Тьма-таракань электротехники

Тьма-таракань электротехники, как её распутать?

Метод контурных токов и метод узловых потенциалов

Кто изучал электротехнику, тот знает, что эти две темы - одни из наиболее сложных в ней. Об этом, в частности, говорит то, что, как правило, решение задач этими методами не соответствует по результатам решению тех же задач классическим методом уравнений Киргофа. А также то, что в методичках самых разных институтов по этим методам до сир остаются неотвеченными некоторые вопросы собственно по алгоритмам этих методов (или в разных методичках отвеченнными по-разному)
В чём же причина этого?
Перед началом собственно анализа сразу оговорюсь: в данной статье я попытался показать и проиллюстрировать на практике принцип праксеологии: последовательно идя от простого к сложному (от решения простых задач к решению более сложных), на этом пути формулируй гипотезы и проверяй их, превращая в теоремы. Так что, уважаемые читатели, попытайтесь уловить эту интенцию.
(схемы всех цепей, анализируемых в данной статье, даны в иллюстрации к ней)

Метод контурных токов (МКТ)
 
Идея этого метода состоит в том, что в цепи выделяются контуры, то есть циклические ветви цепи
(см. ветвь цепи - фрамент цепи, состоящий, на самом высшем уровне его деления, из последовательно соединённых простых фрагментов, то есть элементов),
по-которым, согласно методу, текут собственные токи (которые являются по сути виртуальными) Далее для каждого контура составляются уравнения относительно контурных токов и полученная система решается, после чего исходя из контурных токов находят реальные токи через каждый элемент цепи как суперпозицию контурных токов, как бы одновременно протекающих через данный элемент цепи.
Схема каждого уравнения МКТ выглядит следующим образом:
в результате протекания контурного тока падение напряжения на сопротивлении контура минус падения напряжения на общих с данным контуром ветвях других контуров (для вычисления которых берутся токи соответствующих контуров) равно сумме эдс, принадлежащих контуру.
Но как быть, если внутри контура есть кроме источников эдс источник тока? Ведь у него нет собственной эдс. Так как же определить тогда его квази-эдс?
Многочисленные методички разных институтов не дают чёткого ответа на этот вопрос.

Как же установить истину? Поскольку базовой (и доказанной. Но не только, а еще и явно и чётко определённой) истиной является метод Кирхгофа, то начинаем решать задачу с него.
При этом во всех задачах будем принимать направления токов через все элементы слева направо, а токи через контура - по часовой стрелке (если иное не оговорено в явном виде)

Для начала возьмём для этого простейшую цепь, содержащую источник тока J1 и резистор R1.(схема e) Исходные уравнения Кирхгофа для неё:
a)0=J1+IR1
(здесь сразу введём "1-ую аксиому Кирхгофа": один узел в цепи (любой) можно проигнорироать при составлении системы Кирхгофа, в данном случае проигнориван узел b.)
k1)UJ1=-IR1*R1,
где
J1 - сила тока источника тока J1
IR1 - сила тока через R1
UJ1 - напряжение на J1
Здесь и далее важная деталь: падение напряжения на R1 равно -IR1*R1, то есть противоположно по знаку току через этот резистор. И это принципиально, т.к. при прохождении через резистор (и любой пассивный элемент цепи) в направлении тока электрический потенциал падает, а значит разность потенциалов отрицательна. (тогда как при прохождении в том же направлении через источник электрической энергии потенциал электрический растёт)
Здесь и далее перед собственно уравнением даётся наименование узла (a,b,c) или контура (k1,k2), к которому оно относится.

Решение исходной системы:
IR1=-J1
UJ1=J1*R1
В уравнения для контуров исходной системы подставим сначала:
IR1=-I1,
где
I1 - ток в контуре k1 (- здесь потому, что ток через резистор противоположен току через контур),
потом некоторые решения исходной системы
В итоге получим систему уравнений для этой задачи по методу МКТ:
k1)I1*R1=J1*R1
В итоге получаем, что сопротивление контура k1
Z1=R1,
эдс контура
U1=J1*R1
(J1 берется с +, т.к. создаваемый им ток совпадает по направлению с направлением тока, принятого в контуре)
Введём понятие сопротивление источника J1 относительно контура k1, тогда
U1=J1*ZJ1k1
и
ZJ1k1=R1
Отсюда рабочая гипотеза такова: сопротивление источника тока J1 относительно контура k1 - это сопротивление ветви, подключенной параллельно источнику тока J1 и принадлежащей контуру k1.

