Родился 7 июня 1898 года в городе Беднодемьяновск ныне Спасск Пензенской области (Россия). Русский. Окончил городское училище. С 10-летнего возраста работал в услужении у купца Макова.
В 1915 году был призван в ряды Русской императорской армии. Закончил учебную команду.
Участвовал в первой мировой войне. В чине старшего унтер-офицера воевал на Западном фронте в составе 1-го гренадёрского полка.
В РККА с апреля 1918 года, был призван Московским городским военкоматом.
Участвовал в гражданской войне с 1918 года. Служил в качестве письмоводителя штаба отряда, в апреле 1919 года был назначен на должность помощника начальника штаба бригады, воевал против войск Колчака.
Окончил Высшую военную школу в Омске (учился с апреля 1920 года по октябрь 1921 года).
В октябре 1921 года был назначен на должность командира стрелковой роты, а в ноябре 1921 года — на должность помощника командира, а затем — командира стрелкового батальона.
Участвовал в борьбе с басмачеством в Средней Азии с октября 1923 года, был помощником командира полка, с 1926 года – командиром отдельного узбекского стрелкового батальона.
Окончил Курсы усовершенствования комсостава «Выстрел» (учился с декабря 1928 года по октябрь 1929 года).
С ноября 1929 года по сентябрь 1932 года командовал 6-м Туркестанским стрелковым полком.
В мае 1932 года перевёлся из пехоты в ВВС, и был назначен на должность инспектора авиационной бригады в Витебске.
Окончил 1-ю Военную школу лётчиков имени А. Ф. Мясникова в посёлке Кача под Севастополем (учился с мая по декабрь 1933 года).
В феврале 1934 года был назначен на должность командира отдельной 23-й авиационной эскадрильи Новочеркасской авиабригады.
Окончил Высшую лётно-тактическую школу ВВС в Липецке (учился с февраля по декабрь 1936 года).
Присвоено звание полковника.
Участвовал в национально-революционной войне в Испании с октября (декабря) 1936 года по август (29 сентября) 1937 года в качестве советника по авиации на Северном фронте.
Имел псевдонимы «Генерал Павлович», «Павлович».
После возвращения в СССР с августа 1937 года находился в распоряжении командующего ВВС РККА.
26 октября 1937 года присвоено воинское звание «комбриг».
В январе 1938 года был назначен на должность временно исполняющего обязанности начальника Управления авиации ВМФ, а в июне 1939 года — на должность заместителя командующего авиацией Военно-Морского Флота.
26 февраля 1939 года присвоено воинское звание «комдив».
4 июня 1940 года присвоено звание генерал-майора авиации.
Участвовал в Великой Отечественной войне с июня 1941 года.
В июне 1941 года был назначен на должность начальника штаба, а в сентябре 1941 года — вновь на должность заместителя начальника Управления ВВС ВМФ СССР. Неоднократно выезжал на флоты для оказания помощи и руководства боевыми действиями авиации. В апреле 1942 года во время обороны Севастополя находился в городе.
24 апреля 1942 года генерал-майоры авиации Ф. Г. Коробков и командующий ВВС Черноморского флота Н. А. Остряков в сопровождении должностных лиц осматривали 36-е авиационные мастерские, расположенные на берегу Круглой бухты Севастополя. В это время мастерские подверглись налёту шести немецких бомбардировщиков Юнкерс-88. Одна из бомб попала в ангар и разорвалась внутри него. Погибли оба генерала, а также 46 сопровождавших их офицеров и работников мастерских.
Погибшие были похоронены на кладбище Коммунаров в Севастополе.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 14 июня 1942 года за умелое руководство морской авиацией, образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм генерал-майору Фёдору Григорьевичу Коробкову присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно).
Награждён двумя орденами Ленина (11.11.1937, 14.06.1942), двумя орденами Красного Знамени (02.01.1937, 03.04.1942), орденом Трудового Красного Знамени Узбекской ССР (1928), медалями «XX лет Рабоче-Крестьянской Красной Армии» (1938), «За оборону Севастополя».