Иллюзия? Обман? Или логическая ошибка?
Предлагаю немного напрячься, ну совсем немного и вспомнить теорему Пифагора. Теорема гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Пока не жаловался на свою голову, но вдруг в ней зародилось ма-а-а-ленькое сомнение по поводу этой формулы.
Постараюсь быть кратким до предела, чтобы не испытывать терпение читателей. Те, кто является постоянным моим читателем, знают, что я увлёкся тайнами всем известного цифрового ряда. Открыл для себя массу прелюбопытных вещей. Но об этом я расскажу как-нибудь в следующий раз, а сегодня у нас прямоугольный треугольник с одинаковыми катетами и гипотенузой. В формуле величину катета выражают единицей. Значит, у нас два катета каждый равный единице. Единица в квадрате остаётся единицей, поэтому сумма двух катетов равна двум. Квадрат гипотенузы равен двум. Естественно, гипотенуза равна корню квадратному из двойки. Согласны? Все вспомнили?
А теперь давайте зададим себе вопрос: Почему берётся абстрактная, отвлечённая величина в виде единицы и нельзя ли заменить эту единицу другой величиной, например, двойкой? Всего-то, заменяется абстрактная величина от произвольно взятой точки, обозначенной нулём до единицы, на более конкретную величину от конкретной единицы до конкретной следующей цифры, т.е. двойки. Здесь мне могут возразить и сказать, что мной берётся величина не от одного до двух, а от нуля до двух. Не буду спорить. Допустим, что это так. Но хочется обратить внимание на условно введённую начальную точку отсчёта ноль. Его нельзя прибавить, на него нельзя умножить, нельзя возвести в степень. В нашем случает играет роль никчемной виртуальной точки, якобы, определяющей своеобразное качество (величину) единицы. Но на самом деле предлагается взять нечто штучное для выражения катета. Замените это штучное, например, яблоком. Как вы яблоко возведёте в степень? Решения нет. Так и единица не даёт изменений при возведении в степень, сохраняя свою «штучность».
А далее происходит передёргивание? Если взять очередную «величину» в виде двойки, то её можно умножить, можно возвести в степень, можно сложить с такой же двойкой. И везде у нас получится один и тот же результат – четыре. А теперь давайте возьмём тройку и также сложим с тройкой, умножим на тройку и возведём в степень. Получится соответственно 6; 9; 27. Результаты совсем не похожи на дружное двоечное равенство. Может, нужно ограничиться квадратом тройки? Тогда при сложении двух троек и умножении на два получится шесть, а три в квадрате даст девять. Опять нет аналогии с результатами двойки и единицы.
Придётся ограничиться выводом, что берётся отвлечённая абстрактная величина и Пифагор решил, что её можно обозначить единицей. На этот раз не буду говорить, что единица выражает нечто единое и как-то неловко брать это единое дважды в одном флаконе. Ладно, пусть и это остаётся. Только смущает «стартовая» форма формулы, если величину катета обозначать единицей. Какая разница в какой степени будет единица? Она всё равно останется единицей.
Ну а если Пифагор вольно обозначил абстрактную величину катета единицей, я могу обозначить эту величину любым числом и даже иррациональным. Далеко не будем ходить и возьмём величину гипотенузы с «единичными» катетами, т.е. корень квадратный из двойки. Подставим в формулу вместо единицы корень квадратный из двух (двойки). Получится, что сумма квадратов катетов будет равна четырём, и квадрат гипотенузы, соответственно, также четырём. Всё в формуле выражено рациональными числами.
По логике вещей в подобном нашему треугольнику отношение величины гипотенузы к катету должно быть постоянным. Катет у нас был равен корню квадратному из двух, а гипотенуза равна двум. Неловко задавать себе вопрос о разнице в величинах одного катета и гипотенузы. Гипотенуза равна катету, возведённому в степень!?
Теперь возьмём эту гипотенузу и превратим её в катет очередного треугольника. Очередная гипотенуза будет выражена иррациональным числом (корень квадратный из восьми, т.е два корня квадратных из двух). У меня создаётся впечатление, что соотношение между гипотенузой и катетом изменилось.
Очередная гипотенуза будет выражена рациональным числом четыре. И т. д.
Ну а если выразить катет иррациональным числом, например, корень квадратный из трёх? Подставляем в формулу: 9+9=18. Гипотенуза равна корню квадратному из 18, т.е. три корня квадратных из двух…
А если взять иррациональное число корень квадратный из десяти и подставить в формулу? Тогда гипотенуза будет равна корню квадратному из двадцати или два корень квадратный из пяти. Если построить очередной треугольник с катетом корень квадратный из сорока, то получим гипотенузу равную четыре корень квадратный из пяти.
И уже нет надоедливого корня квадратного из двух, указывающего на иррациональность числа.
Хотя… Приведу ещё один пример, чтобы показать отношение гипотенузы к катету.
Возьмём и выразим катет «величиной» корень квадратный из пятидесяти (пять корень квадратный из двух).Гипотенуза окажется равной десяти.
Стоп. Приведённые примеры косвенно указывают совсем на другую историю, но хочется отметить, что у Пифагора было отношение между гипотенузой и катетом как корень квадратный из двух к единице. У меня, как вы увидели, получалось как два к корню квадратному из двух, и в последнем примере как 10 к корню квадратному из пятидесяти (пять корень квадратный из двух). Другими словами, не такое, как у Пифагора. Это совсем не говорит о том, что формула не верна. Но говорит о том, что поверив на слово с виду в нечто простое, нам некогда и неинтересно вникнуть более глубоко в суть вопроса. Но как только мы это начинаем делать, открывается много интересного, что перечёркивает и переворачивает наши представления об окружающем нас мире.
Вполне. возможно, мною сделана какая-нибудь грубая ошибка, но иной взгляд на детали, а в нашем варианте это ноль, единица, да и другие цифры, заставляют увидеть мир вокруг в совершенно ином варианте, который обнадёживает своей нескончаемостью.
PS см. в рецензиях.