НАУЧНОЕ ОТКРЫТИЕ В АЛГЕБРЕ
РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В РАДИКАЛАХ
Со школьной скамьи я увлечён математикой, алгеброй и занимался научным поиском самостоятельно, прерываясь лишь во время учёбы в Дагестанском, а затем и Новочеркасском политехническом институте. Как и некоторые выпускники вузов, мечтал заняться наукой, научной работой, но "стандартно", через поступление аспирантуру (очную или заочную) в то советское время у меня не получилось, тут разные причины были, семейные обстоятельства, отсутствие научно-исследовательской, научно-производственной или другой научной базы - организации, куда можно было бы поступить на работу...В общем после различных безуспешных поездок в крупные мегаполисы для поступления в научно-технические организации, после долгих размышлений, я подумал, ведь в прошлом и Пифагор, и Кардано, и Эйнштейн и другие великие учёные совершали свои великие открытия не через поступления в аспирантуры или поступления на работу в НИИ, КБ или другие научно-технические организации и, если я на что-то гожусь, в плане научного поиска, то я должен реализовать себя занимаясь этим самостоятельно. Как у многих творческих людей, идей у меня было много и ими я занимался параллельно. Ложился спать с идеями, подходами к решению задач и просыпался ими в голове. Лишь на работе, на производстве я отвлекался от них, ибо работа в должностях рабочего, мастера, инженера (в разное время) на строительстве ГЭС, энергетических и других объектов требовала большого внимания к себе, а после рабочего дня, во время выходных, праздничных дней, отпуска, моё внимание всецело было приковано к творчеству, научному поиску. Вряд ли большинство людей поймёт, примет такой образ жизни семейного человека, который разрывается между заботой о семье и неотступной тягой к научным поискам, увлечённостью наукой, творчеством. Но если судьба такая, если увлечённость наукой превалирует над остальными занятиями... Было как у других и у меня честолюбивое, желание сделать служебную карьеру, карьеру научного работника и т.п. Но постепенно понял, что суть моих стремлений - это сделать научные открытия, разрешить "неразрешимые" проблемы в науке, карьера и прочее - второстепенное...И вот так я иду по жизни…не заметил как стал пенсионером... Считаю что, я достиг существенного в науке, открыв новые формулы, разрешив некоторые научные проблемы. Я верю, что мои формулы со временем войдут в учебную программу школ, колледжей, вузов и будут наравне с формулами ал-Хорезми, Кардано, Феррари, Виета, Декарта-Эйлера, на страницах учебных, научных, научно-популярных книг. Здесь ко мне могут возникнуть много вопросов, но всё охватить этим текстом невозможно...
В приложенном файле я привёл одну из своих научных работ (спасибо тем, кто помог мне оцифровать эти сложные формулы), которую я считаю научным открытием. Эта проблемная тема из классической алгебры, из основ алгебры.
РЕШЕНИЕ ОБЩЕГО КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В РАДИКАЛАХ, ОТЛИЧАЮЩЕЕСЯ ОТ ИЗВЕСТНОГО РЕШЕНИЯ (ФОРМУЛЫ Д. КАРДАНО)
Нами была поставлена задача, цель которой, найти общее решение кубического уравнения в радикалах, не приводя его к упрощённому классическому виду. Как известно учёные-математики в прошлом, в попытке найти общее решение уравнений высших степеней, уравнение общего вида приводили к классическому виду. Именно в таком классическом виде рассматривались уравнения при поиске решения кубического уравнения (и не только кубического уравнения, но и больших степеней) в радикалах итальянскими учёными Фиоре, Тарталья, Кардано, а до них и учёными Востока. Задача - найти решение общего уравнения, не прибегая приведению к классическому виду, нами была решена. Исследования и практические решения уравнений, привели к интересным, занимательным результатам, показав, что нами найденные решения, формулы решения кубического уравнений существенно расширяют само понятие - «общее решение уравнений высших степеней в радикалах», его суть.
