Врожденные дарования
подобны диким растениям и
нуждаются в выращивании
с помощью ученых занятий
Ф. Бэкон (1561-1626)
Цель предлагаемой публикации.
Я с 1992 года по настоящее время курирую секцию математики городского Научного Общества Учащихся Нижнего Новгорода. Я веду постоянно работающий семинар для школьников, на котором читаю лекции по математике включающие следующие разделы: элементы теории чисел, теория погрешностей (элементарная теория погрешностей, интервальная математика), комбинаторика, теория вероятностей дискретных случайных величин, теория информации.
Вместе с учениками я выполняю научно-исследовательские работы, которые связанны с рассматриваемыми разделами. Школьники докладывали свои работы на различных школьных конференциях, публиковали работы в научных журналах. Большинство учеников, с которыми я занимался, поступали к нам на механико-математический факультет и продолжали свою научную работу в рамках курсовых и дипломных работ.
Мне кажется, что данная методическая работа будет интересна, как родителям, так и учителям.
РОЛЬ И ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ФОРМИРОВАНИИ ТВОРЧЕСКОЙ ЛИЧНОСТИ
Важным принципом развивающего образования является демонстрация учащимся конструктивных путей решения актуальных проблем в самых различных областях деятельности современного общества. Одним из способов реализации данного принципа может выступить организация исследовательской деятельности учащихся в научных обществах учащихся.
При проведении научно-исследовательской работы с учениками я ставлю перед собой две главные цели.
Первая - получение нового научного результата.
Вторая - формирование разносторонне развитой личности, способной реализовать творческий потенциал в динамичных социально-экономических условиях, как в интересах общества, так и в собственных жизненных интересах.
Что такое математика?
Математика это наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика предоставляет (общие) языковые средства другим наукам; тем самым выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.
Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов.
Изучение математики оказывает большое влияние на формирование личности.
1.Мировоззренческая роль математики состоит в том, что при изучении математических моделей и методов учащийся вникает в суть явлений, происходящих в окружающем мире, выявляет, описывает и исследует как внешние, так и внутренние связи системы.
2.Воспитательная роль математики состоит в том, что ее изучение и применение вырабатывает исследовательский, творческий подход к делу; настойчивость, терпение и трудолюбие; аккуратность; логичность и строгость суждений; умение выделять главное и игнорировать второстепенное, не влияющее на суть проблемы; умение ставить новые задачи. Воспитательная функция математики подчинена функциям общечеловеческого воспитания.
3.Культурная роль математики состоит в том, что повышение обще математической культуры естественным образом, в соответствии с функциями математики, содействует повышению и профессиональной и общей культуры (мышления, поведения, выбора).
Математика - это особая культура и искусство формализации знаний.
4. Эстетическая роль математики состоит в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, удовольствие и др.).
Традиционное школьное изучение математики позволяет ученику освоить её начала, как бы азбуку, а в современном обществе требуется умение читать, писать на языке математики и переводить математические алгоритмы на язык компьютера.
Один из недостатков школьного изучения математики связан с фрагментарным представлением структуры математики, то есть каждая решенная, даже сложная задача преподносится как полностью изученный объект. Поэтому абсолютное большинство школьников воспринимает математику, как набор сложных задач, а её изучение сводится к изучению набора приемов их решения.
В настоящее время, в связи с внедрением ЕГЭ, этот формальный подход стал доминирующим в практике преподавания математики в школе.
В реальной жизни школьному понятию решить задачу соответствует понятием провести исследование. Следует заметить, что научное исследование качественно отличается от школьного понятия решить задачу. Оно не удовлетворяется однозначным ответом, а всегда ответив на поставленный вопрос, открывает новые возможности по исследованию изучаемой проблемы.
Одна из основных целей научного общества учащихся показать, что математика это живая тесно связанная с практикой развивающаяся наука.
