Успехи логики (впервые систематическое изложение этой науки было дано в трудах Аристотеля) оказали огромное влияние на математику. Последняя стала рассматриваться как логическая усложняющаяся система, покоящаяся на первых началах. То есть ее начинают излагать как последовательность вытекающих друг из друга теорем и задач на построение, в основе которых лежат некие исходные положения, принимаемые без доказательств. Сочинения, выстраивавшие первые системы математики, назывались в то время «Началами».
Первые «Начала», о которых дошли до нас сведения, были написаны Гиппократом Хиосским (470 – 410 гг. до Р.Х.). Встречаются упоминания о «Началах», принадлежащих другим авторам. Однако все эти сочинения оказались забытыми и утерянными практически с тех пор, как появились «Начала» Евклида. Последние получили всеобщее признание как система математических знаний, логическая строгость которой оставалась непревзойденной в течение свыше двадцати веков.
Об авторе «Начал» - Евклиде (ок. 325 г. до Р. Х. – до 265 г. до Р. Х.) – сохранилось очень мало сведений. Известно, что он жил в Александрии, где при египетских царях Птолемеях возник крупнейший для той эпохи научно-учебный центр – Музейон.
При написании «Начал» Евклид, по-видимому, не стремился составить энциклопедию математических знаний. Его целью было изложение основ математики в виде логически завершенной математической теории, исходящей из минимума исходных положений.
«Начала» состоят из тринадцати книг, каждая из которых представляет собой последовательность теорем. Первой книге предпосланы определения, аксиомы и постулаты.
Определения – это положения, с помощью которых автор вводит математические понятия путем их пояснения. Например, «точка есть то, что не имеет частей», «куб есть телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами» и т.п.
Аксиомы, или общие понятия, у Евклида – это предложения, вводящие отношения равенства или неравенства величин. Аксиом в «Началах» пять:
1. Равные одному и тому же, равны между собой;
2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны;
3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны;
4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой;
5. Целое больше части.
В число исходных положений «Начал» входят также постулаты (требования), т.е. утверждения о возможности геометрических построений. С их помощью Евклид обосновывает все геометрические построения и алгоритмические операции. Постулатов тоже пять:
1. Через две точки можно провести прямую;
2. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно;
3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность;
4. Все прямые углы равны между собой;
5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет место.
Первые шесть книг «Начал» посвящены изложению планиметрии. Первая книга вводит основные построения, действия над отрезками и углами, свойства треугольников, прямоугольников и параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершают первую книгу теорема Пифагора и обратная ей теорема.
На материале первой книги выявляются некоторые характерные особенности метода математического суждения и формы изложения Евклида.
а) Метод рассуждений Евклида всегда синтетический. Для доказательства какой-либо теоремы он исходит из заведомо справедливого утверждения, в конечном счете опирающегося на систему основных положений. Из этого последнего он развивает последовательность следствий, приводящих к искомому утверждению.
б) Доказательства строятся по единой схеме, состоящей из следующих частей: формулировка задачи, или теоремы; введение чертежа для формулировки задачи; формулировка по чертежу искомого; введение вспомогательных линий; доказательство в собственном смысле; объявление того, что доказано и что доказанное решает задачу.
в) Средства геометрического построения – циркуль и линейка – принципиально не употребляются как средства измерения. Линейка не имеет мерных делений. Поэтому в «Началах» не идет речь об измерении длин отрезков, а лишь об их отношениях.
Во второй книге рассматриваются соотношения между площадями прямоугольников и квадратов, подобранные таким образом, что они образуют геометрический аппарат для интерпретации алгебраических тождеств и для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям.
Третья книга толкует о свойствах круга и окружности, хорд и касательных, центральных и вписанных углов. Четвертая книга посвящена свойствам правильных многоугольников: вписанных и описанных, а также построению правильных 3 -, 5 -, 6 – и 15 – угольников.
В пятой книге «Начал» развивается общая теория отношений величин, являющаяся прообразом теории действительного числа. Здесь же приводится теория пропорций.
Геометрические приложения теории отношений включены в шестую книгу. В ней, например, доказаны теоремы об отношении площадей прямоугольников и параллелограммов, имеющих общую высоту, о пропорциональности отрезков, отсекаемых на сторонах угла парой параллельных прямых, о подобии фигур и отношении площадей подобных фигур и т. п.
Следующая группа книг (книги 7 – 9) носит название «арифметических», так как Евклид отвлекается здесь на время от геометрии и излагает теорию чисел. Седьмая книга начинается с изложения алгоритма попеременного вычитания. Затем следует ряд предложений теории делимости. Наконец, книга содержит теорию пропорций для рациональных чисел. Последняя продолжается в восьмой книге, где рассматриваются непрерывные числовые пропорции (вида a:b = b:c = c:d = d:e=…), и заканчивается в девятой книге. В этой теории по существу вводятся геометрические целочисленные прогрессии (т. е. последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число - знаменатель прогрессии), находится среднее пропорциональное (среднее пропорциональное между двумя положительными числами, число, равное квадратному корню из их произведения), дается способ отыскания суммы геометрической прогрессии.
Значительная часть девятой книги составляет учение о простых числах (т.е. тех, которые делятся только на единицу и самих себя), причем доказывается, что простых чисел бесконечно много.
Десятая книга «Начал» интересна в первую очередь громоздкой и сложной классификацией всех 25 возможных видов биквадратичных иррациональностей (т.е. иррациональных чисел, которые являются вещественными корнями некоторого квадратного уравнения).
Последние три книги (11 – 13) «Начал» - стереометрические. Первая из них открывается большим числом определений, что вполне естественно, так как в предыдущих книгах вопросы стереометрии не рассматривались. Затем следует ряд теорем о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве и теоремы о многогранных углах. Последнюю треть книги составляет рассмотрение отношений объемов параллелепипедов и призм.
В двенадцатой книге «Начал» исследуются отношения объемов элементарных тел (пирамид, цилиндров, конусов и шаров). Они находятся с помощью метода, получившего впоследствии (в XVII в.) название метода исчерпывания. Он с успехом применялся древними для исчисления площадей произвольных фигур и объемов тел. Если, например, требовалось найти площадь какой-нибудь неправильной криволинейной фигуры, в нее начинали вписывать последовательность других фигур, площедь которых может быть определена (например, прямоугольников, треугольников или правильных многоугольников). Фигуры выбирались таким образом, чтобы разность между площадью искомой фигуры и суммой площадей вписываемых фигур стремилась к нулю.
В последней, тринадцатой, книге «Начал» находится отношение объемов шаров и построения пяти правильных многогранников: тетраэдра (4-гранника), гексаэдра (6-гранника), октаэдра (8-гранника), додекаэдра (12-гранника), икосаэдра (20-гранника). В заключении доказывается, что других правильных многогранников не существует.
«Начала» Евклида оставили неизгладимый след в истории математики и в течение многих веков служили образцом математической строгости и последовательности. Однако некоторые особенности «Начал» отражают ряд неблагоприятных моментов для дальнейшего развития математики. Прежде всего речь идет о геометрической манере изложения. Евклид оперирует не числами (которые представлены у него как отрезки), а фигурами. Средства геометрического построения по существу ограничены только циркулем и линейкой. Поэтому в «Началах» нет теории конических сечений (этой теме Евклид посвятил отдельное сочинение, которое не сохранилось), алгебраических кривых. Вычислительные методы здесь полностью отсутствуют.
История науки http://proza.ru/2013/01/17/420
Цивилизация и культура Древней Греции http://www.proza.ru/2012/06/14/273