ВВЕДЕНИЕ (немного из истории науки)
Каждые из нас, проходившие обучение в школах, в средних специальных учебных заведениях, вузах, сталкивались с решениями алгебраических уравнений. Решения задач с «икс», «игрек» и «зет» стали как бы нарицательными символами решений математических уравнений. Ещё в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения высших степеней… Известный немецкий математик Р Курант (1888-1972) писал: «На протяжении двух с лишним тысячилетий обладанием некоторыми, не слишком поверхностными знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека» И среди этих знаний было умение решать уравнения… Сам термин «алгебра» происходит от названия сочинения Мухаммеда аль-Хорезми из Хорезма «Аль-джебр аль-мукабала», в котором излагались правила («алгоритмы») решения такого уравнения в первой (линейные уравнения) и второй степеней, т.е. решения линейных и квадратных уравнений, известных нам со школьной скамьи. Это было состояние с достижениями в высшей алгебре в 9 веке. Однако более семисот лет после этого учёным не удалось «выразить корни уравнений 3-й и 4- степеней через коэффициенты (решить их в радикалах) в общем виде. Это удалось лишь в 16 веке итальянским математикам. В 1545 г. вышла книга Джероламо Кардано «Великое искусство», которая была посвящена в основном решению уравнений 3-й и 4-й степеней. Состояние математики до начала 16 века описана в книге авторитетного учёного периода конца 15 века Луки Пачоли (1445-1514) «Сумма арифметики»(1494г), в конце которой говорится, что для решения кубических уравнений «искусством алгебры ещё не дан способ, как не дан способ квадратуры круга». В общем решение кубического уравнения считалось такой же не разрешимой задачей как «Квадратура круга». Открытие решения кубического уравнения связывают с профессором математики в Болонье Сципион дель Ферро (1465-1536), «Мастером счёта» Никколо Тарталья (1500-1557) из Брешии и Джероламо Кардано (1501-1576), последний из которых, получив готовый способ решения от Тартальи, затрачивая годы напряжённой работы, вёл исследования решения кубического уравнения. История их открытий и даже авторство найденных формул довольно запутана, со сложившимися сложными взаимоотношениями между Ферро, Кардано, Тартальей и Феррари (открывший способ решения уравнения 4 степени общего вида)…
Проблемами решений степенных уравнений (алгебраических) занимались в древности, греческие и, вслед за ними, учёные Востока… О математике в Древнем Египте судят по дошедшим до нас математическим текстам, написанных на особой бумаге – папирусе (папирус Райнда и Московский папирус, которые относятся 18 веку до н.э.). В папирусе Райнда «особое место занимают задачи на «аха», решаемые нами с помощью линейных уравнений с одним неизвестным…»(В. А.Никифоровский«В мире уравнений» (стр.7))… «Среди задач клинописных текстов (клинописные тексты были расшифрованы учёными советской эпохи) достаточно много алгебраических, приводящих к системе линейных уравнений и уравнениям второй степени. Вавилоняне также решали задачи, приводящие к кубическим уравнениям» (Там же, стр 17). «В эпоху, когда египетское и вавилонское государства клонились к упадку, на исторической сцене появился новый народ – греки, которым предстояло вскоре поднять уровень культуры на небывалую высоту во всех её областях – формы политической жизни, изящных искусств, литературы, науки, философии» (стр 18)… «Основатели греческой науки Фалес, Пифагор, Демокрит, Евдокс путешествовали по странам Востока, где ознакомились состоянием математики, астрономии»(стр.20) …Завершили создание греческой математики виднейшие представители её Евклид, Архимед, Аполлоний. В трудах их, дошедших до нас, были основаны положения, послужившие основой современной математики» (с20)…
«В 5 веке до н.э. возникли три задачи, получившие известность как тогда, так и в последующие времена, потому что оказались неразрешимыми средствами геометрической алгебры и поребовали новых изысканий. Это задачи об удвоении куба, трисекции угла, квадратуре куба» (с.28). Пытаясь решить задачу об удвоению куба, «Архимед применил конические сечения к задачам, приводящие к кубическим уравнениям» (с.29)… Доказательство неразрешимости общего кубического уравнения в квадратичных иррациональностях впервые предпринял Леонардо Пизанский… «Задачу о трисекции угла древним не удалось свести к кубическому уравнению. Это сделали значительно позднее математики стран ислама» (с.30)… «При исследовании трисекции угла и квадратуры круга Архимед открыл ещё одну кривую –спираль, названная его именем. Квадратура круга в отличие от удвоения куба и трисекции угла, не может быть сведена алгебраическому уравнению. Это было доказано только в 19 веке» (с30). «Ещё одна задача сводилась к алгебраическим уравнениям – построение правильных многоугольников…Архимед с помощью вставки выполнял построение правильного семиугольника, которое дошло до нас в арабском переводе. Математики стран ислама показали, что эта задача сводится к кубическому уравнению. Полное решение задачи о построении правильных многоугольников дал в конце18 века К. Гаусс» (с.31). «Третий великий математик античности – Аполлоний Пергский (вторая половина 3 в до н.э. - первая половина 2 в до н.э.) жил и работал в Александрии… В непосредственно интересующую нас теорию уравнений Аполлоний сделал значительный вклад. Известны три проблемы Аполлония, приводящие квадратным уравнениям» (с.43)
Та форма науки которая развилась в Греции, позднее распространилась в Индии, Европе. «Существенное отличие математики индийцев от математики греков состояло в том, что она была числовой. Строгие доказательства греков они заменяли наглядностью…Основные достижения индийцев в математике следующие: они ввели в обращение цифры, называемые нами арабскими, и позиционную систему записи чисел, отрицательные числа, обнаружили двойственность корней квадратного уравнения, двузначность квадратного корня»,(с.60). Индийцы сделали шаг вперёд по сравнению с Диофантом в совершенствовании символики. Они решали неопределённые уравнения в целых числах. Индийцы рассматривали задачи, решаемые при помощи линейных, квадратных, кубических и биквадратных уравнений…Бхаскара II привёл отрывок из не дошедшего до нас сочинения Шридхари (9-10 в), содержащий способ решения полного квадратного уравнения. Бхаскара II изучал и уравнения больших степеней… Индийские математики оказали влияние на математиков Среднего и Ближнего Востока, Средней Азии и Китая. При посредничестве учёных стран ислама, европейцам стали известны достижения индийских математиков и стали составной частью мировой науки.
