Пусть мы имеем прямоугольный треугольник, один катет которого находится на оси X, а острый угол совпадает с началом координат. Разобьём лежащий на оси X катет на N равных интервалов (N=1,2,3,...,n), где n - номера интервалов, которые будут изменяться от 1 до N. Из концов каждого интервала проведём прямые параллельные другому катету до пересечения их с гипотенузой. В результате получаем на первом интервале треугольник, на остальных интервалах - трапеции. Обозначим долю площади каждой из получаемой фигур относительно общей площади треугольника (N*N/2) через p1, p2, p3. ... pn.
При отсутствии разбиения ( количество интервалов = 1, в этом случае получаем треугольник) имеем:
р1=((0+1)/2)*1/N*N/2= 1/N*N=1/1. Сумма вероятностей= 1
При разбиении на 2 интервала (в этом случае получаем треугольник и прямоугольную трапецию)
p1=1/N*N=1/4; p2=((1+2)/2*1)/N*N/2=3/2*2=3/4. Сумма вероятностей=1.
При разбиении на 3 интервала (в этом случае получаем треугольник и две прямоугольные трапеции)
p1=1/9; p2=3/9; p3=((2+3)/2*1)/N*N/2=5/3*3=5/9. Сумма вероятностей=1.
При разбиении на 4 интервала (в этом случае получаем треугольник и три прямоугольные трапеции).
p1=1/16;p2=3/16;p3=5/16;p4=((3+4)/2*1))/N*N/2=7/16.Сумма вероятностей=1.
При разбиении на N интервалов pn=(2n-1)/N*N, что и требовалось доказать.
Назовём треугольник, получаемый при количестве интервалов = 1, исходным или элементарным. Тогда, при количестве интервалов = 2, мы имеем количество элементарных треугольников = 3, при количестве интервалов = 3 количество элементарных треугольников = 5, при количестве интервалов =5 количество элементарных треугольников = 7 и т. д. То есть количества элементарных треугольников при разбиении всего диапазона на 1, 2, 3, 4 и т.д. интервалов относятся как 1:3:5:7 и т.д. Поэтому данное соотношение назовём законом соотношения прямоугольного треугольника. То, что это соотношение фундаментально, подчёркивается , например, тем фактом, что отношения квантилей по подуровням в уровнях электронных оболочек атомов химических элементов подчиняются той же самой закономерности.
Справедливо и обратное: если основание некоторой фигуры разбито на N равных интервалов, а площади, соответствующие этим интервалам, относятся между собой как 1:3:5:7 и т.д., то данная фигура является прямоугольным треугольником.