Урок геометрии
Максимка учится в третьем классе, а его дедушка нигде не учится и не работает, он пенсионер. Когда Максимка приходит из школы, дедушка кормит его обедом и расспрашивает о том, что было в школе.
- Сегодня - рассказывает Максимка – мы на уроке математики изучали разные геометрические фигуры.
- Ну и какие фигуры ты теперь знаешь?
- Треугольник, квадрат, круг.
- А знаешь, почему эти фигуры называются геометрическими?
- Нет, учительница нам этого не рассказывала.
- Они называются геометрическими, потому что их свойства изучает наука геометрия. Греческое слово "геометрия" состоит из двух слов: "гео" — «земля» и ''метрио" — "мерю", таким образом, в переводе это слово означает «землемерие». Ведь на поверхности земли все время приходится проводить измерения для того, чтобы ограничить участки, например для посевов, строительства дома, создания стадионов. Границы участков могут иметь вид квадратов, треугольников, окружностей. В древней Греции в городе Афины жил знаменитый философ Платон. Он основал школу, которая называлась «Академия» в честь древнегреческого героя Академа, и над входом в школу висел плакат «Негеометр – да не войдет».
- Дед, я знаю, Греция это такая страна, а почему она древняя, и чем занимается философ?
- Максимка, ты хорошо считаешь, а можешь ты досчитать до тысячи? Можешь. А дальше считать можешь?
- Нет, как считать дальше?
- Очень просто. Нужно считать также как до тысячи, только начинать с тысячи. Например, тысяча один, тысяча два … и так можно досчитать и до двух тысяч и до трех тысяч, только когда дойдешь до двух тысяч начинать надо так: две тысячи один и дальше и дальше и дальше. Так вот если ты досчитаешь до двух тысяч пятисот, это будет число лет, которое прошло с тех пор как в Греции жил философ Платон. Две с половиной тысячи лет - это очень много, тогда люди не знали, как устроен мир. У них не было приборов для наблюдения планет и звезд. Они думали, что вся вселенная вертится вокруг Земли. Не могли они знать, из чего состоит земля, что вода состоит из атомов кислорода и водорода. Что огонь возникает из взаимодействия кислорода с веществом. Да и что такое атомы они не знали. Но тот же Платон догадывался, что все вещества состоят из каких-то маленьких частиц, о которых мы поговорим позже.
И все-таки некоторые люди уже тогда пытались понять и объяснить, как все устроено вокруг них. Эти люди назывались философы. В переводе с греческого языка, слово философ означает любящий мудрость.
- Дед, а почему философы изучали геометрию?
- Платон сводил все, что окружало людей – землю, воздух, огонь, воду - к геометрическим фигурам в виде многогранников. Он рассматривал пять таких многогранников. Их так и называют «Платоновы тела».
У них есть общие свойства, но есть между ними и различия. Давай поговорим сначала об одном из таких многогранников – кубе.
КУБ
Что ты можешь о нем сказать?
- Я могу сказать, что, когда я был маленьким, я играл в кубики и строил из них дома и даже крепости.
- Ну да, а почему из таких кубиков было удобно строить дом?
- Потому что у него все стороны одинаковые и легко пристраивать к одному кубику другие кубики и сверху и снизу и по бокам.
- Правильно, только то, что ты называешь сторонами, правильно называть гранями. Посчитай сколько граней у куба.
- Четыре.
- Ты посчитал только боковые грани, а у него есть еще верхняя и нижняя грань, Так что всего шесть граней. Греки называли куб гексаэдром – что означало шестигранник.
- Теперь посмотри внимательно, что представляет собой каждая грань куба. Попробуй нарисовать её на бумаге.
- Вот, готово.
- Так, правильно, эта плоская фигура, в отличие от куба. Куб пространственная фигура. Пространство, в котором мы живем - трехмерное пространство. Ты, конечно, слышал, что существует трехмерное телевидение. Обычно, чтобы видеть стереоскопическое изображение, то есть, чтобы двумерная плоская картинка обрела глубину, пользуются специальными очками. Но вернемся к тому, что ты нарисовал. Ты знаешь, как называется эта фигура?
- Конечно, это квадрат. У квадрата все стороны равны.
