Должен сразу предупредить глубокоуважаемых математиков.
Я с трудом считаю до ста десяти.
Часами смотрю на пример в школьном учебнике для третьего класса и решительно не понимаю, как его решать.
В этих своих заметках об основах игр на плоскости я не претендую ни на полноту, ни на завершённость.
Когда же речь заходит о философских вопросах, меня просто «несёт».
Поэтому относитесь ко всему нарисованному с юмором.
Я – просто маленький мальчик, играющий в Адлере на каменистом пляже гальками.
Надо мною взлетают самолёты и я люблю смотреть на то, как они поднимаются всё выше, взмывая в небо прямо над нашими головами.
А ещё я люблю смотреть на море и мечтать, что однажды на красивом белоснежном корабле я отправлюсь далеко-далеко.
Так что не посылайте меня далеко, я сам себя давным-давно послал гораздо дальше.
А вам, мои милые наивные Читатели, поскольку вы, как и я, не математики, я попытаюсь показать несколько моих самых любимых с детства игр, для которых вполне достаточно собственного воображения и собственной фантазии.
Итак: мы размышляем о том, почему шашки переставляют из одной клеточки в другую.
Вот в нардах мы перемещаем шашки по лункам.
А в русских шашках мы их перегоняем по тёмным клеточкам шахматной доски. А лунки требуются только слепым шашистам.
Итак: ход – это перемещение фишки с одной клеточки на другую клеточку.
Мы пока размышляем не о взятии, а именно о самом простом «ходе».
Шашка ходит так: с одной чёрной клетки, вперёд, на соседнюю чёрную клетку по диагонали!
Казалось бы, чего уж проще?
Дети эту идею схватывают очень быстро.
И вообще, при взгляде на шахматную доску, ребёнок очень быстро улавливает идею движения фигуры по вертикали или горизонтали.
Дети словно имеют некое приспособление внутри себя, которое включается и ребёнки легко усваивают это перемещение «по прямой».
В большинстве шахматных учебников и пособий предлагается первым к изучению именно движение ладьи!
Попробуем провести небольшой мысленный опыт.
Представим себе большой настоящий биллиардный стол, и на нём группу бильярдных шаров.
Договоримся называть один шар «альфоном», два шара «беоном», три шара «гаммоном» и четыре шара «дельтоном».
Попробуем располагать шары как можно ближе один к другому.
Уплотнять.
Очень скоро мы убедимся, что есть только две принципиально различные плотные «упаковки» шаров на столе: квадратная и гексагональная, а точнее – треугольная.
Любопытно, что если три шара расположены не очень плотно, то между двумя крайними может втиснуться четвёртый шар и внезапно перед нами возникнет ромб, который при определённом «сжатии» обращается в «квадрат».
Любой «гаммон» и любой «дельтон» состоят из альфонов и беонов.
Присмотримся к теням от наших шаров и попытаемся изобразить эти шары, а точнее их ортогональную проекцию на поверхности стола.
В идеале мы получим идеальные окружности.
Их «упаковка» на плоскости отразит и две принципиально различных упаковки наших шаров: либо треугольники гаммонов, либо квадраты дельтонов.
В случае упаковки нескольких гаммонов мы получаем интересную структуру, которую именуем «шестиугольной» или «шестисторонней», но нам приятно прикидываться знающими латинские словечки, и мы называем эту структуру «гексагональной».
В чём её прикол?
А в том, что вокруг каждого из шаров, расположенных в центре, располагаются плотно-плотно ровно шесть шаров!
А вот если мы добились возникновения квадратной упаковки, то в ней вокруг каждого шара ровно четыре прилегающих и ещё четыре на небольшом удалении от.
Должен обратить Ваше внимание на такой факт, что если возникла квадратная расстановка и она «снаружи» прочно ограничена, то это весьма и весьма устойчивая структура! Плотно прижатые друг к другу шары не могут «сдвинуться» ни на йоту! И не важно, какой именно «рамкой» их «прижало» друг к другу – тридцать на десять «единиц» или пятьсот на тысячу «единиц». Здесь «единиц» - это диаметров шара. Но далее под «единицей» мы договоримся понимать только половину этого диаметра!
