Математику можно подразделять по-разному: на чистую и прикладную, на элементарную, высшую и современную, а можно на алгебру, геометрию и анализ. В алгебре у нас работает в основном левое полушарие, в геометрии - правое, в анализе - оба.
Д.А.Райков как-то полушутя сказал нам, студентам, стремившимся стать математиками: "Я знаю, почему вы все хотите заниматься алгеброй: потому что она легче". Кажется, не Райков, а кто-то другой высказался в том же роде: "Алгебра тривиальна, потому что имеет дело с равенствами; анализ нетривиален, потому что в нем - неравенства". В самом деле, подбирая по эпсилону дельту, мы не решаем уравнение, т.е. не находим предопределенное значение, а ищем одно из многих подходящих (не только подходящее, но и достаточно простое). В алгебре мы ищем путь в многомерном лабиринте; а в анализе мы пробиваем туннели на свой страх и риск. Между прочим, наш школьный учитель труда удивлялся, что кто-то из нас получил двойку по алгебре: "Это в геометрии нужно думать, а в алгебре достаточно выучить правила и действовать по ним" (в школьной алгебре в самом деле катакомбы почти не ветвятся, так что в них не заблудишься).
Конечно, начиная по крайней мере с Эвклида, в геометрии задействовано и левое полушарие. Геометрически очевидные факты часто очень трудно доказать (меня просто убивает теорема Жордана о том, что на плоскости дополнение кривой гомеоморфной окружности имеет ровно две связные компоненты). На протяжении Xx века говорили об алгебраизации математики; аксиоматический метод превращает любую науку в алгебру. Лет сто назад в Германии был знаменитый учебник анализа, не содержавший ни одного чертежа - чтобы чертежи не отвлекали от формальных рассуждений. Это, вероятно, было оправдано на каком-то ограниченном этапе: бурное развитие математики в Xviii веке привело к снижению уровня строгости доказательств; в Xix веке нормы строгости стали восстанавливаться; в Xx веке они достигли небывалого уровня, что позволило продвинуться в такие дебри, о каких раньше и не мечтали. Но без геометрической интуиции математика превращается в схоластику, математики лишаются крыльев.
Очень плодотворным оказалось распространение Гротендиком геометрической интуиции на теорию чисел: Гротендик понял, что любое коммутативное кольцо следует представлять себе, как кольцо функций на своем спектре; это не есть точное математическое утверждение, но на интуитивном уровне оно чрезвычайно полезно. Позже, кажется, Мамфорд дополнил этот подход "утверждением", что на модули следует смотреть как на модули сечений векторных расслоений над спектром кольца (точнее, если модуль не проективный, то у этого "векторного расслоения" размерность слоев кое-где подскакивает).
Непосредственно геометрическая интуиция работает, когда мы имеем дело с геометрическими объектами - топологическими пространствами, векторными пространствами, гладкими и аналитическими многообразиями, банаховыми и более общими топологическими векторными пространствами. Упомянутый выше пример использования геометрической интуиции в коммутативной алгебре тоже связан с использованием топологических пространств - топологии Зарисского на спектре колец. Но геометрическая интуиция работает и там, где появляются группы, а также их далекое обобщение - категории; а группы и, тем более, категории вездесущи.
Когда-то я спросил маму: "Что такое дифференциальное уравнение? Это уравнение, в которое входят пределы?"; она ответила: "Если студент не забыл, что производная - это предел" (я тогда уже слышал, что такое предел, а про производные - еще нет). Позже Исковских рассказывал, что Маслов предлагал (а Арнольд возмущенно возражал) определять производную для полиномов формально, а затем распространять на другие функции по непрерывности (оператор дифференцирования не непрерывен в топологии равномерной сходимости, но замкнут). Конечно, Арнольд прав: не следует забывать о геометрическом и физическом смысле производной; но правило Лейбница (дифференцирования произведения) - достаточное основание для вполне содержательной алгебраической теории. Дифференциальные уравнения можно трактовать как алгебраические над некоммутативным кольцом (а именно, над кольцом дифференциальных операторов; производные неизвестных при этом мы заменяем их коммутаторами с операторами дифференцирования; и к системе уравнений нужно добавлять условия коммутирования неизвестных с образующими исходного кольца функций).
Математика едина. Ценность любой математической теории в большой степени определяется количеством ее связей с другими математическими теориями, чем более далекими, тем лучше. И в хорошей математической работе обязательно есть место и алгебре, и геометрии - и левому полушарию, и правому (правда, авторы часто не удосуживаются открыть читателю геометрические основания, показывают только формальные выкладки, что очень затрудняет чтение).