- Правильно. «Квадратус» в переводе с латинского языка – четырехугольный. У квадрата четыре угла и четыре стороны. У квадрата стороны, а у куба они уже становятся ребрами. Точка, в которой сходятся три ребра, называется вершиной. А скажи мне, всякий ли четырехугольник с равными сторонами - квадрат?
- Ну да.
- Знаешь что, давай сделаем квадрат из проволоки. Вот медная проволочка, она легко сгибается. Так сделал? Теперь потяни проволочную фигуру за один из углов. Величина сторон не меняется, но это уже не квадрат. Эта геометрическая фигура называется ромб. У ромба углы разной величины. Величина угла измеряется в градусах. Как померить угол? Для этого существует простой прибор – транспортир.
- Угол может меняться от нуля до 360 градусов. Углы до 90 градусов – острые углы, больше 90 градусов – тупые. Угол, равный 90 градусов называется прямым углом. На рисунке черной линией изображен острый угол, на него наложен прозрачный транспортир. Вторая сторона угла проходит через две цифры 30 и 330. Как ты думаешь, сколько градусов в угле, который ты видишь на рисунке?
- 30.
- Правильно, угол острый, поэтому он меньше 90 градусов. Вернемся к квадрату. У квадрата все углы прямые. Прямой угол – 90 градусов. На рисунке он обозначен красными линиями.
Соедини два противоположных угла прямой линией, она называется диагональю, в переводе с греческого – «через угол». Что получилось?
- Два треугольника. Вырежи аккуратно квадрат по его контуру.
- А теперь согни его по диагонали. Что получилось?
- Получился один треугольник.
- Да, треугольники точно наложились друг на друга. Это значит, что два прямых угла поделились пополам и в каждом теперь половина от прямого угла, то есть 45 градусов. Треугольник, у которого один из углов прямой называется прямоугольным. У твоего прямоугольного треугольника равны две стороны, прилежащие к прямому углу. Стороны, примыкающие к прямому углу, называются катетами, а третья сторона, лежащая против прямого угла - гипотенуза.
- Дед, а катет и гипотенуза тоже греческие названия?
- Греческие, и я попробую объяснить тебе их смысл. Катет происходит от греческого слова «отвесный», а гипотенуза от греческого «натянутый». Древние греки были прекрасными строителями, они воздвигали величественные здания, некоторые из них отчасти сохранились до наших дней. При строительстве они пользовались простейшим инструментом – отвесом. Этот инструмент ты легко можешь сделать сам. Если прикрепить, например, к дверному проему нитку с небольшим грузиком на конце, то нитка займет строго вертикальное положение. Это происходит потому, что сила тяжести, действующая на грузик, направлена всегда вертикально вниз к центру земли. С помощью отвеса проверяют насколько отклоняется от вертикали та или иная строительная конструкция, например, стена или колонна. Поставь теперь треугольник, который у тебя получился, одним из катетов на плоскую поверхность. Второй катет займет вертикальное, или отвесное положение. А гипотенуза это как бы линия, натянутая на концы катетов, по аналогии с тетивой натянутой на концы лука.
- У моего прямоугольного треугольника оба катета одинаковой длины, а могут быть прямоугольные треугольники с катетами разной длины?
- Для прямоугольного треугольника важно, чтобы один из углов был прямой. Вот в твоем треугольнике кроме прямого угла есть еще два угла по 45 градусов, в сумме получается 180 градусов. Это свойство всех треугольников – сумма всех углов треугольника – 180 градусов. Получается, что в прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов должна быть равна 90 градусов. Кроме прямоугольного треугольника с двумя равными катетами и острыми одинаковыми углами по 45 градусов, есть еще один замечательный прямоугольный треугольник с одним из острых углов 30 градусов. Чему будет равен второй острый угол?
- От 90 надо отнять 30, получается 60.
- Правильно.
- Вот два пластмассовых треугольника, купленные в магазине. Видно, что у одного катеты одинаковые, а у другого разные. Измерь, пожалуйста, транспортиром острые углы у этих треугольников.
- У одного оба угла по 45 градусов, а у другого один угол 30, а другой 60 градусов.
- А теперь измерь линейкой катет, лежащий против угла в 30 градусов.
- 10 сантиметров.
- Теперь измерь гипотенузу этого треугольника.
- Получается 20 см.
- Видишь, получилось в два раза больше. Это свойство такого треугольника – катет, лежащий против угла в 30 градусов в два раза меньше гипотенузы. А теперь измерь второй катет и не говори мне, сколько получилось.
