2б. Подготовка равенства. Окончание
Лемма 4°является одним из двух инструментов, обеспечивающих бесконечное самовозрастание окончаний чисел А, В, С в равенстве Ферма. Она гласит:
4°) Цифра A^n_(k+1) однозначно определяется окончанием A_[k] (простое следствие из бинома Ньютона). Из этого следует, что окончания a^n_[2], (a^{n^2})_[3] и т.д. не зависят от цифры a'' и тем более от последующих цифр основания! Возможно, ее следует считать Средней теоремой Ферма.
Для k=1 она представляет собой интерпретацию разложения бинома Ньютона (dn+A')^n для числа А, записанного в виде А=dn+A', где в цифровой записи n=10: А=Вn^2+A'^n. А вторая цифра А'' основания А проявит себя лишь в третьей цифре степени А^n. В этот момент, пока вторая цифра А'' не принимает участия в формировании второй цифры степени (А^n)'', последняя цифра с помощью простейших свойств равенства Ферма и успевают наворотить кучу дел! А именно: она успевает превратиться из А' в «цифру»... (А^n)'', которая при возведении в n-ю степень ОДНОЗНАЧНО определяет еще и третью цифру – (А^{nn})'''! И вот эта «карусель» оказывается БЕСКОНЕЧНОЙ! Но это впереди, а пока мы не спеша распишем степенные окончания чисел. Для облегчения чтения формул надо иметь в виду, что они симметричны относительно чисел А, В, С: что верно для А, то верно и для В и С. Но ради соблюдения формальности я выписываю формулы для каждого из чисел А, В, С.
Итак, на старте (то есть в первом цикле – I, см. ниже), при k=2 (см. 3°) мы имеем:
5a-I°) A_[2]=(a^n)_[2]=(a'^n)_[2], B_[2]=b^n_[2]=(b'^n)_[2], C_[2]=c^n_[2]=(c'^n)_[2]; и
P_[2]=(a'^{(n-1)n})_[2]=1 (с p'=(a^{n-1})_[1]=1); Q_[2]=b'^({(n-1)n})_[2]=1
(с q'=(b^{n-1})_[1]=1); R_[2]=(c'^{(n-1)n})_[2]=1 (с r'=(c^{n-1})_[1]=1); => (см. 4°) =>
5b-I°) (A^n)_[3]=(a'^{nn})_[3] (=(a'^{n^k})_[3], т.е. k=2), (B^n)_[3]=(b'^{nn})_[3] ; (C^n)_[3]=(c'^{nn})_[3]; => (см. 1°-2°) =>
5c-I°) (a^{nn})_[3]={(c^{nn})_[3]-(b^{nn})_[3]}_[3], откуда (см. формулы разложения и 2°):
5d-I°) (a^{nn})_[3]=[{(c^n)_[3]-(b^n)_[3])}_[3]*{P_[3]}]_[3] и
(c^{nn}_[3]-b^{nn}_[3])_[3]={(c^n_[3]-b^n_[3])*p^n_[3]}_[3], где
P_[2]=(a^{(n-1)n})_[2]=1.
Еще раз: двузначное окончание A^n_[2] полностью определяется последней цифрой A'. Но если двузначное окончание A_[2] самого числа А есть окончание n-й степени, например числа a^n_[2], то A^n_[2] однозначно определяет и A^n_[3].
Наконец, мы переходим к ключевой (для третьего доказательства) лемме, которая (в качестве однго из двух инструментов) определила бесконечное САМОВЫЧИСЛЕНИЕ всех цифр в степенях A^n, B^n, C^n, исходя лишь из последних цифр A', B', C' оснований A, B, C, причем вообще не затрагивая вторых цифр.
6°) Лемма. Каждый простой делитель сомножителя R бинома
A^{n^k}+B^{n^k}=(A^{n^(k-1)}+B^{n^(k-1)})R, где k>1, числа A и B взаимно простые и число A+B не кратно простому n>2, имеет вид: m=dn^k+1.
Эта лемма интересна тем, что ее доказательство использует теорему о НОД двух степенных биномов с одинаковыми основаниями, которая, в свою очередь, доказывается с помощью линейных диофантовых уравнений. И вот это обстоятельнство наводит на мысль, что П.Ферма нашел именно это доказательство. Весьма вероятно, что приоритет в доказательстве этой леммы принадлежит (после П.Ферма) мне – в противном случае ВТФ была бы доказана давным давно. (Доказательство было опубликовано здесь: http://www.mathforum.ru/forum/read/1/20535/page/63/ и /65/).
Вот, собственно, и вся картина равенства Ферма перед фантастической битвой с неведомыми силами за поиск КЛЮЧА – доказательства равенства p[2]=q[2]=r[2]=1.