Для проверки данной гипотезы возьмём схему посложнее, а именно введём в неё резистор R2, подлючив его последовательно с R1 (схема k1) Для неё уравнения Кирхофа:
a)0=J1+IR1
b}IR1=IR2
k1)UJ1=-IR1*R1-IR2*R2
Решение этой системы:
IR1=-J1
IR2=-J1
UJ1=J1*R1+J1*R2
Подстановки, обеспечивающая переход к МКТ:
IR1=-I1
IR2=-I1
UJ1=J1*R1+J1*R2
Получаем следующее уравнение МКТ:
J1*R1+J1*R2=-(-I1)*R1-(-I1)*R2=I1*R1+I1*R2
Записанное в стандартном порядке, оно таково:
I1*(R1+R2)=J1*(R1+R2)
Откуда следуют выводы:
Z1=R1+R2
ZJ1k1=R1+R2
Что, в части ZJ1k1, в точности соответствует сформулированному выше определению сопротивления источника тока относительно контура.

Подключим теперь R2 параллельно с R1 (схема l1)
Тогда уравнения Кирхгофа:
a)0=J1+IR1+IR2
k1)UJ1=-IR1*R1
k2)-IR1*R1=-IR2*R2
(здесь сразу введём "2-ую аксиому Кирхгофа": количество контуров при построении системы уравнений не следует преувеличивать. Т.к. они, контура, имеют свойство быть зависимыми друг от друга.)
Решения их:
IR1=-R2/(R1+R2)*J1
IR2=-R1/(R1+R2)*J1
UJ1=J1/(1/R1+1/R2)
Подстановки для МКТ:
IR1 = -I1+I2,
IR2 = -I2,
UJ1=J1/(1/R1+1/R2)
В итоге вот система МКТ для данной схемы:
k1)J1/(1/R1+1/R2)= -(-I1+I2)*R1,
k2)-(-I1+I2)*R1 = I2*R2
Приведённая к каноническому виду, она такова:
k1)I1*R1-I2*R1=J1*1/(1/R1+1/R2)
k2)-I1*R1+I2(R1+R2)=0
Отсюда выводы:
Z1=R1
Z12=R1=Z21
Z2=R1+R2
U1=J1*1/(1/R1+1/R2) => ZJ1k1=1/(1/R1+1/R2)
U2=0 (т.к.источников эл.энергии в k2 нет, они ему не принадлежат)
Никаких некорректностей нет, кроме:
ZJ1k1=1/(1/R1+1/ZJ1k1=1/(1/R1+1/R2)
Ибо R2 не принадлежит k2, почему же он тогда включен в эту формулу?
И вообще, правая часть этой формулы - это сопротивление блока (т.е фрагмента цепи, состоящего из параллельно соединенных элементов) из R1 и R2.

Следовательно, исходное определение сопротивления источника тока относительно контура следует пересмотреть. Но как? Да, тут очевиден учёт межконтурных связей, но ведь к контуру k2 это никак не относится, поскольку источники эл.энергии собственно ему не принадлежат.
Решимся тогда на следующий эксперимент: выберем контура в цепи иначе (схема l1c),
ведь решение задачи от этого не должно зависеть.
Итого получаем исходные уравнения Кирхгофа:
a)0 = J1+IR1+IR2,
k1)UJ1 = -IR1*R1,
k2)UJ1 = -IR2*R2
Решения их:
IR1 = -J1*R2/(R1+R2),
IR2 = -R1*J1/(R1+R2),
UJ1 = R1*J1*R2/(R1+R2),
то есть точно такие же, как и для предыдыдущей задачи (т.к. они (математически) эквивалентны)
Подстановки для перехода к МКТ:
IR1 = -I1,
IR2 = -I2
Система уравнений МКТ:
k1)R1*J1*R2/(R1+R2) = I1*R1,
k2)R1*J1*R2/(R1+R2) = I2*R2
В каноническом виде:
I1*R1=J1*1/(1/R1+1/R2)
I2*R2=J1*1/(1/R1+1/R2)
Откуда выводы:
Z1=R1,
Z12-0=Z21 (т.к. общих пассивных элементов между контурами нет)
Z2=R2
U1=J1*1/(1/R1+1/R2)
U2=J1*1/(1/R1+1/R2)
Следовательно:
ZJ1k1=1/(1/R1+1/R2)
ZJ1k2=1/(1/R1+1/R2)
Отсюда коррекция рабочей гипотезы: сопротивление источника тока J1 относительно контура k1 - это сопротивление всего блока, подключенного последовательно источнику тока J1 вне зависимости от принадлежности ветвей блока к данному контуру.
Почему именно последовательно? Потому что, по определению, источник тока обязан иметь собственную проводимость (которая у идеального равна 0), то есть как бы подключенный параллельно с ним резистор. Но в данном случае вопрос стоит о сопротивлении источника тока. Поэтому остаётся только одно: съимитировать это сопротивление в виде последовательно подключенного к нему резистора, пусть и в виде сложного фрагмента цепи, не относящегося к собственно источнику тока.
Что касаемо возражений, что ведь в данной схеме этот фрагмент подключен не последовательно, а параллельно источнику тока, то открою вам секрет: параллельность соединения элементов иногда очень просто превратиться в последовательность, и наоборот. А именно, отображая схему e в виде e2.