- Измерил.
- Должно получиться чуть больше 17.
- Правильно, а как ты догадался?
- Очень просто. Между катетами и гипотенузой существует твердое соотношение, которое называется теоремой Пифагора. Теорема это утверждение, правильность которого нужно доказывать. Древнегреческий философ и математик Пифагор родился за 140 лет до рождения Платона. Но прежде чем рассказать тебе об этой теореме я должен спросить тебя, чем большой квадрат отличается от маленького?
- Как чем? Своими размерами.
- Так вот, чтобы удобно было сравнивать размеры различных геометрических фигур одним числом, еще древние греки использовали понятие площади. Как измерить площадь? Как ты измеряешь длину какой-либо линии?
- Линейкой.
- Что обозначают цифры на линейке? Обычно цифры на ученической линейке указывают на длину прямой линии в сантиметрах. Это означает, что измеряемая длина сравнивается с единицей длины – сантиметром. Или, другими словами, сколько раз один сантиметр можно отложить на измеряемой линии. Точно так же площадь квадрата можно узнать, если, посчитать, сколько маленьких квадратиков со стороной в один сантиметр можно разместить в измеряемом квадрате. Таким образом, единицей площади может быть квадратик со стороной один сантиметр. Он называется квадратным сантиметром. Нарисуй теперь квадрат со стороной четыре сантиметра. Это проще сделать на листе, разлинованном в клетку. Обычно две клетки на таком листе соответствуют одному сантиметру. А теперь, через каждые две клетки, то есть через каждый сантиметр, проведи горизонтальные и вертикальные лини. Посчитай, сколько получилось маленьких квадратиков.
- 16.
- Ты измерил площадь квадрата со стороной 4 сантиметра. Она оказалась 16 квадратных сантиметров. В случае квадрата не обязательно для нахождения его площади считать, сколько квадратиков в нем можно поместить, достаточно умножить длину его стороны саму на себя. Получаем: 4;4=16. Когда умножают число само на себя, говорят, что возводят его в квадрат. В нашем случае 16 это квадрат четырех. Ты теперь сам можешь догадаться, откуда пошло такое название результата умножения числа само на себя.
Сейчас, когда ты знаешь, что такое квадрат числа ты можешь понять теорему Пифагора – Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Мы сможем легко доказать эту теорему для прямоугольника с двумя равными катетами. Нарисуем такой треугольник и построим на каждой его стороне квадрат.
Надо показать, что сумма площадей красных квадратов равна площади синего квадрата. Проведем две диагонали в синем квадрате и по одной диагонали в красных квадратах. Вспомним, что диагональ квадрата делит прямой угол пополам, поэтому все получившиеся треугольники имеют по два острых угла в 45 градусов и, в соответствие с построением, одинаковые величины катетов и гипотенуз. Таким образом, все треугольники одинаковые и равны по площади. Количество треугольников в двух красных квадратах равно количеству треугольников в синем квадрате. Итак, сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.
Если повернуть наше построение на 90 градусов кое-что ему пририсовать, то получиться вот что.
Отсюда пошло крылатое выражение: «Пифагоровы штаны на все стороны равны». А мой друг поэт и по совместительству физик-теоретик Костя Кикоин написал вот такое:
Опровержение теоремы Пифагора
Считаю нужным дать отпор
Брехне досужих болтунов –
Был древним греком Пифагор
И сроду не носил штанов.
- Дед, это правда, что древние греки не носили штанов?
- Костя врать не будет. Штаны появились у северных народов и гораздо позже. А древние греки и евреи закутывались в кусок материи, который назывался хитоном.
Ладно, Максимка, продолжим рассказ о «Платоновых телах» завтра, а сейчас иди гулять.
Тетраэдр, октаэдр и икосаэдр
Назавтра, после того, как Максимка доложил деду о том, что было в школе, тот продолжил рассказ о «Платоновых» телах.
- Существуют три многогранника, грани которых правильные треугольники. Это тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.
- Почему треугольники правильные, разве есть треугольники неправильные?
- У правильного треугольника все стороны равны и все углы равны. Так его называют, чтобы отличать от других треугольников. Мы с тобой выяснили раньше, что у всех треугольников сумма углов – 180 градусов. Так чему равен угол правильного треугольника?
- Ну, это просто. Надо 180 разделить на три, получим 60 градусов.
