Теория вероятности это просто

Мир Когнито
Теория вероятности – это просто

1.Событие и его строение
Ключевое понятие теории вероятности – это событие, это сказано в любом учебнике. Ведь определяем-то мы вероятность чего? События.
Но как устроено событие? Вот об этом в учебниках не сказано ни слова ни полслова. Но ответить на этот вопрос очень просто, если учесть, что всякое событие мы отображаем утверждением. Например:
1)цвет шара А – красный,
2)пол человека Б – мужской.
Из чего же состоят эти утверждения?
1)объект, в 1-ом это шар А (где шар – тип объекта, А – наименование объекта), во 2-ом это человек Б (где человек – тип объекта, Б – наименование объекта);
2)свойство объекта, в 1-ом это цвет, во 2-ом это пол;
3)значение свойства, в 1-ом это красный, во 2-ом это мужской.
Таким образом, всякому событию соответствует триада: объект (в котором есть тип и наименование), тип свойства, значение свойства.
Кроме того, объект может, в зависимости от ситуации, изменять значение своего свойства. Поэтому к данной триаде иногда добавляют еще и 4-ый элемент – ситуацию.
Например, если игральный кубик бросают 2 раза, то понятно, что число, которое выпадает на нём, зависит еще от номера попытки, то есть ситуации.

2.Испытание и событие
Но как мы получаем событие? Мы совершаем некоторое действие (назовём его испытанием) и наблюдаем за его результатом (исходом) Этот исход и есть событие.
Например, пытаемся перепрыгнуть через канаву шириной 3 метра. Возможные исходы этого испытания: 1)перепрыгнули; 2)не перепрыгнули.
Или: покупая лампочку, проверяем её исправность. Исходы этого испытания: 1)исправна; 2)неисправна.

3.Простые и сложные события
Поскольку всякому событию соответствует утверждению, а утверждение может быть сложным (то есть получаемым из простых утверждений с помощью логических связок, отображаемых союзами и, или, если то), то и событие может быть сложным.
Пусть имеется объект типа кубик К, свойства: число, которое выпало на кубике Ч(К), ситуации: С1, С2.
Тогда, например, событие, состоящее в том что (число Ч(К,С1)=5 и Ч(К,С2)=2), является сложным.
Другой пример сложного события.
Пусть имеется: множество Т объектов такого типа, что у них есть свойства: форма Ф(Т) и цвет Ц(Т), тогда событие, состоящее в том, что для наугад взятого из Т объекта О (Ф(О)=куб и Ц(О)=красный) – тоже сложное событие.
Как видно, 2-ой пример не совсем  аналогичен 1-ому. Ибо в 1-ом наугад определяются значения свойства одного объекта, тогда как во 2-ом – сначала из некоторого множества объектов (одного типа) наугад выбирается объект, свойства которого и определяются.
Но подробнее это мы разберём позже.

4.Полигон
Установку, на которой получаются события, назовём полигоном. (понятно, что это не обязательно военный полигон, это просто объект, на котором производятся некие испытания.)
Например, полигоном является шляпа, в которую положены разноцветные шары, которые потом наугад (обязательно наугад! Иначе какая же тут случайность?) извлекаются из неё.
Другой пример полигона – цех, в котором производят электролампы, а затем тестируют их на исправность.
Всякий полигон, как следует из предыдущих примеров, может производить как 1-мерные события (то есть такие, в которых фигурирует одно свойство), так и 2х- и более-мерные (то есть такие, в которых фигурируют 2 или более свойств)

5.Свойства полигона
Переменная полигона – переменная (то есть заданное свойство заданного объекта), фигурирующая в утверждениях, отображающих события, создаваемые полигоном.
Количество возможных значений данной переменной полигона - мощность множества возможных значений данной переменной полигона.
Мерность полигона – количество переменных полигона.
Пространство событий полигона – множество всех событий, создаваемых данным полигоном.
Мощность пространства событий полигона - количество элементов в пространстве событий полигона.