На очереди теперь анализ схемы, в которой:
1)2 источника тока
2)2 резистора.
Начнём со схемы n1.
Для неё уравнения Киргофа:
a)0=J1+J2
c)J1 = IR1
d)J2 = IR2
k1)UJ1 -IR1*R1= UJ2-IR2*R2
Решение уравнений Киргофа для такой системы отсутствуют, т.к. из уравнения а) следует:
J1=-J2,
что выполняется не для любых значений известных переменных J1 и J2.
Отсюда возьмём на заметку: не всякие электрические схемы можно рассчитать. Причин этому как минимум две:
1)идеальные источники тока нельзя соединять последовательно, а только реальные, то есть вместе с собственными проводимостями. (в вышеприведенной схеме так и получилось, потому что последовательно подключенное к источнику тока сопротивление моделирует сопротивление его, а не проводимость. Чтобы смоделировать его проводимость, нужно сопротивление подключать к немк параллельно.)
2)идеальные источники эдс нельзя подключать друг к другу параллельно, а только реальные, то есть вместе с их собственными сопротивлениями.

Проанализируем теперь 2 другие схемы, содержащие 2 источника тока и 2 резистора.
Начнём со схемы с. Для неё система Киргофа такова:
a)0 = J2+J1+IR1
b)J1+IR1 = IR2
k2)UJ2 = -IR1*R1-IR2*R2
k1)UJ1 = -IR1*R1
Решение этой системы:
IR1 = -J2-J1
IR2 = -J2
UJ1 = J1*R1+J2*R1
UJ2 = J1*R1+J2*R1+J2*R2
Подстановка для перехода к МКТ:
IR1= -I1-I2
IR2= -I2
Система МКТ:
k1)I1*R1+I2*R2=J1*R1+J2*R1
k2)I1*R1+I2*(R1+R2)=J1*R1+J2*(R1+R2)
Выводы из системы МКТ:
Z1=R1
Z2=R1+R2
(что соответствует установленным выше правилам)
Z12=R1=Z21
А вот здесь вопрос: почему разности потенциалов на общих ветвях прибавляются, а не вычитаются, как сказано в правилах? Значит, (текущие) правила нужно пересматривать. Но как? За что зацепиться? А вот за что: возможно, это связано со взаимными направлениями токов в пересекаемых (в общих ветвях) контурах. Но как проверить эту гипотезу? Легко: нужно изменить направление токов в контурах или изменить контура. (А1-)
Еще выводы:
ZJ1k1=R1
ZJ2k1=R1
ZJ1k2=R1
ZJ2k2=R1+R2
Всё соответствует правилам, кроме ZJ2k1=R1
Объяснение: J2 не входит в k1, поэтому учитываем только сопротивления общих ветвей.
Пересмотр правила: сопротивление источника тока А, не принадлежащего контуру Б, равно сопротивлению общей ветви контура В, которому А принадлежит, и контура Б.

-А1: Пойдём по наименее затратной тропе: изменим направление тока всего в одном контуре, а именно в k2.(задача ca) Тогда система уравнений Киргофа, а также её решение не изменится, изменится только подстановка для перехода к МКТ:
IR1= -I1+I2
IR2= I2
Отсюда система МКТ в каноническом виде такова:
k1)I1*R1-I2*R1=J1*R1+J2*R1
k2)-I1*R1+I2*(R1+R2)=-J1*R1-J2*(R1+R2)
Выводы из системы МКТ: эксперимент полностью подтвердил гипотезу.
Отсюда пересмотр правил (конструирования уравнений МКТ, в том числе и их левых частей):
1)вычитать разности потенциалов на общих ветвях следует только при противоположных направлениях токов в пересекаемых (на этих общих ветвях) контурах, в противном случае следует прибавлять.
2)если источник тока, принадлежащий контуру, создаёт в контуре противополжный по направлению принятому в данном контуре, то сила его тока (в уравнении для данного контура) учитывается с "-"
3)если источник тока, не принадлежащий контуру, создаёт в общей ветви, принадлежащей данному контуру, ток, противополжный по направлению принятому в данном контуре, то сила его тока (в уравнении для данного контура) учитывается с "-".