Занятия в Научном обществе учащихся приобщают ребят к творческому научному математическому подходу к задачам. Они учатся моделировать практические задачи, формулировать и ставить новые не изученные математические задачи, проводить их исследование. Научно-исследовательская работа требует длительного творческого напряжения всех интеллектуальных сил человека.
В настоящее время в связи с введением ЕГЭ произошло снижение общего уровня математической подготовки. В связи с этим необходимо включать в исследовательские работы объемные практические примеры, для приобретения и закрепления навыков арифметического счета, преобразования алгебраических, тригонометрических выражений и т.д.
В последние годы сложилась следующая система проведения научно-исследовательской работы школьниками и представления её результатов. Работа выполняется учеником под руководством либо учителя, либо вузовского преподавателя. Результаты исследования докладываются на школьных научных конференциях НОУ, затем проходят районные конференции, городские и всероссийские конференции, конкурсы («Юниор», «Старт в науку»).
Основной критерий отбора работ на каждом этапе ; научная новизна полученных результатов. Как правило, лучшие работы представляются авторами в виде публикаций в научных журналах.
Одна из псевдопроблем, стоящая перед учителем руководителем научной работы школьника – это выбор темы.
Наш мир настолько разнообразен, сложен и многолик, что любой вопрос об устройстве этого мира выливается в настоящую большую научную работу. Поэтому первый совет учителю или школьнику по выбору темы вашего исследования. В качестве такого объекта, берите проблему, которая вам интересна и близка. Ваше исследование позволит вам глубже понять проблему, которую вы начали изучать.
В процессе изучения можно выделить несколько этапов.
Попытаться сформулировать вопрос, что вы хотите узнать и понять в исследуемом явлении.
Выделить основные причинные связи, влияющие на исход явления.
Максимально упростить эти связи и построить математическую модель, описывающую явления или задачу. Это будет некоторое уравнение или функция.
Проведя исследование математической модели, вернутся к исходной проблеме. Установить соответствия вашего решения с решением проблемы.
Далее усложняете свою математическую модель и проводите ее изучение.
Отдельным важнейшим моментом, который нужно учитывать при выборе темы научной работы и формулировке задания на работу является уровень математической подготовка ученика.
Приведем в качестве примера несколько больших направлений, которые могут помочь выбрать тему для исследования.(Примером могут служить работы приведенные в конце статьи с 10 по 19)
1. В школе при обучении математике и геометрии используются точно сформулированные задачи. Вычисления часто проводятся с целыми и рациональными числами. Вопросы о погрешностях вычислений, как правило, не рассматриваются.
В реальном мире все измеряемые величины не точны. Погрешности возникают как при измерении, так и при вычислении.
Это означает, что рядом с «обычной» математикой, существует математика нечетких множеств, интервальная математика, существует нечеткая логика.
(Ляхов А.Ф. Элементарная теория погрешностей Матем. обр., 1998, выпуск 3-4(6-7), страницы 82–104 (Mi mo298))
Все школьные алгебраические задачи могут быть сформулированы в новых понятиях. Для того чтобы включится в эту тематику, достаточно в поисковике набрать соответствующий термин: «нечеткие множества», «интервальная математика», «нечеткая логика».
Далее надо действовать по выше предложенной схеме. Берете какое-то простое линейное уравнение и проводите его исследование в новых терминах, а затем переходите к более сложным задачам.
Еще более интересная ситуация в геометрии.
Например, как будет выглядеть теорема Пифагора при её записи в аналитической геометрии? Как будет выглядеть теорема Пифагора, если катеты и гипотенуза измерены с погрешностью, углы измерены не точно? Какая погрешность сильнее влияет на результат?
Эти вопросы могут быть заданы при решении любой геометрической задаче и теоремы.
Даже первичные определения приобретают неожиданные значения. Как определить равенство треугольников, если стороны или углы измерены с погрешностью?
2. Вторая область для выбора темы для исследования алгебраических и геометрических задач связана с глубоким исследованием частных задачи из олимпиадного цикла и её обобщение.
Например.