6.Целевое событие
Это множество желаемых исходов, то есть событий, удовлетворяющих определённому критерию, назовём его критерием целевого события.
Например, что наугад (то есть вслепую, а точнее – при отсутствии возможности получения о нём какой-либо информации, и не обязательно поступающей по зрительному каналу. Можно, например, и по осязательному. Например, если закодировать цвет шара (который мы не можем определить вслепую) в виде разной степени его шероховатости.) извлечённый из шляпы шар окажется красным.
Тогда можно говорить о мощности множества желаемых событий.
Множество желаемых событий - это и есть целевое событие.(которое является дизъюнкцией всех элементов множества желаемых событий)

7.Вероятность целевого события
Это отношение мощности множества желаемых событий (получаемых на заданном полигоне) к мощности пространства событий этого полигона.
И в этом месте очень важно понимать, что событие - это, в теории вероятности, на самом деле, почти всегда множество единичных событий, связанных через "или".
Поэтому одно дело, если переменная события приобретает значения из дискретного
 множества. Тогда событие, в частности - это равенство значения переменной события хотя бы одному из элементов множества. То есть даже единичное событие.
Но если переменная события приобретает значения из сплошного множества, то тогда событие - это вхождение значения переменной в заданный интервал.(а это и есть условие свершения события)
Отсюда понятно, что в общем случае событие в теории вероятности - событие-дизъюнкция (из некоторого множества событий, ограниченных полигоном событий), удовлетворяющее некоторому условию.

8.Несовместные события
Если события А и В таковы, что они не могут появиться вместе, то есть p(А и В)=0, то они несовместны по отношению друг к другу. (симметричность отношения "несовместности" следует из коммуативности логической операции "и")
Например, если все шары, которые мы используем для испытаний (то есть создания событий), устроены так, что раскрашены по всей их поверхности одинаково, то событие, состоящее в том, что цвет шара Ш = красный и событие, состоящее в том, что цвет шара Ш = зелёный, несовместны.

9.Равновероятные события
Если события А и Б таковы, что р(А)=р(Б), то эти события – равновероятны.
Например, если игральный кубик устроен так (а его можно устроить и иначе, уж поверьте мне, опытному шулеру), что на нём число 1 выпадает ровно с той же вероятностью, как и все другие числа, до 6, то все перечисленные события равновероятны.

10.Вероятность сложного события-дизъюнкции
Как найти вероятность сложного события?
Пусть событие С= А или Б (то есть С – дизъюнкция А и Б) и события А и Б – несовместны, тогда р(С)=р(А)+р(Б)
А если события А и Б совместны? То мерой их совместности, понятно, является p(А и В), которая в данном случае >0. И тогда
р(С)=р(А)+р(Б)- p(А и В)

11.Полная система событий
Если события А и Б несовместны и таковы, что р(А или Б)=1, то множество {А, Б} -  полная система событий.
Например, на игральной кости в виде кубика (а не икосаэдра, например) может выпасть число 1 или 2 или 3 и т.д. до 6, других вариантов быть не может. Поэтому множество всех этих событий - полная система событий.
В частности, события А и не(А) – полная система событий, отсюда р(не(А))=1-р(А)

12.Вероятность сложного события-конъюнкции
Пусть событие С= А и Б (то есть С – конъюнкция А и Б) , тогда
р(С)=р(А)*р(Б/А),
где р(Б/А) – так называемая условная вероятность события Б относительно события А.
Если же события А и Б – независимы, то тогда, как пишут в учебниках:
р(С)=р(А)*р(Б),
Отсюда, если событие А независимо от события Б, то условная вероятность
р(А/Б)= р(А)
Попробуем доказать это утверждение.
Т.к. по определению условная вероятность р(А/Б)= р(Б и А)/р(Б), а при независимости А от Б
р(А и Б)=0, то р(А/Б) =0
Что за чепуха? Где же ошибка?
Может, мы недостаточно чётко определили понятие зависимости событий? Или, может, совсем не определили?

