Понятно, что при при любых положительных А, В, С и равенстве А+В-С=0 всегда A^n+B^n-C^n<0. Поэтому в гипотетическом равенстве Ферма число U=А+В-С>0.
При этом (напомню, что доказательство проводится в системе счисления с простым основанием n>2), согласно малой теореме Ферма, последние цифры степеней равны последним цифрам оснований и последняя цифра числа U равна нулю. Однако, поскольку число нулей на конце числа U конечно (и равно k), то перед ними будет стоять ненулевая цифра с номером k+1. Вот по этим-то цифрам равенство Ферма и нарушается.
Для наглядности я возьму для k значение 2. И в этом случае цифра U''' не равна нулю! Небольшое неудобство для доказательства создает лишь одно обстоятельство – цифра U''' равная 1. Я не буду повторяться с объяснением этого момента (см. заметку «Теорема Ферма. 56. Самый трудный момент доказательства»), а покажу, как от этой трудности избавиться. Для этого всего-навсего нужно умножить равенство Ферма на 2^n, после чего все числа A, B, C, U, а значит и цифра U''' числа U умножатся на 2. Нам это нужно для того, чтобы после отбрасывания двузначных окончаний A°, B°, C° в числах А, В, С сумма третьих цифр (A'''+B'''-C'''), которые в числах A*, B*, C* станут последними, не оказалась бы равной нулю. Вот и вся подготовительная работа для доказательства ВТФ.
Ну а теперь начинается та самая сказка, которая так покорила Пьера Ферма.
Для начала мы отрезаем у чисел А, В, С двузначные окончания A°, B°, C° и оставляем лишь головные части A*, B*, C*, у которых последние цифры есть третьи цифры А''', В''', С''' в числах А, В, С с последней цифрой их суммы А'''+В'''-С''', не равной нулю! Но по этой причине не равна нулю и последняя цифра суммы A*^n+B*^n-C*^n.
А теперь мы ВЕРНЕМ на свои места отброшенные окончания A°, B°, C° и посмотрим, как они повлияют на последнюю цифру суммы третьих цифр (A^n)'''+(B^n)'''-(C^n)''', которая до восстановления была последней цифрой суммы А'''+В'''-С'''.
И тут нас ожидает настоящий подарок: трехзначное окончание суммы A°^n+B°^n-C°^n равно... НУЛЮ и абсолютно не зависит от третьих цифр оснований A''', B''', C''' [что видно из бинома Ньютона (A'''n^2 + A_[2])^n=Dn^4+A'''n^3+A_[2]^n (3-я цифра степени не зависит от 3-й цифры основания)] по этой причине цифры A''', B''', C''' изменить значение последней (НЕНУЛЕВОЙ!) цифры в числе A*^n+B*^n-C*^n и третьей в числе A^n+B^n-C^n НЕ могут!!! Таким образом, третья цифра в равенстве Ферма, равная сумме последней цифры числа A*^n+B*^n-C*^n и третьей (равной НУЛЮ!) цифры числа A°^n+B°^n-C°^n ОСТАЕТСЯ НЕ НУЛЕВОЙ!
Вот и вся теорема.