Предположим, что радиус каждой нашей окружности – проекции тени от шара на поверхность стола – равен ровно единице.
Какой именно единице? – спросит Читатель.
А не всё ли равно, драгоценный создатель?
Ведь единица очень удобна!
Окружность с радиусом равным единице мы будем называть «единичной», а шар с радиусом равным единице мы будем именовать единичным шаром.
Теперь поразмыслим.
Что, пусть и очень приближённо, напоминает нам окружности?
Да те же шашки!
То есть круглые плоские фишки.
Наиболее распространены в наше время самые обычные монетки!
Берём монетки одного достоинства и получаем набор «наглядных» пособий.
Диаметр каждой монетки будем считать равным двум.
Тогда монетка представляет собой «единичную» окружность, а если говорить короче – единичный круг!
Без особых усилий в современном мире можно найти и достаточное количество «единичных» шаров, например шариков для настольного тенниса, иди стальных шариков для подшипников, тех же биллиардных шаров или «шариков» бисера.
Можно всё это представлять себе мысленно или рисовать на листке бумаги или на экране монитора для персонального компьютера.
Лично я рисую иллюстрации в программе «пэйнт» сохраняя промежуточные результаты в формате “png”.
Этот формат для себя я именую в шутку «Панург», в память о моём любимом Рабле!
Да!
Когда часто размышляешь о рубле, не имея ни рубля, невольно вспоминаешь Рабле и его знаменитый остров Паппистов, особенно если сам – куда деваться? – папуля или папаня.
Опишем самое первое и самое очевидное свойство единичного круга или шара.
Если два таких «объекта» плотно прижаты друг к другу, то расстояние между их центрами равно двум единицам!
На этом месте я присоветовал бы вам призадуматься!
Для математиков сей факт не просто очевиден!
Они, как правило, на такие «мелочи» внимания не обращают!
Очевидно же, что если r =1, то d=2, а r + r=2 r.
Но мы, слава Богу, не математики, и у нас сей очевидный факт вызывает неподдельное изумление!
Я встречал великое множество людей на улицах, и в подземных переходах, которые совершенно не интересовались суммами Чисел, которые им на каждом шагу посылал Всевышний.
Не скрою от вас всей горькой правды!
Я много лет размышляю на суммами простейших чисел.
В моём кармане копеечки водились далеко не каждый день.
Да!
Мои подробные рассуждения на тему выпавшей там или тут суммы, или комбинации чисел, стоят десятки тысяч талеров, а порой и миллионы – если меня охватывает подлинное вдохновение.
Но сам я, в силу природной скромности и стремления к личной безопасности, редко брал за свои скромные искромётные «пояснения» больше пяти рупий или пары гривен.
Да!
На корочку хлеба хватало.
А зачем больше?
Чтобы копить?
Увольте!
Итак 1+1=2.
Вот вам и первое сакральное число – 11!
Ведь по учению Пифагорейцев, которого, к слову сказать, я так нигде и никогда к стыду своему не встретил, любое число надо «просуммировать» до состояния числа от единицы до девятки.
Например число 384.
Первая суммация: 3+8+4=15
Вторая суммация: 1+5 =6
То есть число 384 это 6.
Надо бы поставить в конце предложения восклицательный знак, но подлые математики придумали мерзкое сокращение, которое оне именуют «факториал».
Суть сокращения такова:
1х2х3х4х5х6=6!
Лихо!
Ничего себе, штучка!
И теперь, рассуждая о суммах, я вынужден опасаться, что, из-за нормального выражения эмоций восклицательными знаками, могу попасть под факториальные подозрения.
Заранее предупреждовываю: я факториалами ни тут, ни где-либо ещё, не пользуюсь.
И не в последнюю очередь потому, что на дух не переношу математиков, каковые почти на каждом шагу оказываются «псевдо».
Но к делу!
А вот другие версии тех же операций:
3+8=11
1+1= 2
2+4=6
Или так:
8+4=12
1+2=3
3+3=6
Вы можете для примера взять любое число подлиннее и насладиться вариантами суммаций, ведущих к одному и тому же результату!
