Родился 23 декабря 1911 года в деревне Шумиловка Данковского уезда Рязанской губернии, Российская империя (ныне Милославского района Рязанской области, Россия). Русский.
В РККА с 28 сентября 1929 года.
Окончил авиационную школу летчиков-наблюдателей.
Присвоено звание лейтенанта.
Служил штурманом в 10-й скоростной бомбардировочной авиационной эскадрилье 49-й скоростной бомбардировочной авиационной бригады Белорусского военного округа.
Присвоено звание старшего лейтенанта.
Участвовал в национально-революционной войне в Испании с октября 1936 года по 27 мая 1937 года в качестве штурмана бомбардировщика СБ 12-й бомбардировочной группы республиканской авиации.
В составе группы сбил 1 вражеский истребитель Фиат-32.
После возвращения из Испании продолжал служить в Военно-воздушных силах.
Присвоено звание майора.
Участвовал в боях в районе озера Хасан в 1938 году.
Служил в Одесском военном округе, с 1940 года по 1941 год был начальником оперативного отдела 67-го истребительного авиационного полка.
Участвовал в Великой Отечественной войне с 22 июня 1941 года.
Воевал на Южном фронте в должности начальника штаба 67-го истребительного авиационного полка, затем на других командных должностях.
Присвоено звание подполковника.
В 1944 году служил старшим помощником начальника 1-го отдела ВВС Северного фронта ПВО.
После окончания войны продолжал служить в Военно-воздушных силах.
24 января 1950 года (30 ноября 1955 года) в звании полковника вышел в отставку.
Проживал в городе Харьков (Украина).
Умер в 1975 году.
Список известных воздушных побед А. И. Костикова:
20.03.1937 1/гр. Фиат-32 Испания в составе группы
Награжден орденом Ленина (05.11.1954), тремя орденами Красного Знамени (02.01.1937, 11.11.1937, 15.11.1950), двумя орденами Красной Звезды (23.09.1944, 03.11.1944), двумя медалями «За боевые заслуги» (17.10.1938, 19.05.1943), медалями «ХХ лет РККА» (1938), «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.» и другими.