- Правильно, так вот, у тетраэдра четыре граней и все они правильные треугольники. У октаэдра восемь граней и у икосаэдра – двадцать.
- А почему у них такие странные названия?
- В этих названиях нет ничего странного. Я тебе уже говорил, что куб называют гексаэдр , что на греческом означает шестигранник. Так вот многогранники, состоящие из треугольников, греки назвали в соответствии с числом их граней: четыре, восемь и двадцать - тетра, окта и икос. Чем больше граней у многогранника, тем больше ребер и вершин. У тетраэдра четыре вершины и шесть ребер, у октаэдра шесть вершин и двенадцать ребер, у икосаэдра двадцать вершин и тридцать ребер.
.
Всего таких тел пять, но о пятом мы еще когда-нибудь поговорим.
Скажи, как ты думаешь, почему эти многогранники называются выпуклыми?
- Знаешь дед, мне это трудно мне объяснить словами, но я думаю, что они как теннисные мячики, хотя они без углов, но они выпуклые.
- Я тебе помогу, противоположное по значению слову выпуклый будет слово вогнутый. Посмотри на рисунке две стеклянные линзы. Одна из них собирающая световые лучи, а другая рассеивающая. У линзы слева обе поверхности выпуклые, а у той, что справа вогнутые.
Математики говорят, что многогранник выпуклый, если он весь расположен по одну сторону от каждой из его граней. Это означает, что ты можешь положить октаэдр, на стол любой гранью, то все его стальные грани и вершины будут возвышаться над столом. Выпуклый многогранник будет правильным, если все его грани — правильные одинаковые многоугольники и равны все углы при вершинах.
Додекаэдр
Теперь настало время поговорить о пятом правильном выпуклом многограннике – Додекаэдре. У этого многогранника двенадцать граней в виде правильных пятиугольников. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». В Советском Союзе клеймо на товарах в виде правильного пятиугольника соответствовало знаку качества. Максимка, вспомни, что тебе напоминает додекаэдр.
- Может быть футбольный мяч.
- Конечно, только футбольный мяч не правильный выпуклый многогранник, а один из самых распространённых полуправильных многогранников. Он состоит из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников - фигура достаточно близкая к шару.
Приключения многопупсиков
Теперь, когда ты знаешь многое о правильных многоугольниках, давай попробуем их оживить.
- Как это, оживить?
- Придумаем про них анимационный фильм. Что такое анимация? Это слово французское и означает оживление, одушевление. По-русски анимация – мультипликация.
- Так мы придумаем мультик?
- Мультик! И главными героями в нем будут правильные многогранники. Первым делом придумаем им имена.
- Я придумал, назовем тетраэдр – Тет, октаэдр – Окт, и пусть они будут мальчиками.
- Хорошо, а гексаэдр и икосаэдр назовем Гека и Ико, и они будут девочками. Согласен?
Начнем, перенесемся в древнюю Грецию, в Академию Патона.
Академия Платона. Мозаика.Iв. до н. э.
Тет, Окт, Гека и Ика наблюдают как Платон в саду Академии беседует с учениками. Тет, подойдя к Платону, задает ему вопрос.
- Учитель мы слышали, что в разговоре с учениками ты все время говорил, что надо искать истину. А где её искать, учитель?
- Любезные моему сердцу, геометрические фигуры, мои дорогие многогранники, как выглядит истина, и где её искать люди не знают. Её еще никому не удалось встретиться с ней. Но люди хотят, её найти и особенно ученые, философы. Многим кажется, что они близки к ней, но она как горизонт удаляется при приближении к ней. Людям истина никогда не откроется. Но, может быть, вы сможете к ней подступиться.
- Почему ты так думаешь учитель?
- Потому что Вы - посланцы четырех стихий природы – Огня, Воздуха, Земли и Воды и от них вы можете получать энергию. Тет может вызывать Огонь, Окт – ветер, ведь ветер это движение Воздуха. И Огонь и Ветер могут служить источниками энергии. Гека получает энергию от Земли, а Ика получает энергию от текущей Воды. Идите, друзья мои, удачи вам на этом нелегком пути.
