ДЛЯ КАКИХ ФАКТОРОВ ПРИМЕНИМО ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ
Цель данной работы – подчеркнуть неправомерность применения методов имитационного моделирования для некоторых экономических параметров на определённых интервалах исходных данных. Привычными инструментами имитационного, и, в частности, оптимизационного моделирования являются дифференцирование и интегрирование. При описании таких моделей авторы, без каких-либо обоснований и описательных объяснений целесообразности, подвергают изучаемые параметры дифференцированию или, обратному действию, интегрированию. Однако ещё многие современники И. Ньютона и Г.В. Лейбница признавали дифференциальное исчисление логически противоречивым и неточным. Например, по мнению математика Выгодского, одним из таких учёных является Мишель Ролль (1652 - 1719), который ещё в то далёкое время «не мог высказать» свои опровержения по указанному выше вопросу. Правда, Выгодский считал такой факт «естественным», хотя было бы полезнее для науки уже тогда уметь спорить с признанными в обществе учёными-теоретиками [1].
В наше время существует ряд исследователей в экономике, способных возражать общепринятым научным догмам. И среди них - академик Н.Я. Петраков, являющийся серьёзным критиком оптимизационного моделирования затратных балансовых экономических конструкций, доказывающий большую неточность и несостоятельность таких вычислений.
С точки зрения физических законов, производную функции можно представить, как постоянную скорость линейно движущегося объекта. Ньютон называл её «флюксией». Термин «производная» введён Л.Ф.А. Арбогастом в конце 18 века [1].
Вообще, как известно, производная функции y=f(x) является пределом отношения приращения функции ;y=y1 – y0 к приращению аргумента ;x=x1 – x0 при ;x, стремящемся к нулю. Учитывая, что dx = ;x – приращение аргумента x, дифференциалом функции y=f(x) принято называть выражение dy = y`dx.
Однако, это определение истинно лишь в том случае, если предел ;x существует. А искомый предел определяем далеко не для всех функций и не для каждого конкретного промежутка в декартовой системе координат, ограниченного двумя точками. Предел функции при x;a существует, если приближение к нему определено, что не всегда имеет место. Промежутком (интервалом) (a,b) называется совокупность чисел x, заключённых между числами a и b, так что a<x<b. Числа a и b - концы промежутка. Нередко к совокупности точек промежутка присоединяются концы a и b или один из концов. Промежуток, к которому присоединены оба конца, является замкнутым промежутком (или отрезком).
Чтобы правильно понимать смысл и цели дифференциального исчисления, уместно условно перефразировать его как разностное, так как термин «дифференциал» происходит от латинского определения differentia – разность.
Целью введения дифференциального исчисления было: 1) – отыскание касательной к произвольной кривой [хотя таких касательных может быть бесконечное множество, либо вообще могут отсутствовать касательные]; 2) – определение скорости при произвольном законе движения [однако, скорость приращения может быть переменной либо равняться нулю].
Сначала П. Ферма и Б. Паскаль, а за ними и И. Ньютон с Г.В. Лейбницем, ещё в XVII веке ставили цели и задачи дифференцирования. Стоит заметить, что именно в этот эпохальный рубеж истории развития математики в России указом Петра I введено новое летоисчисление – 1700 год от Рождества Христова вместо принятого ранее – 7208 года от Времён Адама, или от Сотворения Мира, согласно Христианской библии. Представляется, что такая смена летоисчислений не случайна и обусловлена математическими открытиями XVI века.
Ньютон и Лейбниц развили аппарат дифференциального исчисления и применили его к решению задач по геометрии и механике. Однако имел место недостаток, восполненный только в XIX веке. Не без весомого участия Эйлера, по дифференциальному исчислению накопился огромный материал, не достаточно разработанный в логическом отношении. Этот недостаток был устранён усилиями крупнейших учёных XIX века, таких, как О.Л. Коши во Франции, Н.И. Лобачевский в России, Н.Х. Абель в Норвегии, Г.Ф.Б. Риман в Германии и другие [1, с. 327].
