А был ли "мальчик"?
Вчера, в книге «А.Е.Марон, Е.А.Марон. Дидактические материалы по физике, 10 класс» повстречался со следующей задачей:
ТС-8, вар.1, №4.
(текст задачи дан на иллюстрации к статье)
Введём следующие обозначения:
Ш1 – 1-ый шарик,
Ш2 – 2-ой шарик,
С1 – ситуация до взаимодействия шариков,
С2 – ситуация после взаимодействия шариков,
v11- модуль скорости Ш1 в С1
v21 – модуль скорости Ш2 в С1
v12 – модуль скорости Ш1 в С2
v22 - модуль скорости Ш2 в С2
m1 – масса Ш1,
m2 – масса Ш2.
Таким образом, получается, что
Дано:
m1=m
v11=v
m2=m1
v21=0
Найти:
v12=?
v22=?
Введём ось ОХ, совпадающую по направлению с v11, а направление v12 и v22 примем таким же, как и v11.
Тогда, согласно закону сохранения импульса системы тел (а его мы можем применить, т.к. внешние силы (по умолчанию) отсутствуют) получаем уравнение в проекциях на ось Х:
m1*v12+m2*v22=m1*v11+m2*v21
Теперь, учтя исходные данные, получим:
m*v12+m* v22=m*v+m2*0 => m*v12+m* v22=m*v
Теперь поделим обе части уравнения на m:
v12+ v22=v (1)
Как видим, получилось 1 уравнение с 2-мя искомыми переменными. Что же делать?
Может, что-то из условия мы не учли? Поэтому внимательно вчитаемся в условие, после чего найдём это нечто: считать удар абсолютно упругим. А это означаем, что в данном случае выполняется и закон сохранения механической энергии, в данном случае исключительно кинетической. То есть:
m1*v12^2/2+m2*v22^2/2=m1*v11^2/2+m2*v21^2/2
Учтём исходные данные:
m*v12^2/2+m*v22^2/2=m*v^2/2+m*0^2/2 => m*v12^2/2+m*v22^2/2=m*v^2/2
Поделим на m:
v12^2/2+v22^2/2=v^2/2 (2)
Вот мы и получили систему из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными.
Из (1) получаем:
v22 =v- v12 (3)
Подставив (3) в (2) и сделав разрешающие шаги, получим:
v12*(v12-v)=0
Откуда выходит альтернатива:
[v12=0, v12-v=0] => [v12=0, v12=v] => [v22=v-0=v, v22=v-v=0]
Итак, математики в данном случае хладнокровно предлагают нам два варианта результата взаимодействия:
1)v12=0, v22=v,
2)v12=v, v22=0
Но физики в шоке: какой же из вариантов действительно реализуется? Ведь тут не может быть альтернативы! Ибо исходная-то ситуация одна, никаких отличий нет!
Ну а логики подсказывают, задавая встречный вопрос: скажите пожалуйста, физики, есть ли во 2-ой альтернативе какие-то изменения ситуации? На что физики, тупо сравнивая параметры С1 и С2 удивлённо обнаруживают, что … никаких изменений нет. О чём же это говорит?
И только на следующий день у них возникает инсайт: да, оба закона сохранения сработали, но разве они не сработают, если взаимодействия не было вообще? Да конечно же, сработают. Но в условии задачи сказано, что взаимодействие всё-таки состоялось. Поэтому логика подсказывает: 2-ой вариант следует исключить, поэтому правильный ответ таков: v12=0, v22=v.
Что мы и можем наблюдать (и неоднократно) при игре в биллиард: ударяющий шар останавливается ровно в той точке, где прежде лежал ударяемый.