СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГРУППИРОВКА ПРОСТЫХ И СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ,
НЕ ПРЕВЫШАЮЩИХ 10000
Верх рабства – считать себя
свободным, таковым не являясь.
Гёте
А ты, пожалуй, приходи.
Ты лучше всех усвоил, Саша,
Что «десять» - это «ноль» с «один»,
Где единица – секретарша!
Новиков А.В.
Изучение распределения простых и составных чисел в общей совокупности последовательных целых чисел очень интересно и увлекательно. Кроме того, эта тематика способна прояснить некоторые вопросы об истоках многих институциональных проблем.
Но, приступая к такому исследованию, необходимо учитывать разрядность последовательных чисел. Представляется, что, к примеру, трёхразрядные и четырёхразрядные числа характеризуются индивидуальными особенностями как по содержанию в таких подгруппах простых и составных, так и по свойствам измерения.
Удобным и приемлемым способом статистического анализа является группировка, а также многомерный статистический анализ. Системный анализ может быть применимым при всестороннем выявлении свойств определённого отрезка последовательности, в зависимости от количества на этом интервале простых и составных чисел.
Сейчас в Интернет существует много различных сайтов, так называемых генераторов чисел, которые позволяют достаточно быстро определить принадлежность любого многозначного целого числа к простым или составным, помогают найти число делителей. Однако, возможно вычислить количество делителей (a) в уме, обращаясь к каноническому разложению числа на простые делители (pnsn):
a = p1s1 * p2s2 * … * pnsn = (s1 +1)*(s2 + 1)* … * (sn + 1). (1)
Например, 2016=25*32*7; s1=5; s2=2; s3=1; (5+1)*(2+1)*(1+1)=6*3*2=36.
В данной работе рассматриваются простые и составные от 1 до 10000. Как правило, статистическая выборка предполагает, что анализируемые данные случайные. Про число простых и составных такого утверждать заведомо нельзя. Однако, чтобы прибегнуть к удобному статистическому аппарату исследования, возможно, с оговорками, сделать такое допущение. Выборка может быть 100%-ной, и тогда она является сплошным наблюдением.
Первоначально была осуществлена выборка с небольшими группами – по 70 чисел, умещающихся на стандартном листе А4 альбомной формы. Всего была сформирована 141 группа. Но такая группировка оказалась слишком громоздкой и рутинной (таб. 1).
Следует отметить, что более мелкая группировка по-своему важна, так как к ней приходится обращаться при намерении увидеть некоторые тонкие детали, проясняющие закономерности взаимовлияния простых и составных в конкретной группе.
В то время, как на отрезке от 1 до 10000 наблюдение за простыми и составными является сплошным, то для всей совокупности последовательных целых чисел данное изучение уже будет являться выборочным.
Таблица 1 - Группировка простых и составных чисел, не превышающих 10000.
j Cj-1 ; x ; Cj Xj0 Vpj0 Vsj0 V32j0 V36j0 V48j0 V30j0 V40j0 V42j0 V60j0 V64j0 V50j0 V46j0
1 1 ; x ; 69 35 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 70 ; x ; 140 105 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 141 ; x ; 211 176 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 212 ; x ; 282 247 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 283 ; x ; 353 318 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 354 ; x ; 424 389 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 425 ; x ; 495 460 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 496 ; x ; 566 531 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 567 ; x ; 637 602 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10 638 ; x ; 708 673 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
11 709 ; x ; 779 744 11 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
12 780 ; x ; 850 815 9 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
13 851 ; x ; 921 886 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
14 922 ; x ; 992 957 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
15 993 ; x ; 1063 1028 12 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
16 1064 ; x ; 1134 1099 10 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
17 1135 ; x ; 1205 1170 8 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
18 1206 ; x ; 1276 1241 8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
19 1277 ; x ; 1347 1312 12 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
20 1348 ; x ; 1418 1383 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
21 1419 ; x ; 1489 1454 14 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
22 1490 ; x ; 1560 1525 9 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
23 1561 ; x ; 1631 1596 12 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0
24 1632 ; x ; 1702 1667 8 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
25 1703 ; x ; 1773 1738 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
26 1774 ; x ; 1844 1809 8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
27 1845 ; x ; 1915 1880 11 3 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0
28 1916 ; x ; 1986 1951 6 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
29 1987 ; x ; 2057 2022 11 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
30 2058 ; x ; 2128 2093 9 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
31 2129 ; x ; 2199 2164 8 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
32 2200 ; x ; 2270 2235 10 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
33 2271 ; x ; 2341 2306 10 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0
34 2342 ; x ; 2412 2377 11 3 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
