"Открытие" Мякишева и Ко
Недавно в учебнике физики для 10 класса (авторы Мякишев, Буховцев, Сотский) обнаружил следующее утверждение: ускорение свободного падения зависит от широты точки на земной поверхности.
Что объяснялось следующим:
В целом по форме Земля близка к эллипсоиду, сплюснутому у полюсов и растянутому в экваториальной зоне. В нашей стране принят термин «эллипсоид Красовского [Феодосий Николаевич]). Средний радиус Земли 6371 км, полярный – 6356 км, экваториальный – 6378 км. Масса Земли 5,976·1024 кг, средняя плотность 5518 кг/м3. Площадь поверхности Земли 510,2 млн. км2.
Фактически уровневая поверхность Земли не совпадает с поверхностью эллипсоида. Геоид – условное наименование истинной фигуры Земли, предложенное в 1873 г. немецким ученым И. Листингом (геоид – землеподобный). Геоид это геометрически сложная поверхность равных значений потенциала силы тяжести, совпадающая с невозмущенной поверхностью Мирового океана и продолженная под континентами. Он близок к эллипсоиду со сжатием 1 : 298,2.
И такое объяснение вполне логично, т.к. природа силы тяжести (и, стало быть, ускорения свободного падения) – это гравитация Земли, сила которой, согласно закону всемирного тяготения определяется по формуле:
Fграв=G*m1*m2/l^2,
Где G – гравитационная постоянная
m1 и m2 – массы гравитирующих сил
l – расстояние между центрами масс гравитирующих сил
А последняя величина для тела, находящегося на поверхности Земли, равна её радиусу. Поэтому, т.к полярный радиус Земли меньше экваториального, то и сила гравитации Земли на полюсе больше, чем на экваторе, но на очень-очень малую величину
Но в этом учебнике я встретил и другое объяснение.
Сила тяжести, якобы, есть сумма силы собственно гравитации и центробежной силы инерции, которая действует на тело, находящееся на поверхности Земли вследствие её вращения вокруг собственной оси. Во-первых, природа силы тяжести – это гравитация (и это следует из её названия)
Во- вторых, понятие «сила инерции» давно уже стало анахронизмом, а именно потому, что это квазисила (что центробежная, что еще какая-то)(из дальнейшего это станет понятно), поскольку она «возникает» не вследствие действия на тело других тел, находящихся с ним в контакте или на расстоянии. А посему это кажущаяся сила.
В-третьих, давайте разберём, какие силы действуют на тело, находящееся на поверхности Земли на некоторой широте alfa.
1)сила тяжести Fт, она же сила гравитации.
Угол этой силы относительно оси ОХ (которую мы разместим в меридианальной плоскости параллельно экваториальной плоскости) :
Beta(Fт)=-(Pi/2+(Pi/2-alfa))=alfa-Pi
Отсюда:
Cos(Beta(Fт))=-cos(alfa)
Sin(Beta(Fт))=-sin(alfa)
2)сила реакции опоры N.
Beta(N)=alfa => cos(beta(N))=cos(alfa), sin(beta(N))=sin(alfa)
Таким образом, получаем векторное уравнение 2-го закона Ньютона для тела, находящегося на поверхности Земли:
Fт+N=m*aцс,
где
m – масса тела, находящегося на поверхности Земли,
aцс – ускорение этого тела, которое полностью является центростремительным, то есть нормальным к местной параллели (а поэтому равным v^2/r, где v – линейная скорость вращения на данной параллели, r – радиус данной параллели)
А r=R*cos(alfa), где R – радиус Земли.
Далее, поскольку v=w*r, то aцс= (w*r)^2/r = w^2*r= w^2* R*cos(alfa),
где w - угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси.)
А, поскольку это ускорение направлено вдоль оси Х (но противоположно ей), то возникает вопрос: а полон ли этот набор сил? Ведь, поскольку они направлены взаимно противоположно и под острым углом к оси ОХ, то они в принципе не могут дать такого ускорения. Что же мы упустили? Это легко понять, поняв то, что Земля фактически представляет собой огромную карусель. А что с нами бывает на карусели? Если мы не зафиксированы на ней, то нас будет всё больше смещать к её периферии. Что же тогда нам помогает держаться на поверхности Земли, чтобы не быть сметаемыми к экватору? Правильно, сила трения Fтр (которая направлена по касательной к местному меридиану к полюсу, а поэтому beta(Fтр)=Pi/2+alfa => cos(beta(Fтр))=-sin(alfa), sin(beta(Fтр))=cos(alfa))
В итоге получаем следующую систему уравнений 2-го закона Ньютона (в проекциях):
{m*g*(-cos(alfa))+N* cos(alfa)+Fтр*(-sin(alfa)=-m* w^2* R*cos(alfa),
m*g*(-sin(alfa))+N*sin(alfa)+Fтр*cos(alfa))=0}
(в данном случае Fтр и N – это модули соответствующих сил
Решение этой системы даёт:
N=m*(g-cos^2(alfa)*R*w^2),
Fтр=1/2*m*sin(2*alfa)^R*w^2
В итоге получаем, что при увеличении широты точки, где находится тело (alfa) N увеличивается, а значит, увеличивается и вес тела, т.к. векторно P=-N (согласно 3-ему закону Ньютона), а по модулю P=N. Вот что на самом деле означает «зависимость» g от широты точки на Земле. А отсюда, в частности, такое следствие: старт ракеты на экваторе потребует меньших затрат энергии, чем на больших широтах. Что и использовали французы, построив свой космодром в Африке.
"Гвианский космический центр – европейский космодром расположенный вблизи города Куру во Французской Гвиане (департамент Франции в Южной Америки). Его расположение около экватора (5 о 14' северной широты, 52 о 46' восточной долготы) обеспечивает 15% преимущество по полезной нагрузке по сравнению с запусками в восточном направлении с американского космодрома на мысе Канаверал и 40% - при запусках с космодрома Байконур. С начала 70-х гг. прошлого века ГКЦ используется для запусков КА ракетами-носителями семейства «Ариан». Руководство работой ГКЦ осуществляет КНЕС. При этом космодром финансируется из бюджета ЕКА, а используется в интересах совместных европейских космических программ. Эксплуатацию космодрома, подготовку и пуски РН осуществляет АО «Арианэспас», ЕКА, КНЕС и ведущие европейские предприятия ракетно-космической отрасли."
http://www.tvroscosmos.ru/3783/
Но здесь же открывается еще один, хоть и курьёзный, но немаловажный факт: если требуемое для равновесия значение Fтр=1/2*m*sin(2*alfa)^R*w^2 > mu* m*(-cos^2(alfa)*R*w^2+g) =>
=> 1/2*sin(2*alfa)^R*w^2 > mu*(-cos^2(alfa)*R*w^2+g)
(где mu – коэффициент трения), то … тело не удержится в данной точке поверхности Земли и станет соскальзывать к экватору.
(пока, на некоторой широте не будет выполнено условие:
1/2*sin(2*alfa)^R*w^2 = mu*(-cos^2(alfa)*R*w^2+g)
)
Если же и на экваторе (alfa=0) не будет достигнуто равновесие, то есть при
0 > mu*(-R*w^2+g) => -R*w^2+g<0 => R*w^2>g,
то тело не удержится и на поверхности Земли и улетит в космос, без всяких ракет-носителей.