Представляете, какие это открывает возможности скромному комментатору выпавших вам числовых комбинаций?
Для примера приведу номерок автобусного билетика:
294764
Понятно, что первая «общая» суммация такова:
2+9+4+7+6+4
Хотите «фокус-покус» сразу?
А уберите девятку!
Вот вам простые примерчики:
29 = 11 = 2
69 = 15 = 6
89 = 17 = 8
То есть девятку можно сразу выбрасывать!!!
Тогда наша первая суммация принимает такой вид:
2+4+7+6+4
Теперь обратите внимание на числа 7 и 2
В сумме это – 9!!
Два восклицательных знака, чтобы не путать с «факториалом».
Выбрасываем!
То есть надо сложить ряд
4+6+4=14=1+4=5
Проверяем:
2+9+4+7+6+4 = 11+11+10=32=5
Как вам эти приколы с девяткой?
И ведь как легко считается!
Есть даже полезная для детишек «технология» «умножения на девять га пальцах».
Надо просто приподнимать один из пальчиков на двух руках, «номер» которого соответствует числу, на которое умножаем.
Тогда десятки – слева, единицы – справа.
Кладем ладошки с растопыренными пальчиками на стол рядышком и приступаем:
Приподняли крайний слева мизинец.
Десятков нет.
А справа ровно девять!
1х9=9
Приподнимаем безымянный – он второй.
Десятков слева – один – мизинчик.
Справа восемь красавцев!
Восемнадцать!
2х9=18
Приподнимаем средний – то бишь третий!
Слева два, справа семь!
3х9=27!!
Приподнимаем указательный.
Слева три, справа – шесть!
4х9=36!!
Приподнимаем большой!
Слева четыре, справа пять!
5х9=45!!
И так далее!
Так что девятка – это наше всё!
Главное, чтобы пальчик вовремя и точно приподнимался!
Давайте еще один автобусный номерок для примера.
547117
Думаю, вы уже легко замечаете:
5+4 и 7+1+1 выбрасываем!
Значит это 7!!
Сверимся!
9+9+7=25=7!!
Счастье!
Господи, как просто!
И вот теперь возвращаемся к нашей загадочной сумме
1+1=2
Для «счастья» не хватает семёрки!
Любопытно и то, что если заменить сложение вычитанием, мы можем получить совершенно невероятное Число:
1-1=0
То есть в ряду чисел от одного до девяти мы попадаем в совершенно недопустимую ситуацию: выход «за пределы»!
И не просто выход, а всем выходам выход!
Обратите внимание на написание этого невероятного «числа», которое как наши «математики» тоже оказывается «псевдо»!
Ведь перед нами самый натуральный круг!
Ну для самых придирчивых – овал!
Предложим неожиданный Запрет.
Запрет на вычитания!
Складывайте, но не вычитайте!
И вам откроется!
Между тем 2 – это диаметр единичного круга или единичного шара!
Ну, определения и круга, и шара вы, наверняка, знаете:
«Геометрическое место точек…»
Вот до каких красот додумались наши горе-математики!
Что такое круг?
Геометрическое место точек!!!
А что такое «точка»?
Вот в этом самом месте у наших якобы математиков начинается самая настоящая истерика.
Высшее их достижение здесь: «В окрестностях точки Е».
Рисуют древнегреческий эпсилон, но твердят, как заведённые, «точки Е».
И именно «в окрестностях».
У меня был случай.
На игре.
Играли в Свердловске, ещё не вернувшимся в себя Екатеринбургом.
В самом первом успешном жилом комплексе МЖК.
В здании соседнем с той многоэтажкой, где жила моя одногруппница по техникуму Люда Перепелица.
Счастливая!
Сами организаторы игры – молодые люди из руководства этого МЖК, проговаривали порой совершенно потрясающие тексты.
Так один из самых главных восклицал, положив очередной раз телефонную трубку:
«Господи! Я же всем непрерывно лгу!»
Позднее я нашёл прекрасное усиление для этого восклицания:
«А теперь я буду вам вдохновенно лгать!»