Задумались многогранники. Как найти путь к истине? Они сидели на зеленой лужайке недалеко от академии и смотрели в синее небо. Над ними покружился мотылек и полетел дальше по своим делам. «Пойдем за ним» - предложила Гека, наверное, он знает, где истина, он летит куда-то без всяких сомнений. И они пошли за мотыльком, а он летел и летел, помахивая прозрачными крылышками. А потом его догнал воробушек и мотылька не стало. Друзья хотели пойти за воробушком, но он долетел до ближайшего дерева и скрылся в листве. Вдруг из кустов выскочил заяц и помчался в сторону леса.
Может быть, истина в лесу - подумали друзья и побежали за зайцем. Бежали-бежали многогранники за зайцем, как вдруг из своего укрытия выскочила лиса, схватила зайца и потащила его в свою нору. Искал ли заяц истину? И тут многогранники задались вопросом - а есть ли в лесу истина? И какая она истина? Как она выглядит? Она, наверное, трепетная и горячая как огонь – предположил Тет. Быстрая как ветер – продолжил Окт. Истина ласковая как журчащая вода – задумчиво произнесла Ико. А может быть, она живет в подземном царстве и лишь иногда появляется на поверхности земли – высказала свое предположение Гека. Тут как раз из-под земли выскочил небольшого размера зверек и бросился наутек. Обнаружили многогранники в земле отверстие, из которого выскочил зверек, и захотели спуститься под землю. Отверстие оказалось небольшого размера и стало ясно, что Гека, а тем более Ико в него не протиснутся. Что же делать? Уж очень хотелось многогранникам попасть в подземелье, проверить, не прячется ли там истина. Я придумал – воскликнул Окт. Я пойду первым, буду быстро кружиться вокруг одной из своих диагоналей и острыми боковыми вершинами расширять проход.
По длинному наклонному земляному желобу Тет, Окт, Гека и Ико долго спускались вниз, пока не очутились в большой слабо освещенной пещере. При их появлении во все стороны разбежались маленькие человечки и спрятались за ближайшими камнями. Многогранники стояли посредине пещеры и постепенно привыкали видеть в полутьме. Вдруг из прохода между огромных камней появилась небольшого роста женщина, укутанная в зеленый плащ, украшенный разноцветными камушками. На её распущенных волосах поблескивала корона. «Это, наверное, и есть Истина» - прошептала Гека.
- Кто вы, и как вы сюда попали? – спросила обладательница короны.
- Мы геометрические фигуры, выпуклые многогранники, и мы ищем Истину.
- Говорящие геометрические фигуры в поисках истины. Очень забавно. Идите за мной!
Многогранники шли по проходу между скалами за той, которую они считали Истиной, и, наконец, попали в большую слабо освещенную пещеру. Мерцающий свет исходил из плетеных корзин, развешанных по стенам. С потолка пещеры свешивались каменные переливающиеся разными цветами каменные сосульки. У входа в пещеру их встречали вооруженные копьями одетые в зеленые костюмчики маленькие человечки. У одной из стен находилось возвышение, покрытое ковром изо мха, на нем стоял мраморный трон с сиденьем, также покрытым мхом. Женщина села на трон, жестом пригласив многогранников расположиться у подножия, а человечки выстроились по бокам возвышения.
- Так вот, геометрические фигурки, вы находитесь в подземной стране гномов, а я королева гномов. А теперь расскажите подробнее, чем вы знамениты, и кто вас послал искать Истину.
Гека вышла вперед:
- Я Гека, по форме я кубик. У меня шесть граней и все они квадратики. А еще у меня 12 ребер и восемь вершин.
- Я Ико, все мои двадцать граней грани равносторонние треугольнички, и у меня тридцать ребер и 12 вершин – представилась Ико.
Тету не понравилось, как девочки кокетливо называют свои грани уменьшительно-ласкательными именами.
- Друзья зовут меня Тет, мои грани - равносторонние треугольники. Когда я твердо сижу на земле на одной из граней, с её тремя ребрами и тремя вершинами, остальные три ребра и три грани поддерживают четвертую вершину, устремленную ввысь.
Королева кивнула Окту.
- Ну а как зовут тебя? Мне кажется, ты самый шустрый из всей вашей компании.
- Да, я могу с большой скоростью вращаться вокруг трех осей, соединяющих противоположные вершины. При этом вращаются все восемь моих граней. И все они, также как у Тета и Ико, – равносторонние треугольники.
Королева улыбнулась:
- Какие вы замечательные фигурки, пупсики.
Обиделись многогранники:
- Мы многогранники, а не пупсики.