Среднеазиатский учёный Бируни (конец 9 века - первая половина 10 века) привёл задачу о нахождении стороны правильного девятиугольника к решению кубического уравнения и получил приближённое решение этого уравнения в виде шестидесятиричной дроби. Задача о построении правильного семиугольника также была сведена к решению кубического уравнения. Ибн аль-Хайтам из Ирака (конец 10 века – начало 11 века) свел одну из задач геометрической оптики к решению уравнения четвёртой степени. Абу-л-Вафа (940-997/8) занимался изучением уравнений 3 и 4 степеней. Омар Хайям (1038/48 – 1123/24), известный на Западе как автор «Рубаят». Омар написал книгу «Алгебру» , («Трактат о доказательствах алгебры и мукабалы»)—«выдающееся достижение, так как в ней содержится систематическое исследование уравнений 3 степени». Другой персидский учёный ал-Каши (первая половина пятнадцатого столетия» проявляет большое искусство при выполнении вычислений. Он решил уравнение 4 степени с помощью итерации и тригонометрическим методом, знал тот метод решения общих алгебраических уравнений высших степеней, который теперь носит имя схемы Горнера. В Египте выдающейся личностью был Ибн ал-Хайсам (Алхазен, ок.965-1039). За сто лет до Алхазена в Египте жил алгебраист Абу Камил, который продолжал труды ал-Хорезми. Он оказал влияние на европейских учёных, среди которых и Леонардо Пизанский (Фибоначчи), путешествовавший по Востоку как купец... В книге составленной китайским учёным Ван Сяо-туном находим кубическое уравнение. Из числа ведущих учёных Цзинь Цзю-шао, который развивал тогда уже давнюю теорию неопределённых уравнений. Он также занимался решением биквадратного уравнения. В книге Чжу Ши-цзе, которого считают самым выдающимся из математиков периода Сун, автор «переносит «матричное» решение линейных алгебраических уравнений на уравнения высших степеней с несколькими неизвестными, применяя методы, напоминающие Сильвестра». 12-15 вв. являются для западноевропейской математики периодом усвоения наследства древнего мира и Востока Кроме Леонардо Пизанского (Фибоначчи) и других европейцев, математик-церковник Герберт, «французский монах, который в 999 году стал папой, приняв имя Сильвестра II», под влиянием Боэция написал несколько трактатов, но его значению как математика обусловлено в основном тем, что он был одним из первых западных учёных, ездивших в Испанию и изучавших математику арабского востока. Меньше чем через 100 лет после появления в 12 веке первых латинских переводов греческих и арабских математических сочинений итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои «Книгу об абаке» (1202) и «Практику геометрии» (1220), излагающие арифметику, геометрию и алгебру. В своём сочинении «Цветок» (около 1225) Фибоначчи доказал неразрешимость конкретного с цифровыми коэфициентами кубического уравнения не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратичных иррациональностей…16 век был первым веком превосходства в науке над древним миром и Востоком. Новая эра в Европе начинается с открытием решения кубических уравнений общего вида итальянскими математиками С. Ферро (ок 1515) и позднее, независимо от него, итальянским математиком Н. Тартальей (ок 1530), Дж. Кардано и Л. Феррари, открывший способ решения уравнения четвёртой степени общего вида (1545). Дальнейшее развитие алгебра получила у французского математика Ф. Виета, указавшего, например, способ составления уравнения высшей степени по его корням. Виет является основателем настоящего алгебраического буквенного исчисления (1591). До него буквами обозначались только неизвестные…Это вкратце из истории математики, связанной с алгебраическими уравнениями высших степеней. Само наше решение, формулы, их вывод и проверка с решением задач - практических кубических уравнений приведены в прикреплённых на моей странице ФБ файлах https://www.facebook.com/ssalihov/posts/1399753953406272