13.Зависимые и независимые события
Может, мы неверно истолковываем независимость событий?
Ведь из предыдущего следует, что несовместность событий – это (как бы) то же самое, что и независимость событий. Но не может же это быть верным, это же разные, по идее, понятия.
Для решения этой проблемы давайте посмотрим на этот вопрос с другого ракурса.
Пусть события А и Б таковы, что А не может наступить без наступления Б, то есть р(А и не(Б))=0. Тогда получается, что событие А – зависимо от события Б. Используя логическую связку «если, то», данное обстоятельство можно записывать так: р(если Б, то А)=1. (т.к. если Б, то А = не(А и  не(Б)))
(Например, невозможно подняться на 2-ой этаж здания Н, не поднявшись на 1-ый этаж здания Н.)
Соответственно, если событие А не зависит от события Б, то р(А и не Б)=1.
Подчеркну здесь, что зависимость событий – не является симметричным отношением, поэтому утверждение, что А и Б – независимые (или зависимые) события, является нонсенсом. В частности, событие А может зависеть от события Б, а событие Б (при этом) не зависеть от события А. Поэтому правильно говорить так, например: событие независимо по отношению к событию Б (или просто от события Б).

14.Степень зависимости событий и условная вероятность
Рассмотрим случай, когда р(А и не(Б))>0, но <1. Как интерпретировать такую ситуацию? Как частичную независимость события А от события Б. А р(А и не(Б)) - как меру этой независимости.
Степень же независимости А от Б определится как р(А и не(Б))/р(Б), то есть как доля меры независимости А от Б от вероятности самого события А.
Что же есть степень зависимости А от Б? Понятно, что как 1- р(А и не(Б))/р(Б).

Легко доказать (используя диаграммы Вьенна), что
р(А и не(Б))=р(А)-р(А и Б)
Отсюда, поделив обе части равенства на р(А), получим, что степень независимости А от Б - это величина, определяемая как:
р(А и не(Б))/p(Б) = р(А)/р(Б) - р(А и Б)/р(Б),
Понятно, что левая часть формулы – это степень независимости А от Б
Как же трактовать правую часть этой формулы?
р(А и Б)/р(Б) - это степень совместности события А с событием Б. Ну а что такое р(А)/р(Б)?
В случае, если левая часть = 0, то это условная вероятность А от Б. Т.к. при этом условии р(А и Б)=р(А)
И прежде условная вероятность только и определялась для этого случая. Но мы-то решили расширить границы теории, то есть рассматривать не только собственно зависимость (1- р(А и не(Б))/р(Б)=1) или независимость (1- р(А и не(Б))/р(Б)=0), но и степени оных.

Итак, теперь понято, что степень зависимости А от Б – это 1- р(А и не(Б))/р(Б).
Что же касается степени независимости и зависимости Б от А, то это уже другие, хотя и похожие формулы. Предоставляем вывести их читателю, в качестве упражнения на понимание материала.
Но как же всё-таки интерпретировать утверждение, что если же события А и Б – независимы, то
р(А и Б)=р(А)*р(Б)?
Ведь факт, что в этой формуле независимость событий понимается иначе, чем только что мы вывели?

15.Несравнимые события
Вспомним, что в логике говорится о том, что, кроме непересекающихся (контрадикторных) понятий существуют еще несравнимые понятия. (то есть такие, в содержании которых нет совпадающих свойств)
Почему бы тогда не рассматривать кроме контрадикторных (=несовместных, по-старому) событий еще и несравнимые?
Например, зададимся вопросом: каково пересечение событий А=(карандаш К – красный) и Б=(карандаш К – круглый)? Правильный ответ таков: эти события в принципе непересекаемы, т.к. соответствуют несравнимым понятиям! (цвет и форма) А поэтому вопрос об их совместности (а потому и зависимости, ибо это же самое, как выяснилось, что и совместность) – нонсенс.
Но ведь такая иллюзия возникает потому, что мы до сих пор находимся в плену одномерных и при том связанных с одинаковыми переменными (а поэтому сравнимых) событий!
Итак, получается, что вместо независимых (по-старому) у нас появились несравнимые события.

