,5/687=0,266 с округлением и умножить на 912000 км). Мимо Марса с его диаметром в 6671 км мы можем просвистеть на расстоянии более половины расстояния от Земли до Луны (среднее - 384467 км). Вот к чему может привести неточность в 0,002. С такой точностью изготовленную бытовую алюминиевую заклепку можно вогнать в посадочное отверстие с помощью молотка, а вот сесть на Марс с такой точностью расчетов нельзя.
Конечно, при баллистическом обеспечении полетов космических аппаратов берут более точное значение Пи. Но ошибка все равно присутствует. И никуда от этого не деться. Если только не исключить каким-то чудо-способом уход от трансцендентных чисел при расчетах.
Вот такое, оно, взрывающее мозг Пи...
Мурзин Сергей Валентинович, 07 февраля 2019 года, г. Королёв