Доказать, что число, в десятичной записи которого имеется 300 единиц, а остальные нули не является полным квадратом.
Можно задать вопросы. Почему 300 единиц, а не 600? А если единиц n, какие значения может принимать n? А какие цифры могут быть кроме единиц?
3. Задачи, связанные с различными математическими играми с числами. Условие этих задач так же могут обобщаться.
Например, правила игры морской бой, «сапер», могут быть изменены и предложены варианты исследования новых игр, которое состоит в поиске выигрышных стратегий.
4. Задачи из теории вероятностей и теории информации. В этой области имеется много задач с самыми не тривиальными выводами.
В урне лежит три белых и три черных шара. Сообщают, что из урны вынули один шар. Какое количество информации содержится в этом сообщении? Из урны вынули белый шар. Какое количество информации содержится во втором сообщении?
5. Можно предложить множество тем по криптографии.
Предложить некоторое физическое устройство, с помощью которого осуществляется кодирование информации, и исследовать криптостойкость полученного шифра. В качестве такого устройства могут использоваться бильярды различного вида, кубики «рубика», определенным образом сложенный лист бумаги (здесь применима математика оригами).
6. Большое количество исследовательских задач можно получить с помощью рефлексивного анализа поведения человека. Можно строить модели поведения спортсменов различных видов спорта, героев художественных произведений.
7. Большое множество задач связано с решением физических задач. Для школьников вполне доступно провести исследования равновесия сложных ферменных конструкций, гидростатических задач, задач электростатики и т.д.
За более подробной консультацией по заинтересовавшим вопросам можно обратится прямо через этот сайт. Жду писем с вопросами и предложениями.
Литература, которая может послужить источником тем в НОУ по математике:
1. Журнал «Квант» полный архив: http://kvant.mccme.ru/
«Элементы». Наука: Популярный сайт о фундаментальной науке elementy.ru/
2. Д. Пойя : Как решать задачу. — М., Учпедгиз, 1959
3. Д.Пойя Математика и правдоподобные рассуждения. 2 изд. — М.1975
4. Д. Пойя Математическое открытие. 2 изд. — М.1975
5. Перельман Я. И. множество известных книг по математике и физике.
6. Пенроуз Р. Новый ум короля. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 339 с.
7. Серии «Популярная математика» «Популярные лекции по математике» и т.д.
8. Волошинов А.В. 'Математика и искусство' - Москва: Просвещение, 1992 - с.335
Работы которые выполнялись в рамках НОУ
10. Д.А. Лачинов А.Ф. Ляхов Криптосистема с открытым ключом, созданная на основе матеатического бильярда стр.10 (39-49)Математическое образование №2 2011.
11. А.Ф. Ляхов Анализ энтропии вычислений алгебраических тождеств стр.10 (29-39)Математическое образование №2 2011.
12. А.Ф. Ляхов Количественный анализ энтропии в математических выражениях стр.57-64 Компьютерные инструменты в образовании №2, 2011.
13. Виноградова Е.В. Ляхов А.Ф. Вероятность существования алгоритма раскрытия игры «Сапёр» 2007, Компьютерные инструменты в образовании
14. Ляхов А.Ф. Трудно решаемые задачи и игра «Сапёр» 2009 Компьютерные инструменты в образовании.
15. Информационный анализ игры в шахматы 2005 Компьютерные инструменты в образовании.
16. Ляхов А.Ф., Рыжов В.А. Музыкально-звуковая визуализация динамических процесов средствами пакета Мatlab 2009 Компьютерные инструменты в образовании.
17. Ляхов А.Ф. Анализ динамики боевых действий в стратегических компьютерных играх 2003 Компьютерные инструменты в образовании.
18. Ляхов А.Ф. Математический анализ эффективности сортировки сложного железнодорожного состава 2014 Компьютерные инструменты в образовании
19. Ляхов А.Ф. Как правильно играть в морской бой 2002 Компьютерные инмтрументы в образовании