35 2413 ; x ; 2483 2448 9 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
36 2484 ; x ; 2554 2519 7 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
37 2555 ; x ; 2625 2590 7 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
38 2626 ; x ; 2696 2661 11 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
39 2697 ; x ; 2767 2732 11 4 2 1 0 1 0 0 0 0 0 0
40 2768 ; x ; 2838 2803 9 3 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
41 2839 ; x ; 2909 2874 9 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
42 2910 ; x ; 2980 2945 8 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
43 2981 ; x ; 3051 3016 8 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
44 3052 ; x ; 3122 3087 8 3 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
45 3123 ; x ; 3193 3158 7 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
46 3194 ; x ; 3264 3229 9 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
47 3265 ; x ; 3335 3300 9 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0
48 3336 ; x ; 3406 3371 8 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
49 3407 ; x ; 3477 3442 9 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0
50 3478 ; x ; 3548 3513 10 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0
51 3549 ; x ; 3619 3584 9 3 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
52 3620 ; x ; 3690 3655 8 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
53 3691 ; x ; 3761 3726 9 3 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
54 3762 ; x ; 3832 3797 8 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
55 3833 ; x ; 3903 3868 8 4 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0
56 3904 ; x ; 3974 3939 10 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
57 3975 ; x ; 4045 4010 8 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
58 4046 ; x ; 4116 4081 9 3 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
59 4117 ; x ; 4187 4152 8 3 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
60 4188 ; x ; 4258 4223 9 3 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0
61 4259 ; x ; 4329 4294 8 3 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
62 4330 ; x ; 4400 4365 8 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
63 4401 ; x ; 4471 4436 8 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
64 4472 ; x ; 4542 4507 8 4 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0
65 4543 ; x ; 4613 4578 8 3 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
66 4614 ; x ; 4684 4649 10 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0
67 4685 ; x ; 4755 4720 7 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
68 4756 ; x ; 4826 4791 9 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
69 4827 ; x ; 4897 4862 5 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0
70 4898 ; x ; 4968 4933 10 4 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0
71 4969 ; x ; 5039 5004 11 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
72 5040 ; x ; 5110 5075 8 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
73 5111 ; x ; 5181 5146 7 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0
74 5182 ; x ; 5252 5217 7 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
75 5253 ; x ; 5323 5288 8 4 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0
76 5324 ; x ; 5394 5359 6 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
77 5395 ; x ; 5465 5430 10 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0
78 5466 ; x ; 5536 5501 11 3 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0
79 5537 ; x ; 5607 5572 6 3 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0
80 5608 ; x ; 5678 5643 9 4 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0
81 5679 ; x ; 5749 5714 10 3 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
82 5750 ; x ; 5820 5785 6 3 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
83 5821 ; x ; 5891 5856 12 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
84 5892 ; x ; 5962 5927 6 3 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0
85 5963 ; x ; 6033 5998 5 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
86 6034 ; x ; 6104 6069 10 3 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0
87 6105 ; x ; 6175 6140 8 3 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0
88 6176 ; x ; 6246 6211 7 4 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0
89 6247 ; x ; 6317 6282 11 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
90 6318 ; x ; 6388 6353 10 3 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
91 6389 ; x ; 6459 6424 6 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
92 6460 ; x ; 6530 6495 6 4 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0
93 6531 ; x ; 6601 6566 9 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0
94 6602 ; x ; 6672 6637 6 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
95 6673 ; x ; 6743 6708 10 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
96 6744 ; x ; 6814 6779 7 4 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0
97 6815 ; x ; 6885 6850 10 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
98 6886 ; x ; 6956 6921 6 4 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0
99 6957 ; x ; 7027 6992 12 3 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
100 7028 ; x ; 7098 7063 5 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1
101 7099 ; x ; 7169 7134 7 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
102 7170 ; x ; 7240 7205 9 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