Попытаемся свести все "нажитые" правила (с учётом их пересмотров) в один общий кодекс, кодекс МКТ.
Но сначала понятия:
0)элемент цепи - часть цепи, состоящая только из себя;
1)узел цепи - точка, в которой хотя бы 2 элемента цепи связаны между собой.
2)фрагмент цепи - любое подмножество элементов цепи, имеющих общие узлы;
3)ветвь  - фрагмент цепи, состоящий только из последовательно соединённых элементов цепи;
2)контур - циклическая ветвь, то есть ветвь цепи, начало которой совпадает с её концом;
3)блок цепи - фрагмент цепи, состояший только из параллельно соединённых фрагментов.

А теперь правила:
1)сопротивление контура - сумма сопротивлений всех элементов контура.
2)сопротивление общей ветви контура А и контура Б - сумма сопротивлений всех элементов этой ветви.
2а)падение напряжения на данном контуре равно произведению силы тока в данном контуре на сопротивление контура.
2б)падение напряжения на данном контуре в контурном уравнении всегда берётся с "+".
2в)падение напряжения на общей ветви контура А с контуром Б равно произведению силы тока в контуре А на сопротивление общей ветви .
3)падения напряжения на общих ветвях при противоположных направлениях токов в пересекаемых (на этих общих ветвях) контурах следует вычитать, в противном случае - прибавлять.
4)если источник тока, принадлежащий контуру, создаёт в контуре противополжный по направлению принятому в данном контуре, то сила его тока (в уравнении для данного контура) учитывается с "-", в противном случае с +.
5)если источник тока, не принадлежащий контуру, создаёт в общей ветви, принадлежащей данному контуру, ток, противополжный по направлению принятому в данном контуре, то сила его тока (в уравнении для данного контура) учитывается с "-", в противном случае с +.
6)сопротивление источника тока J1 относительно контура k1, которому J1 принадлежит - это сопротивление всего блока, подключенного параллельно источнику тока J1 вне зависимости от принадлежности ветвей блока к контуру k1.
7)сопротивление источника тока А, не принадлежащего контуру Б, относительно контура Б равно сопротивлению общей ветви контура В, которому А принадлежит, и контура Б.
8)эдс, создаваемая источником тока А в контуре Б, равна произведению силы тока источника А на сопротивление источника А относительно контура Б.
9)эдс контура равна сумме эдс, создаваемых всеми источниками эл.энергии в данном контуре
10)сумма падений напряжений в любом контуре цепи равна эдс контура.

Испытаем теперь эти правила, применив их к доселе не рассчитанной схеме, а потом сравнив полученные уравнения с теми, которые выводятся из уравнений Кирхгофа.
Возьмём схему d. Для неё, согласно выше сформулированным правилам:
Z1=R1+R2
Z2=R1
Z12=R1=Z21
U12 и U21 берём с +, т.к. токи в контурах k1 k2 совпадают по направлениям.
J1 в контуре k2 берем с "-" (по правилу 6)
J1 в контуре k1 берем с "-" (по правилу 7)
J2 в контуре k2 берем с "-" (по правилу 6)
J2 в контуре k1 берем с "-" (по правилу 6)
ZJ1k1=R1(по правилу 7)
ZJ2k1=R1+R2 (по правилу 6)
ZJ1k2=R1
ZJ2k2=R1
Таким образом, все правило соблюдены, и получилось такая система уравнений:
k1)I1*(R1+R2)+I2*R1=-J1*R1-J2*(R1+R2)
k2)I1*R1+I2*R1=-J1*R1-J2*R2

Что же получим, если применим для этой схемы изначальную схему рассуждений?
Система уравнений Кирхгофа:
a)0 = IR1+J1+IR2
c)IR2 = J2
k1)-IR1*R1 =-IR2*R2+UJ2
k2)-IR1*R1 = UJ1
Решение системы:
IR1 = -J1-J2,
IR2 = J2,
UJ1 = J1*R1+J2*R1,
UJ2 = J1*R1+J2*R1+J2*R2
Подстановка для перехода к МКТ:
IR1 = I1+I2,
 IR2 = -I1
Система МКТ:
k2)-(I1+I2)*R1 = J1 R1+J2 R1,
k1) -(I1+I2)*R1 = I1*R2+J1*R1+J2*R1+J2*R2
В каноническом виде:
Zk1)I1*(R1+R2)+I2*R1=-J1*R1-J2*(R1+R2)
k2)I1*R1+I2*R1=-J1*R1-J2*R2
Полученные уравнения, по изначальному методу, полностью соответствуют полученным по выработанному (более сокращенному) методу.
Что и доказывает принятые правила!
Ура, метод контурных токов взят!

вперёд http://www.proza.ru/2018/07/31/1826