Игра шла весело.
Вёл её Витя Николин.
Я как обычно, выступал в качестве Игротехника.
Какой-то эмжековец, кстати – кандидат как бы математических, словно бы и наук, что-то всё грузился и грузился философизмами и соционелогизмами.
Я решил сыграть с ним в его «профессионализм».
На школьной доске я нарисовал мелом один кружочек и спросил его: согласен ли он с тем, что множество точек и внутри кружка и за его пределами бесконечно. Он сказал, что согласен. Тогда я спросил его с самым невинным видом, какой только мог принять:
- А какая из этих бесконечностей больше?
И тут кандидат наук «загрузился» «по полной».
Понятно, что слово «бес», притаившееся в самом начале слова «бесконечность» его не смутило.
Но он почувствовал явно угрозу.
Интеллект – это искусство задавать вопросы.
Этим я доставал своих наставниц в специальной английской школе еще в третьем классе.
И далее – по восходящей.
Затем выпало мне остаться на второй год.
До сих пор подозреваю, что это была единственно возможная форма мести со стороны замученных мною преподавателей.
Так или иначе, но обычно на моих Играх я начинал с «разминки» с залом, мгновенно отвечая на любые вопросы.
При этом шанса поймать меня на неправильном ответе не оставлял.
Играл я просто.
По Сократу.
Из зала летел вопрос, а я бодро хрипел в микрофон в ответ:
«Не знаю!»
После первого десятка-двух я предлагал развеселившейся аудитории задать мне такой вопрос, на который я не мог бы честно ответить «не знаю»!
После трех-четырёх «очевидных» попыток аудитория тихо сдувалась.
Однажды передо мной сидел зал из пяти сотен экстрасенсов и гипнотизёров с колоссальным «аппаратным» опытом.
Завалить текстами такой зал было проще, чем уговорить того несчастного кандидата «математических» лженаук.
Нет, мне не повезло в жизни.
Ни Эйлер, ни Коши, ни Гаусс мне не встретились.
Не довелось мне родиться пораньше, чтобы пообщаться с Гёделем.
На той достопамятной игре Витя Николин во время рефлексии рассмеялся:
-Красиво ты снял его вопросом об актуальной и потенциальной бесконечности.
Я был безутешен.
Это не я!
Это Георг Вильгельм Фридрих снял его вопросом!
Я в том моменте бил не Игро, а именно Техник.
Хотя мы то с вами понимаем, что никаких Игротехников нет, не было и никогда не будет.
Я вышел из Уссурийской тайги законченным Тигротехником, да так им и остался.
Хитрость в том, что «на самом деле» «один плюс один» никогда не равно двум!
Это, если от пустых теоретизирований обратиться к реальным практикам.
Это связано с тем, что никакая в мире единица не равна другой единице!
Даже «перед лицом Закона».
Понятно, что наши тупые компы иначе ничего не сосчитают!
Им подлинная математика «не по карману».
«Не по Сеньке»!
«Не по росту»!
Не в коня, не побоюсь этого слова, корм!
Один плюс один, если один – это астролог на улице, а другой – это другая, которую мучает вопрос с кем остаться, с мужем или… - это всегда самая разная сумма.
Может быть и три рупии, и пять!
Мне предлагали – бедные девушки!!! – пятьсот рупий!
За десять минут комментариев к числовой Матрице!
Одна заведующая очередного гороно ответила моему учёному секретарю:
- Хочу!!!
А он перед этим уникальным ответом спросил у несчастной:
- Хотите увидеть Ратушного?
Услышав ответ он произнёс сакральное: полторы тысячи!
И она тут же заплатила!
Выложила!
Отдала!
Потому что за два года до этого мы однажды на другой Игре пересекались мельком.
И она уже знала подлинную цену этой мерзкой немытой, непричёсанной, неаккуратной, беззубой, криворотой твари.
У нас с ним в карманах не было и десяти рублей на обратную лепестричку.
И вот так и вышли мы на знаменитую игру в десятой школе того старинного русского города.
А игра была интереснейшая.
За неё я потребовал десять тысяч.