103 7241 ; x ; 7311 7276 7 4 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0
104 7312 ; x ; 7382 7347 6 4 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0
105 7383 ; x ; 7453 7418 5 4 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
106 7454 ; x ; 7524 7489 10 4 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0
107 7525 ; x ; 7595 7560 12 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
108 7596 ; x ; 7666 7631 6 5 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0
109 7667 ; x ; 7737 7702 10 4 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0
110 7738 ; x ; 7808 7773 6 5 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0
111 7809 ; x ; 7879 7844 9 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0
112 7880 ; x ; 7950 7915 8 3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
113 7951 ; x ; 8021 7986 6 4 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0
114 8022 ; x ; 8092 8057 7 2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
115 8093 ; x ; 8163 8128 7 4 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0
116 8164 ; x ; 8234 8199 9 3 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
117 8235 ; x ; 8305 8270 9 2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
118 8306 ; x ; 8376 8341 6 5 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0
119 8377 ; x ; 8447 8412 9 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
120 8448 ; x ; 8518 8483 4 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0
121 8519 ; x ; 8589 8554 8 4 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
122 8590 ; x ; 8660 8625 8 3 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
123 8661 ; x ; 8731 8696 11 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0
124 8732 ; x ; 8802 8767 7 5 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0
125 8803 ; x ; 8873 8838 11 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
126 8874 ; x ; 8944 8909 6 5 1 2 0 0 2 0 0 0 0 0
127 8945 ; x ; 9015 8980 9 4 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0
128 9016 ; x ; 9086 9051 6 3 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0
129 9087 ; x ; 9157 9122 8 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
130 9158 ; x ; 9228 9193 9 3 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
131 9229 ; x ; 9299 9264 7 3 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
132 9300 ; x ; 9370 9335 7 3 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0
133 9371 ; x ; 9441 9406 12 3 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
134 9442 ; x ; 9512 9477 8 3 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0
135 9513 ; x ; 9583 9548 5 4 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0
136 9584 ; x ; 9654 9619 9 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
137 9655 ; x ; 9725 9690 7 6 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0
138 9726 ; x ; 9796 9761 9 4 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0
139 9797 ; x ; 9867 9832 9 4 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0
140 9868 ; x ; 9938 9903 8 5 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0
141 9939 ; x ; 10000 9974 4 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0
Итого: 1230 356 128 77 45 42 36 7 4 2 2 1
В табличной форме представлены первоначальные результаты группировки простых и составных чисел, не превышающих 10000, со следующими обозначениями: j – номер группы; Cj-1 ; x ; Cj – интервал последовательных натуральных чисел в группе с включёнными в неё простыми числами, однозначно ограниченный минимальным и максимальным значением для каждой группы; Xj0 – середины интервалов; V1+…+ Vix - количество выборочных данных в группе по простым и составным числам.
Рис. 1 – Результаты группировки простых (верхняя кривая) и составных (нижняя кривая).
При этом сделано условное допущение о том, что число выборочных данных Vj - количество простых Vpj и составных Vsj чисел в отдельной группе, является случайной величиной. Это число можно, скорее, считать, как непрерывную случайную величину, с оговоркой об условности.
С помощью графиков группировки простых и составных легко увидеть, что на начальном отрезке выборки составные практически отсутствуют. Однако, именно в таких группах заметно преобладание простых чисел. Но такой факт наблюдается, в основном, исключительно по трёхзначным числам, т.е. с априорно отличающимися свойствами (рис. 1, рис. 2, рис. 3).
Рис. 2 – Результаты группировки простых Vp (верхняя кривая), составных в общей сумме Vs (вторая сверху кривая), отдельных составных V32, V36, V48 и т.д., включённых в сумму Vs (нижние кривые).
Составные рассматриваются с числом делителей не менее 30 (30, 32, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 45, 46, 48, 50, 54, 56, 60, 64) в общей суммарной совокупности.
В дальнейшем полезно изучить распределение каждого составного числа по отдельности, применяя методы системного и многомерного статистического анализа (МСА). При таком изучении число каждого отдельного составного может быть рассмотрено как отдельный признак конкретной группы в выборке. Это должно усовершенствовать процесс моделирования крупномасштабных экономико-математических и социальных систем, так как выявлены заметные различия в свойствах чисел на различных отрезках последовательностей (Наринян, 2014, 2015).
Пока что трудно сделать вычисления о количестве простых и составных на других отрезках, не рассматриваемых в данной работе. Но уже на этом начальном этапе заметно, что количество простых и составных подчинено циклическому, а не прямолинейному тренду.