В основе дифференциального исчисления находится термин предел функции; постулирующийся на следующем правиле: «Если переменные x и x` изменяются так, что разность x - x` бесконечно малая, то и разность f(x) - f`(x) тоже бесконечно малая». Однако указанный постулат является свойством исключительно «функций, непрерывных на замкнутом промежутке». Но выполнение условия о непрерывности не всегда приводит к дифференцируемости функции (по Лобачевскому). А при непрерывности функции в незамкнутом промежутке не вполне правомерно делать вывод об одном и том же направлении (тенденции) приращения аргумента и приращения функции.
Так, функция f(x) = 1/x непрерывна в промежутке (0, 1), лишённом конца x=0. А по определению, функция называется замкнутой и непрерывной на замкнутом промежутке, включая оба конца. Именно в этом примере возможно определение предела данной функции при x;0, так как определено приближение к пределу. Но функция f(x) = 1/x в промежутке (0, 1) незамкнута, и поэтому к ней не подходит свойство одинакового направления приращения аргумента и приращения функции, независимо от какой бы то ни было малейшей степени величины приращения аргумента. Здесь, кстати, важно подчеркнуть, что мельчайший размер приращения не играет никакой роли, а важно только направление этого изменения.
И действительно, если x и x` изменяются так, что x=2x, и x;0, то разность x - x` бесконечно малая, но разность - f(x) - f`(x)= 1/x - 1/2x=1/2x – бесконечно большая [1, с. 326.](рис. 1).
В математическом моделировании рассматриваются взаимосвязи различной направленности (тренда), которые возможно гомоморфно выразить путём построения соответствующих функций: убывающих, возрастающих, неубывающих, невозрастающих, периодических, переменной направленности и т.п. И среди таких функций, заимствованных или созданных на основе эмпирического материала, далеко не всякое приращение бесконечно малой величины аргумента x даёт изоморфное приращение самой функции.
В условиях новой экономической реальности, когда на Россию буквально ополчился всевозможными санкциями и ультиматумами западный мир, экономисты, политики, обыкновенные люди всё отчётливее замечают факты того, что ранее весьма привлекательные экономические модели запада буквально насквозь пронизаны «двойными стандартами».
Рассмотрим пример по экспериментальным данным (таб).
Таблица – Уточнённые границы подмножеств отношений функции y(n)=(n+1/n)
№ Наименование Границы подмножеств Рисунок Устойчивость
; Парные симметричные
аргументы n и 1/n 2,00 ; (n+1/n) ; 2,16
0,67 ; n ; 1,49
0,67 ; 1/n ; 1,49
Имеет место
; Переход к не симметричным
аргументам n и 1/n 2,17 ; (n+1/n) ; 2,34
[0,57 ; n ; 0,66] U [1,50 ; n ; 1,78]
[0,56 ; 1/n ; 0,67] U [1,52 ; 1/n ; 1,75]
Имеет место в меньшей степени, чем ;
; Критические границы
нелинейных подмножеств
аргументов n и 1/n 2,35 ; (n+1/n) ; 2,73
[0,44 ; n ; 0,56] U [1,79 ; n ; 2,30]
[0,43 ; 1/n ; 0,56] U [1,79 ; 1/n ; 2,27]
Имеет место в меньшей степени, чем ;
; Переход к линейным подмножествам
аргументов n и 1/n 2,74 ; (n+1/n) ; 3,14
[0,36 ; n ; 0,43] U [2,31 ; n ; 2,78]
[0,36 ; 1/n ; 0,43] U [2,33 ; 1/n ; 2,78]
Имеет место в меньшей степени, чем ;
; Линейные подмножества
аргументов n и 1/n (n+1/n) > 3,14
] n < 0,36 [ U ] n > 2,78 [
] 1/n < 0,36 [ U ] 1/n > 2,78 [
Отсутствует
Модель «Сумма прямого и обратного аргумента» y(n)=(n+1/n) – это составляющее дифференцирования логарифмической функции при основании e ; 2,71828 [3]:
e=lim;(n;;);;(1+1/n)^n,т.е.основание натурального логарифма;.
Данное соотношение прямого параметра n и обратного 1/n используется во многих фундаментальных формулах, в соотношениях по типичным распределениям, в известных и популярных формулах по проверке статистических гипотез. Оно значимо для биржевых котировок, характеризующихся прямым и обратным значением, для тарифов на электроэнергию, распространено при исследованиях результатов экспертных оценок.