Вечером перед завтрашней игрой я курил на склоне, рассматривая школу издали.
- Утром я обращу этот кристалл в газ! – пообещал я спутникам.
В девять утра я стоял на крылечке школы – детей распустили по домам, чтобы педагоги могли полностью вникнуть в игру, пронизаться этим священнодействием – и расспрашивал разбегающихся ребятишек, рады ли они внезапной передышке в занятиях. Дети радости не скрывали.
В девять тридцать я вошёл в актовый зал с ассистентами.
Зал был битком забит огромным в полторы сотни! – педагогическим коллективом. Были и приглашённые и сотрудники роно, и представители других школ.
Я выдержал паузу в три минуты и произнёс такую речь:
- Что это за ученики, которые радуются отмене занятий, и что это за учителя, которые готовы разогнать пришедших к ним учиться детей по домам?
И что это за школа, в которой подобное возможно?
Вот это вы и обсудите на рефлексии вашей Игры.
Игра закончена!
До свидания!
До новых встреч!
И вместе с ассистентами убыл.
Понятия не имею, что они там потом пол дня обсуждали.
Я отработал предельно честно.
И ровно на столько, сколько заплатили.
В следующий раз мы играли уже в Братске.
Это на три тысячи километров с гаком восточнее.
Так что можете мне не верить!
Давайте мужественно – у меня иначе и не бывает! – предположим невозможное:
1+1=2.
Из такого текста единицу не выбросишь!
Восьмёрки недостаёт!
А всё-таки это забавно: никакой разницы между радиусом единичного круга или единичного шара мы пока не обнаружили!
Конечно потом, когда мы доберёмся до чисел «девять» и «двенадцать» разница обнаружится, но это сколько же нам ещё придётся поработать с пустыми множествами бесконечностей!
И актуализация потенциального в момент обнуления потенций превратится из задачи умозрительной в задачку чисто практическую!
Отдельно отнесусь к идее приложения окружностей друг к дружке «под углом».
Если мы ведём речь о «плоскости», нам не разрешается подпольно, по-воровски выходить в третье измерение.
Такими вещами занимаются именно «математики».
Нередко – доктора наук.
Как бы мы не прикладывали одинаковые шары один к одному, всегда кратчайшее расстояние между их «центрами» является прямой равной их диаметру!
Нечто подобное можно заявить и об одинаковых окружностях располагаемых в одной плоскости.
Но сначала вернёмся к нашей основной парадигме.
Парадигма – ежели верить календарям и словарикам всяческим – это совокупность всех форм слова.
В нашем предельно печальном случае «ортодоксальной математики» парадигма такова:
а = а
То есть нечто равно самому себе.
Не могу не восхищаться и восхищаюсь каждый раз, когда на телеэкране выходит очередное математическое светило и радостно объявляет несчастным: «Я вскрываю конверт! То, что Вы родственники равно… 99,9 процента!»
Наши генетики еще не успели наиграться в эти милые изящные юридические игры!
Эксперты ДНК еще не наелись ДНК протестов и ДНК опровержений!
Одно слово: Наука!
Самое весёлое здесь – множество кандидатов в отцы детей многодетного папочки!
Да!!!
Тут есть на что посмотреть!
Девушку просят перечислить основных претендентов.
Я понимаю: в пещере было темно, а в подлодке было много народу.
Но вот названы первые семь.
0 процентов!
Родство исключено!
Не родственнички!
Нет, не отец!
Кандидаты в отцы смущенно вертят в руках свои справочки о застарелой импотенции, свидетельства об удалении детородных причандалов, справки из зоны, где в «этот период» отбывал…
Равенство!
Равенство «а» самой себе!!!
А равна ли?
Между прочим, равенство «а» и «а» придумал не Карл Маркс и даже не Томазо Кампанелла!
Наши дети с детства знают наиболее краткую форму произнесения этой парадигмы: А! А!
И это - сидя на ночной вазе!
На горшке!
На горшочке!
Идея всеобщего равенства возникла совсем в другом месте и совсем по другому поводу.