Рис. 3 – Результаты группировки отдельных составных V32, V36, V48 и т.д., включённых в сумму Vs , с числом делителей не менее 30.
Более того, общая сумма количества простых и составных (с делителями не менее 30) в каждой подгруппе стремится к константе, обнаруживая при этом небольшое колебание, как бы в «коридоре» между двумя ограничивающими значениями (рис. 4, рис. 7).
Вообще, траектории количества простых и составных заметно корреспондируют в соответствующих подгруппах.
Рис. 4 – Результаты группировки простых и составных, выраженных их суммарным количеством.
Укрупнённая группировка и анализ сплошной выборки произведены на основе рекомендаций по прикладной математической статистике (Айвазян, Мхитарян, 2001).
В итоге были сформированы 14 групп (S), согласно формуле:
S = log2n +1 = log210000+1 = 14,24 ; 14. (2)
Ширина интервала группирования (;) также вычисляется по формуле:
;= (X max – X min) / S = (10000-1) /14=9999/14 ; 708. (3)
Таблица 2 – Укрупнённая группировка простых и составных чисел, не превышающих 10000.
Vpj0 Vsj0 V32j0 V36j0 V48j0 V30j0 V40j0 V42j0 V60j0 V56j0 V54j0 V64j0 V50j0 V45j0 V46j0 V33j0
1 127 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 97 7 3 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 96 15 6 5 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 93 21 9 4 1 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 85 23 9 8 1 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0
6 86 26 9 4 3 6 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0
7 81 29 11 6 3 3 4 1 0 0 1 0 0 0 0 0
8 83 28 9 8 4 2 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0
9 85 29 9 3 6 4 4 1 0 1 1 0 0 0 0 0
10 77 30 11 7 5 2 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0
11 78 38 12 10 3 4 6 1 0 0 1 1 0 0 0 0
12 74 32 12 6 6 3 2 0 2 0 0 0 0 1 0 0
13 83 37 13 8 6 3 3 0 0 1 1 0 1 0 0 1
14 85 41 15 7 7 3 4 2 1 0 0 1 0 0 0 0
1230 356 128 77 45 42 36 7 4 3 4 2 2 2 1 1
Таким образом, сформированы группы с учётом количества входящих в них простых и составных чисел, не превышающих 10000 (таб.2, рис. 5, рис. 6, рис. 7).
Рис. 5 – Результаты укрупнённой группировки простых (верхняя кривая); составных с числом делителей не менее 30, в общей сумме, (вторая сверху кривая); отдельных составных (нижние кривые).
Как уже отмечено, простые числа на изучаемом интервале учтены все полностью. Составные же рассматриваются на этом отрезке работы только такие, число делителей которых не менее 30. При этом принимается в расчёт суммарное количество составных для анализа влияния на данную группу. С другой стороны, небезынтересно изучение и динамики каждого отдельного составного.
Рис. 6 – Результаты укрупнённой группировки отдельных составных V32, V36, V48 и т.д., включённых в сумму Vs,с числом делителей не менее 30.
В дальнейшей работе по данной тематике планируется более подробно изучить свойства отрезков генеральной совокупности в тех подгруппах, где количество простых и составных отличается от типичного значения. Например, на начальном интервале (максимум простых и минимум составных) и в окрестностях 7000 (минимум простых и максимум составных). На более приближающихся к 10000 группах количество составных с большим числом делителей растёт, но оно также стремится к цикличности, достигая конкретных значений.
Рис. 7 – Результаты укрупнённой группировки простых и составных, выраженных суммарным количеством.
Результаты укрупнённой группировки простых и составных чисел, с учётом функции плотности вероятности, даны в таблице 3 с обозначениями: j – номер группы; Cj-1 ; x ; Cj – интервал последовательных чисел в группе; Xj0 – середины интервалов; [;p(n)(x)]*107 – выборочная (эмпирическая) функция плотности вероятности, увеличенная в 107 раз для возможности оценить её графически по каждой группе (по простым числам); [;s(n)(x)]*107 – по составным числам; V1+…+ Vix - количество выборочных данных по простым числам; ;p(n)(x) – выборочная (эмпирическая) функция распределения по простым.