16.Кортеж несравнимых событий и его вероятность
Но несравнимые события вполне могут появиться вместе! Ибо, если события в разных измерениях, то они не могут пересечься ни в одном из них. Но в обоих измерениях сразу (то есть в многомерном пространстве событий)  они вполне сочетаемы. Например, если карандаш К – красный и круглый одновременно, разве такого не может быть?  Но вероятность такого события определяется уже как вероятность 2х-мерного события, поэтому-то и формула другая:
р(А и Б)=р(А)*р(Б)
(И тут, конечно, разумно придумать, для точности, некую иную логическую связку, чем «и» (конъюнкция). Назовём её кортеж (склейка). (но она применима, понятно, только для несравнимых событий.)
Обозначим эту операцию так: (А,Б). Хотя с формально-логической точки зрения событие (А,Б) – то же самое, что А и Б.)
Ибо это уже некая другая вероятность, чем вероятность 1-мерного события, а именно это площадь уже 2х-мерной фигуры, содержащей все рассматриваемые нами 2х-мерные события. А не длина 1-мерной, как в случае 1-мерных событий.
Итак, вероятность кортежа событий, то есть многомерного события:
р((А, Б))=р(А)*р(Б).

17.Следствия из обнаружения несравнимости и многомерности событий.
Таким образом, формула р((А, Б))=р(А)*р(Б) относится только к многомерному событию (и его 1-мерным или менее-мерным ипостfсям).
А то обстоятельство, что существование многомерных событий так долго оставалась незамеченным, объясняется, во-первых, тем, что до сих пор оставалась неясной структура события, а во-вторых – тем, что создатель теории множеств Георг Кантор не предусмотрел для множеств понятие мерности, что, в свою очередь, нашло отражение и в диаграммах Вьенна.

Следствие 1.
Но как же тогда найти вероятность конъюнкции 1-мерных событий в одинаковых измерениях
(то есть унимерных событий, введём такое понятие.
В противоположность этому разномерные события – это 1-мерные события в разных измерениях)?
Обозначим унимерные события как А1 и А2, тогда:
р(А1 или А2) = р(А1) + р(А2) - р(А1 и А2),
откуда
р(А1 и А2) = р(А1) + р(А2) - р(А1 или А2),
и только так.

Следствие 2
Вероятность дизъюнкции и импликации разномерных событий не имеет смысла.
Но вот для многомерных, но унимерных событий (пусть унимерные события – это также многомерные события, но задействующие в точности те же измерения.) эти понятия вполне имеют смысл.

Следствие 3
Что же касается понятия зависимости событий (как оно определено выше), то оно тоже применимо только для сравнимых событий.
Вот именно, только для сравнимых! А сравнимые какие? Унимерные, пусть и многомерные.
Ибо унимерность событий, с которыми делаются логические манипуляции, необходима, чтобы не получать заведомо пустые множества их пересечений.

18.Реальная зависимость событий на кортежах
Реальная же зависимость 1-мерных событий (по разным измеренииям кортежа) может возникать на 2х-мерном полигоне, на котором не соблюдается (по факту) условие независимости одной (случайной) переменной от другой. Какая предписывается в учебниках по умолчанию, для многомерных событий.
Ибо что, разве не может коэффифиент корреляции по всему пространству событий 2х-мерного полигона быть отличным от 0? Вполне может!
И вот тогда-то формула р((А, Б))=р(А)*р(Б) станет непригодна тоже, ибо она – для независимых … нет, не событий. А для независимых измерений 2х-мерного события..