Но в реальностях единицы никогда не равны друг другу, что было бы ужасно. Но совсем уже ужасно не это, а то, что ни одна единица не равна самой себе!!!
А не равно А! – так говорит реальная наука.
Наука очень серьёзная.
Наука запредельно точная.
А гипотеза «а=а» - это только весьма удачное приближение к окрестностям точки «е» и некоторый набор допущений, позволяющий «кредитору» обобрать кредитуемого на основании «точных» «расчётов».
Не забывайте, что все эти «точные расчёты» базируются на невероятном допущении, что ваша личная задница равна чьей-то другой личной заднице, и этим задницам равно безразличны любые ваши наиточнейшие расчёты.
И остаётся только один вопрос: а кто же у нас, равных самим себе и друг другу во всех отношениях, отец ребёнка?
Теперь мы уже можем с некоторым подозрением присмотреться к предложенной операции «сложения».
Если «а» равно «а», то это прямое предложение вам сложиться с самим собой!
Встречаются в природе близнецы!
Ну, оч-чень похожи!
Ну, оч-чень!
Но это не сложение самого с собой!
Да и какое там «сложение»?
Не знаю как доказать вам вашу неизбывную уникальность!
Но уверен: вы неповторимы!
Изначально.
А теперь приоткройте левый глаз и смотрите:
1 + 1 = 2
Боже!
Неземная красота!
Запредельная сложность!
Невероятное событие!
К слову пришлось: но Закон тетраэдальной логики гласит:
«Происходят только невероятные события!»
Другая его формулировка не проще:
«Если событие наступило, следовательно оно было невероятным!»
Импликация здесь именно имплицитно и задана!
Но мы с Вами мудро договоримся считать, что слово «приблизительно» мы каждый раз имеем ввиду, но для краткости и удобоваримости текста нигде не произносим.
Вот щедровитянам очень глянулась идея Георгия Петровича добавлять к каждому слову произносимого текста «как мне кажется».
Понятно, что Картезий, задавая вопрос
«А что будет если во всем сомневаться?» и в самых светлых мечтах не имел тех тяжелейших последствий, каковые имела его игра!
Щедровицкий поиграл в неё вволю!
И ученики Гэ Пэ тоже в неё поиграли!
И тоже вволю!
В версии самого Гэ Пэ наше «утверждение» могло бы звучать в такой редакции: «Один, как мне кажется, плюс, как мне кажется, один, как мне кажется, равно, как мне кажется, два, как мне кажется».
Вариантов море!
Единица, как мне кажется…
Прибавить, как мне кажется…
Даёт в сумме, как мне кажется…
Двойку, как мне кажется…
И так далее, и тому подобное, и далее везде!
Между тем мы разбираем вопрос об источниках перемещения фигур на плоскоорганизованных структурах.
Пока у нас нет разницы между группами шаров на ровной поверхности или группами окружностей в одной плоскости.
Людям, от подлинной математики далёким мы рискнём пояснить, что такие простые (по польски «просто» означает «прямо»!!!) слова, как «прямая» вызывают у математиков просто мистический ужас.
Давать «определения» «прямой линии» лучшие из лучших даже не рискуют!
Можно нарваться.
И нарваться можно крепко.
Пусть металогики метаматематики этими «пустяками» занимаются.
Там всё просто: «на множество теорий Т…» ну и так далее!
Зачем нам «сложение», когда гораздо лицеистее «конъюнкция»!
Добавляем пару слов типа «энергия» и шпарим «а ля Ницше».
Вместо «реальная плоскость» мудро саданём под сердце «энергетическая поверхность».
Включим неопределяемый термин «вектор».
И понеслось!
Давайте предположим – только предположим пока! – что идея «прямолинейного движения» имманентна устройству наших мозговых извилин!
Допустим на миг – на один миг между прошлым и будущим! – что плоскоорганизованные структуры устроены сложнее, чем нам кажется.
Приготовимся к долгой и запредельно трудной честной работе с исходным материалом.
И попытаемся понять, чем единичный круг отличается от единичного шара.
И тогда нам откроются бездны Вселенной, в которой по Канту только два чуда: звёздное небо над нами и нравственный Закон внутри нас.