- Хорошо, я не буду называть вас пупсиками, отныне вы будете многопупсиками. Так вы думали, что я Истина, нет, я не Истина, я королева, королям вообще не нужна Истина. Скажи мне Тет, а вам, зачем Истина?
- Люди видят смысл жизни в поисках Истины, но им она недоступна. Платон – великий философ, предполагает, что только мы - геометрические тела можем найти Истину. Мы хотим помочь людям.
- Смысл жизни моих поданных в том, чтобы выполнять мои приказы. Они счастливы тем, что живут в моем подземном королевстве и с радостью исполняют все мои наставления. Вы счастливы? - обратилась королева к стражникам.
- Мы счастливы, Ваше Величество – хором отозвались стражники.
- В таком случае, Ваше Величество, помогите нам выбраться на поверхность, чтобы мы продолжили поиски.
- Нет! Я не хочу, многопупусики, вас отпускать. Вы такие забавные вы будете жить у меня, развлекать меня своими геометрическими формами.
- Но мы не можем прекратить наши поиски – запротестовали многопупсики.
- Будет так, как я сказала! – королева топнула своей маленькой ножкой. Вы можете свободно гулять по подземелью, а у единственного выхода из него я поставлю стражу, чтобы вы никогда не смогли подняться наверх. Проводите многопупсиков в пещеру номер пять для почетных гостей – обратилась королева к гномам.
Многопупсикам ничего не оставалось, как подчиниться желанию королевы. Путь от тронного зала до пещеры номер пять оказался довольно долгим. Узкий подземный коридор позволял идти только парами. Гека шла в паре с Октом, а Ико с Тетом. Впереди шли два гнома одной рукой они держали на плечах копья, а в другой корзины, из которых исходил свет, освещавший дорогу. Неожиданно туннель вывел компанию на отвесный берег подземного ручья. Ико радостно встрепенулась, услышав журчание воды. Но недолго компания шла по берегу ручья. Вскоре гномы свернули в новый туннель и минут через пять мнгопупсики очутились в небольшом подземном помещени. Это и была пещера номер пять. Пещера, как и тронный зал, освещалась плетенными корзинами только здесь они не висели на стенах а располагались на больших каменных глыбах. Стены же были украшены узорами из цветных камней. Пол и каменные лавки, что стояли вдоль стен, были покрыты мягким мхом. Гномы пожелали многопупсикам спокойной ночи и уже хотели удалиться, но Гека преградила им дорогу.
- Стойте - приказала она.
Гномы, привыкшие выполнять приказы, остановились.
- Откуда вы знаете, что наступает ночь. Ведь под землей всегда темно.
- Днем свет, идущий из корзин более яркий, а ночью он совсем слабый.
- А что там внутри этих корзин? – спросил Окт.
- Там на особом сорте мха растут светящиеся грибы, мы их выращиваем в специальных пещерах. Часть суток они дают яркий свет, а часть совсем слабый. Сутки в подземелье длятся от одного начала яркого свечения грибов до другого. Вот видите свет уже начинает тускнеть, нам надо идти, чтобы успеть добраться до дома.
- Последний вопрос, куда течет ручей мимо которого мы проходили? - спросила Ико.
- Мы этого не знаем, нам запрещено плавать в нем, так как в его водах водятся хищные рыбы.
- Я слышал, что он где-то вливается в большую реку, а куда течет река, никто не знает – добавил второй гном.
Гномы поклонились и вышли из пещеры, а могопупсики расселись на скамейках и стали обсуждать свое положение.
- Мы не можем здесь оставаться – заявил Тет.
- У тебя есть план, как нам отсюда выбраться? – поинтересовалась Гека.
- Я думаю нам не удастся прорыть в скалах новый выход на поверхность - высказал свое мнение Окт.
- Тогда единственный способ попытаться убежать - прыгнуть с берега в ручей и довериться водной стихии – предложила Ико - вода должна вынести нас на поверхность.
- А ты не боишься хищных рыб? – задала вопрос Гека.
- Я думаю, что они примут нас за остроконечные камни и не нападут на нас.
Многопупусики помолчали некоторое время, обдумывая предложение Ико, затем слово взял Окт.
- Ну что же, если у нас нет другого решения, придется согласиться на предложение Ико. Сейчас свет в корзинах почти погас, но когда он разгорится снова, мы возьмем с собой корзины и пойдем на берег ручья.