Симметричными аргументами функции (n+1/n) являются такие, которые при одном и том же суммарном значении (n+1/n) приносят как минимум 2 отличающиеся значения, одно из которых менее 1, а другое – более 1. Например, при y(n) = (n+1/n) = 2,15 аргументы являются симметричными, так как существуют 2 симметричные значения: 0,68 < 1; 1,47 > 1. 2,16 – симметричная сумма с тремя параметрами n: 0,67 < 1; 1,48 > 1; 1,49 > 1.
Несимметричными аргументами функции (n+1/n) являются такие, при которых нет как минимум двух отличающихся значений, одно из которых менее 1, а другое – более 1. Например, аргументы функции с результатом 2,17 – несимметричные, так как получаются 2 отличающиеся значения, которые превышают 1, и нет ни одного значения n менее 1: n = 1,50 > 1; n = 1,51 > 1.
В табличной форме представлены границы подмножеств отношений условных параметров. Например, в границы перехода от симметричных парных аргументов до несимметричных на отрезке 2,17 ;(n+1/n); 2,34, входят следующие составляющие: [0,57 ; n ; 0,66] U [1,50 ; n ; 1,78]; [0,56 ; 1/n ; 0,67] U [1,52 ; 1/n ; 1,75]. При этом точка 1/n=0,67 по праву включена одновременно и в границы симметричных парных, и в границы перехода, так как она является составляющей как суммы «2,16», так и суммы «2,17» при заданной точности.
Небезынтересна медианная сумма границ перехода от симметричных к несимметричным суммам «2,25», где верхнее значение 1/n=1,64 совпадает со степенным результатом (n+1/n)^n=1,64 при обратном n. К тому же округлённый до сотых результат 1,64 напоминает общеизвестную величину: ;(;)=1,6487. При этом n = 0,61.
Входящая в границы «перехода» сумма «2,30» ассоциируется с соотношением результатов десятичных и натуральных логарифмов: 1/lge= ln;10=2,3025. Модуль перехода от натуральных к десятичным логарифмам:
М = lg e ; 0,43429 – присутствует в границах 4-го подмножества.
Если рассматривать десятичную систему измерения в целом, то определённые в данной работе границы подмножеств будут являться границами эндогенных подсистем с несколько отличающимися индивидуальными свойствами. Эти свойства отличаются по качеству так же, как свойства линейных, нелинейных, каких-либо иных функций.
Таким образом, подмножества по одной и той же элементарной модели на определённых числовых интервалах имеют качественные различия, и, следовательно, выводы на разных отрезках не могут быть сформированы по аналогии, к примеру, с подмножеством 1.
В экономических учебниках западных авторов иногда приводятся примеры моделей на определённых числовых отрезках. Подбираются такие значения, что на первый взгляд модель выглядит гармоничной и перспективной (рис. 2).
Но на практических данных из официальной статистики она оказывается «нежизнеспособной». Например, избранные временные ряды из одного модельного расчёта Нельсона-Уинтера (1909-1949) по выпуску в человеко-час представлены исключительно симметричными составляющими в диапазоне 0,66 ; 1,23, и одновременно прочие данные таблицы, в основном, не превышают 2,8 [4, с. 250]. Однако, многие исследователи давно согласны с тем, что на таких отрезках имеются своеобразные особенности вычислений, связанные с неевклидовым пространством.
Каждый современный студент или учёный стремятся отыскать такую функцию, которая наиболее достоверно отображает изучаемые экономические явления; но было бы странным вынуждать некоторые хозяйственные процессы следовать непременно по формулам математических законов.
Для более конкретных и аксиоматичных выводов по определению круга функций, для которых применимо дифференциальное исчисление в математическом моделировании, необходимы дальнейшие углублённые исследования.
На данном этапе изучения проблемы, можно сделать вывод о том, что функции, включающие в себя относительные показатели в незамкнутом промежутке (0,1), являясь по знаменателю «лишёнными конца» в виде нуля (на который нельзя делить), не подчиняются правилам определения предела функции. Это относится к утверждению о равнонаправленном приращении аргумента x и функции f(x). Поэтому к таким факторам, которые отражаются на промежутке (0,1) или в окрестностях значений (1,2), являющихся зеркальными к первому множеству, неприменимо классическое дифференцирование. Исходные данные, сформированные в указанных пределах, в силу математических законов, располагаются в нелинейных последовательностях. И сглаживание их, путём арифметических манипуляций, даёт неправильные, неточные результаты. К тому же, именно в указанных множествах на каждое равное приращение аргумента, значение функции преобразуется с изменяющейся скоростью.