Таблица 3. – Укрупнённая группировка простых и составных, не превышающих 10000, с учётом выборочной функции плотности вероятности.
j Cj-1 ; x ; Cj Xj0
;p(n)(x)
V1+…+ Vix [;p(n)(x)]*107 [;s(n)(x)]*107
1 ; x ; 708 355 0,00 0 1458 0
2 709 ; x ; 1418 1064 0,11 127 1114 278
3 1419 ; x ; 2128 1774 0,19 224 1102 595
4 2129 ; x ; 2838 2484 0,26 320 1068 833
5 2839 ; x ; 3548 3194 0,34 413 976 913
6 3549 ; x ; 4258 3904 0,41 498 988 1032
7 4259 ; x ; 4968 4614 0,48 584 930 1151
8 4969 ; x ; 5678 5324 0,54 665 953 1111
9 5679 ; x ; 6388 6034 0,61 748 976 1151
10 6389 ; x ; 7098 6744 0,68 833 884 1190
11 7099 ; x ; 7808 7454 0,74 910 896 1508
12 7809 ; x ; 8518 8164 0,81 988 850 1270
13 8519 ; x ; 9228 8874 0,87 1062 953 1468
14 9229 ; x ; 10000 9615 0,93 1145 976 1627
1,00 1230
На примере отрезка целочисленных данных от 1 до 10000 сделан вывод о том, что плотность простых чисел в генеральной совокупности нельзя назвать ни убывающей, ни возрастающей. В подгруппах 5, 9, 14 и 8, 13 обнаружены одинаковые результаты плотности распределения простых (соответственно 976 и 953), что позволяет сделать предположение о цикличности распределения простых чисел.
Рис. 8 - Эмпирическая плотность распределения простых ; и составных ; чисел.
В подгруппах 7 и 9 обнаружены одинаковые значения по составным (1151), также определяемых, скорее, как циклический тренд (таб. 3, рис. 8). Плотность распределения составных чисел заметно корреспондирует с плотностью распределения простых.
Интересно было бы рассматривать каждое составляющее как обособленный фактор. Но даже без соответствующих подготовительных вычислений понятно, что такие отдельные «факторы» заметно коррелировали между собой. А это могло бы быть препятствием включать такие регрессоры в одну модель.
Обращает на себя внимание, что сегодня наряду с открытиями огромных, невозможных для представления человеческим мозгом чисел Мерсенна (Карасёв, 2016), есть белые пятна в теории измерений на сравнительно узких целочисленных отрезках от 1 до 10000, и эти пробелы в знаниях целесообразно, как можно скорее, прояснить.
Изучением взаимовлияния на различных отрезках простых и составных и будет в дальнейшем продолжено данное исследование. Понимание закономерностей распределения простых и составных чисел позволяет учитывать это в современном моделировании реальных процессов. При этом в программы по моделированию полезно встроить поправки с учётом выявленных закономерностей. Все изученные последовательности в данной работе правомерно рассматривать как нули с 4 знаками после «,».
Продолжением данного исследования может быть также рассмотрение прочих составных, т.е. с числом делителей менее 30, но не менее, к примеру, 4. Весьма интересно вычислить их количество в каждой подгруппе и сравнить с числом простых и составных с высоким числом делителей.
Согласно графическим данным, возможно утверждать, что начальные интервалы группировки довольно «скучны», так как содержат ничтожное количество составных с весомым числом делителей. И поэтому для составления гороскопов древности такие группы были бы пригодны менее всего.
Известно такое экономическое, но в большей степени физическое явление, как скольжение. Оно характерно для определённых числовых отрезков, и отличается тем, что последовательные изменения чисел как-бы затормаживаются, «скользя» при этом в последовательности. Полезно было бы в будущем изучить по подгруппам влияние количества простых и составных чисел на такой нестандартный и эффективный процесс, как «скольжение».
Распределение простых и составных как тема тесно переплетена и связана логически с известной Гипотезой Римана, которая на 2015 уже отвергнута; в знаменитой формуле найдены нетривиальные нули без «вещественной части, равной 1/2» при определённых значениях комплексной степени s (Наринян, 2015).
Отличающиеся точными нулями значения характеризуются минимальностью или полным отсутствием такого физического свойства в последовательностях от 0 до 1 как «скольжение» (Емельянов, Коровин, 1997). Согласно эвристическим рассуждениям Емельянова С.В. и Коровина С.К., а также, учитывая строгий анализ динамики системы по теории Филиппова А.Ю. в скользящем режиме, «введение в обратную связь разрывного статического элемента… наделяет замкнутую систему управления новыми качествами:
- асимптотической устойчивостью при пониженных по сравнению с линейной обратной связью, требованиях к объёму информации;
- понижением порядка уравнения движения для всех траекторий, кроме асимптот;
- нечувствительностью к вариациям параметров объекта и к действию внешней силы;
- прочностью по отношению к сингулярным возмущениям».