На том и порешили.
Как только грибы начали светиться так, что стал виден выход из пещеры, многопупсики, прихватив с собой светящиеся корзины, отправились к берегу ручья. И вот уже многопупусики стоят на крутом берегу и не знают, что делать дальше. Там внизу в полутьме поблескивает струящаяся вода.
- До воды будет по крайней мере три моих диагонали – задумчиво произнес Окт.
Со стороны пещеры послышался топот ног и неразборчивые громкие крики.
- Это наверно гномы обнаружили, что мы сбежали, и сейчас они будут здесь. Надо прыгать. Прыгаем все вместе на счет три – прокричала Ико.
Раз, два, три … и обхватив руками корзины со светящимися грибами многопупупсики дружно спрыгнули с обрыва. Выскочившие из туннеля на берег гномы увидели только быстро удалявшиеся по воде светящиеся точки.
Стремительная вода несла и несла многопупсиков по темному ущелью между скал. Но вот постепенно ущелье начало расширяться и впереди забрезжил дневной свет. Обрадовались многопупсики, однако их радость оказалась преждевременной. Подземная река вынесла их на поверхность, но не на сушу, а в море. Кругом одна вода и не видно берегов. И только одинокая рыбачья лодка качалась на волнах. Рыбак ловил рыбу, закидывая невод. В очередной раз, закинув невод, он вместо рыбы обнаружил в нем многопупсиков.
- Это что еще за чудища морские – удивился он. Рыбак никогда не учился в школе и ничего не знал про геометрические фигуры.
- Мы не чудища, а выпуклые многогранники, и мы не из морских глубин, нас вынесла река из подземелья. Мы бежали по воде от королевы гномов.
- Гномы, я слышал про них. Это такие маленькие человечки, что живут под землей. А про маленьких говорящих существ, состоящих из ребер и острых концов, ничего не слышал. И чего только не бывает на свете. В подземелье-то, что вы делали?
- Мы думали, что под землей скрывается Истина. Мы королеву гномов приняли за Истину.
- Кто это Истина?
- Истина прекрасная дама. Она может открыть людям смысл жизни.
- Смысл жизни!? Никогда не думал в чем смысл моей жизни. Живу себе и живу. Рано утром выхожу в море ловить рыбу, потом иду в город, чтобы её продать. На вырученные деньги покупаю еду для семьи, а на следующее утро снова ухожу в море. И так каждый день.
Рыбак высадил многопупсиков на поросший кустарником берег и пожелал им удачи в их поисках. Отойдя от берега на небольшое расстояние, они попали в дубовую рощу, нашли уютную поляну под развесистым дубом, где и решили отдохнуть перед тем как продолжить поиски Истины.
- Где же теперь нам искать Истину? И существует ли она? – усомнилась Ико.
- Я уверен, что она существует, раз мудрые люди, которые хотят знать, как устроен мир, её ищут –ответил Окт.
«Каар» – раздалось откуда-то сверху. Многогранники посмотрели наверх и увидели большого черного ворона, сидящего на сосне.
- Кар, кто вы? На людей вы не похожи, а разговариваете.
- А ты птица, а говоришь – отозвалась Гека.
- Но я очень умная и старая птица, поэтому научился разговаривать.
- А мы многогранники и научились говорить в Академии у знаменитого философа Платона. Нас называют телами Платона – продолжил разговор Окт.
- Многогранники – никогда не слышал про вас.
- Мы многогранники, потому что у нас тела покрыты гранями. Я Тет и у меня четыре грани.
- Я Окт у меня восемь граней.
- Я Гека у меня шесть граней.
- А я Ико и у меня двадцать граней. Королева гномов назвала нас многопупсиками, и нам нравится так называться.
- Ну ладно, ладно. Очень хорошо, пусть будет так, только мне больше нравиться много-гр-р-р-р-аниники , кар-р-р. И что же вы тут в лесу делаете?
- Мы ищем Истину.
- Истину?
- Люди ищут Истину, а где её найти не знают. Смысл жизни людей в поисках Истины.
- Истину не следует искать, в лесу или в поле. Птицы и животные не думают о смысле жизни. Они вообще ни о чем не думают, они просто живут.
- Где же нам искать истину? Ты летаешь высоко и далеко, слышал ли ты, что кто-нибудь нашел истину.