Следует здесь же отметить, что обозначенные промежутки далеко не единственны в арабском исчислении, а повторяются путём умножения их же на каждое круглое число, начинающееся на единицу и содержащее чётное количество нулей. Например, 100, 10000, 1000000 и т.д. В то время как прочие округлённые множители с единицей не дают аналогичного эффекта. Объяснения этому возможно найти при сопоставлении изменения обозначенных функций с типичным Марковским процессом, с той лишь разницей, что в нашем примере речь идёт об устойчивости или неустойчивости данных в конкретном отрезке. А совсем не в смысле процессов гибели и размножения, описывающихся Марковской непрерывной цепью. Ещё понимание об этом процессе возможно найти в таком физическом явлении, как скольжение [2, с. 352], хотя это понятие отчего-то не нашло место в объяснении экономических явлений, в отличие от иных хитростных переносов из физики в экономику.
Вот почему интерпретация нелинейных функций с помощью сглаживания и дифференцирования имеет весьма высокий риск формирования противоположных и далёких от истинного положения выводов по направлению моделируемых и определяемых тенденций.
Стоит отметить, что сам аппарат дифференциального исчисления весьма перспективен и привлекателен. Представляется, что на числовых интервалах, не касающихся трансцендентного значения е (2,7…) вместе с его окрестностями, а также вместе с окрестностями этого же логарифмического феномена е, в сто-, в десять тысяч-, в миллион-кратном увеличении, математическое моделирование способно достаточно точно отображать экономическую реальность.
При этом такой фактор, как курс валют, всё-таки не годится для имитационного моделирования, так как исследования динамики курса валюты без её обратной величины (т.е. курса другой стороны) не может быть полноценным и точным, в силу математических законов. А обратная величина курса, как правило, выпадает на промежуток (0,1) или окрестности единицы. Курс любой валюты можно сравнить с айсбергом, неизвестная (обратная) часть которого «опасна» для всей экономики своей непредсказуемостью.
Таким образом, имитационное моделирование в экономике с применением дифференцирования может быть лучше всего пригодно для абсолютных показателей с монотонными линейными трендами.
Именно для таких моделей действительна аксиома о равнонаправленном приращении аргумента и функции. В российской экономической науке эти методы и модели весьма распространены, и возможно привести множество примеров адекватного моделирования.
Хочется отметить в этой связи, что академик РАН Н.Я. Петраков, одним из немногих, первым смело высказывает критику в адрес принципов и методологии оптимизационного моделирования, подчёркивая, к примеру, что «экономический рост» и «устойчивость» - не являются тождественными: «Однако, во-первых, появление в числе задач, которые призвана решать система, такого фактора, как устойчивость, определяется не субъективными желаниями исследователя, а объективными закономерностями функционирования сложных хозяйственных систем … Во-вторых, удобство детерминированной модели использования ресурсов на самом деле является мнимым, так как по существу не соответствует реальной практике управления народным хозяйством.» [5, с. 211].
Литература
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.:Астрель, 2006.
Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределённости, М.: Наука. Физматлит, 352 с., 1997.
Наринян Н.Е. Системный подход к границам подмножеств / Материалы семнадцатого всероссийского симпозиума «Стратегическое планирование и развитие предприятия», М.: ЦЭМИ РАН, 2016.
Нельсон Р.Р., Уинтер С.Дж. Эволюционная теория экономических изменений / перевод с английского Каждана М.Я., научный редактор Макаров В.Л., М.: ЗАО «Финстатинформ» 2000.
Петраков Н.Я. Управление экономикой в условиях неопределённости (1985г.) / Избранное: Т. 1. М.; СПб. Нестор-История, 2012. – 368 с.
Работа опубликована в сборнике трудов Международной научно-практической конференции «Итоги рыночных реформ и будущее России», приуроченной к 80-летию академика Н.Я. Петракова 01 марта 2017 года.