Изучение распределения простых и составных чисел в их взаимосвязи способна также пролить свет на некоторые неясности и неточности в истории, связанные с указанием в исторических документах дат различных летоисчислений (таб.4).
Таблица 4 - Период времени от «Сотворения Мира» до Рождения Христа в годах
№ п/п Название Системы Летоисчисления Длительность периода до Рождества Христова, годы до н.э. Число делителей «периода» до целого
1. Византийский (Православный) календарь, Константинопольская версия календаря 5508 30
2. Еврейский календарь (З. Ситчин) 3760 20
3. Календарь Кальвизия Сетуса 3950 12
4. Календарь Ашшера (Еврейский) 4004 24
5. Датировка Феофила, Антиохийская 5969 4
6. Датировка 70-ти Толковников 5872 10
7. Датировка Августина 5551 8
8. Датировки Феофила 5515; 5507 4; 2
9. Датировка Ипполита Секста Юлия Африканского 5500 24
10. Датировки по эре Анниана, Александрийская версия 5493; 5472; 5624 4; 36; 16
11. Датировка Евсевия Кесарийского 5199 4
12. Иудейская датировка 3761 2
13. Датировка Иеронима 3491 2
14. Ниппурский календарь 3800 24
15. Исламский календарь 578 н.э.; 622 н.э. - -
16. Версии датировок В.К. Монастырского 3110; 3116 8; 12
Известно, что дата «Сотворения Мира» варьируется в разных документах с не совпадающими периодами. Существует более 200 версий длительности периода от времён Адама (или «Сотворения Мира») до Рождества Христова. Историки также ориентируются при временном сопоставлении событий на библейский период «от Адама до Потопа», по различным версиям длящегося 2262 или 2242 года. В исследованиях древности популярно принимать в расчёт переход на современный счёт времени в Древнем Египте (2781г. до н.э.), в Месопотамии, Кише и Уре (2740г. до н.э.), в Уруке (2689г. до н.э.). Небезынтересно рассмотрение и анализ основных популярных Систем Летоисчисления, по отличающимся версиям, с учётом числа делителей периода от «Сотворения Мира» до Рождества Христова (Монастырский, 2013).
Литература
Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 270 с.
Дербишир Д. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. – Династия, 2002.
Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределённости, М.: Наука. Физматлит, 352 с., 1997.
Карасёв С. Найдено самое большое из известных простых чисел. – Slashgear.com, 2016.
Монастырский В.К. «Фальшивая и реальная хронология в летописи «Сказание о Словене и Русе и городе Словенске», Краснодар, 2013. – материал Интернет.
Наринян Н.Е. Тайны простых чисел / Сборник научных трудов «Теория и практика институциональных преобразований в России» под ред. Б.А. Ерзнкяна, Вып. 31. – М.: ЦЭМИ РАН, 2015, с. 148.
Наринян Н.Е. Междисциплинарные вопросы о системах летоисчисления. / Сборник научных трудов материалов Периодического научного Семинара на регулярной основе "Междисциплинарность в современном социально-экономическом и гуманитарном знании" под общей редакцией чл.-корр. РАН Г.Б. Клейнера. Семинар № 1 от 16 декабря 2015г. - Ростов-на-Дону, Издательство Южного Федерального Университета (ЮФУ), 2015.
Наринян Н.Е. Учёт плотности распределения простых и составных чисел как прогрессивный шаг на пути моделирования и прогнозирования реальных процессов / Материалы Семнадцатого всероссийского симпозиума «Стратегическое планирование и развитие предприятий» под ред. Г.Б. Клейнера, – М.: ЦЭМИ РАН, 2016.
Наринян Н.Е. Моделирование реальных процессов с учётом плотности распределения простых и составных чисел. / материалы IX-й Международной школы-семинара по многомерному статистическому анализу и эконометрике, г. Цхакадзор, 2016.
Информация о числах. – Интернет, AboutNumber.ru, 2015-2016.
Статья опубликована в сборнике трудов "Теория и практика институциональных преобразований" Выпуск 35, Москва, 2016