- В славном городе Афины, на большой площади возле высокого дома с колонами я видел, как люди обступили седого бедно одетого человека. Они называли его Сократом. Я сидел на вершине одной из колонн и слышал, что он говорил. Я ничего не понял из его речей, но он часто повторял слово – истина.
- Как бы нам хочется его послушать! Давай вместе полетим в Афины!
- Разве вы умеете летать?
- Летать мы не умеем, у нас нет крыльев, но мы можем полететь, если ты посадишь нас к себе на спину.
- Я самый большой из здешних воронов, но даже на моей спине не поместятся четыре многопупсика.
- А долго лететь до этого дома с колонами?
- Нет не долго, солнце почти не успеет поменять свое место на небосводе.
- Мы можем сделать так: ты в клюве зажмешь длинную палку, а мы будем висеть на ней по двое с каждой стороны. Если лететь недолго, то ты потерпишь, и не будешь каркать по дороге, а мы не устанем и не оторвемся.
- Кар-р-р, палку в клюве, только не очень толстую, можно попробовать.
Многопупсики нашли подходящую палку, ворон взял её в клюв, с одной стороны за палку схватились Ико и Тет, а с другой Гека и Окт. Ворон взмахнул крыльями, оторвался от земли и полетел не очень высоко над землей.
Многопупсики висели на своих тоненьких ручках на палке. Встречный поток воздуха пытался сбросить их на землю, но им удалось не оторваться от палки до самого конца полета. Ворон спустился у белого здания с множеством колон.
- Вон там, видите, толпа окружила седого старика в накинутом на одно плечо и закрывающем нижнюю часть фигуры куске белой материи. Это и есть Сократ. Ворон махнул крылом в сторону небольшой площадки рядом со зданием.
Поблагодарив ворона, многопупсики спрятались за одной из колон, и стали слушать Сократа. Мудрец, а многопупсики не сомневались , что Сократ и есть настоящий мудрец, как раз говорил об истине, о том как понимает истину он, и как понимает её Платон.
- Платон ищет Истину для того, чтобы понять, как устроен мир, чтобы объяснить природу стихийных явлений, в чем причина ветра, огня, из чего состоят вода и земля. Но явления природы либо не доступны человеческому разуму, либо не имеют отношения к жизни людей. Истину человеку надо искать в себе. Истина, как и смысл жизни, познаются человеком в результате его ежедневных занятий.
Многопупсики задумались. Что же всё-таки такое истина? И где в себе человек должен её искать?
Вдруг они услышали громкие жалобные петушиные крики. Побежали многопупсики на крик и увидели как какой-то полуголый человек, сидя в большой глиняной бочке, ощипывает живого петуха.
- Что ты делаешь?- закричали многопупсики.
- Я делаю из животного человека. Платон заявил, что человек есть животное о двух ногах, лишённое перьев, я ощипал петуха и доставлю. его к нему в школу, смотри, скажу я ему, вот твой человек. А вы-то кто такие?
- Мы геометрические фигуры Платона, каждому из нас Платон сопоставил одну из природных стихий: воздух, землю, огонь и воду. Мы хотим помочь Платону найти истину.
- Чушь, очередная выдумка Платона. Я дышу воздухом, моя бочка стоит на земле и, чтобы изготовить её из глины, нужна вода, и нужен огонь для её обжига. Это реально, так и должно быть. Между вами и природными стихиями нет никакой связи. Вы ищите истину? Меня зовут Диоген и это истина. А какую истину ищет Платон, мы сейчас выясним.
Диоген засунул кричащего петуха в мешок и громко свистнул. В ответ раздалось громкое ржание и топот копыт. И через мгновение великолепный шоколадного цвета конь появился перед бочкой. Диоген схватил мешок, вскочил на коня и приказал многопупсикам.
- А ну прыгайте ко мне, двое спереди, двое сзади.
Легко сказать - прыгайте. Многопупсикам раньше не приходилось скакать на лошадях. Окт подсадил Ико и сам вскарабкался впереди Диогена на холке, а Окт помог Геке и они разместились сзади на крупе коня.
Диоген резко осадил коня у въезда в академию перед плакатом с надписью «Негеометр – да не войдет», укрепленном на большом деревянном щите. Соскочив с коня, он начал изо всех сил колотить по медному щиту, висящему на воротах. На шум к воротам вышел сам Платон в окружении своих учеников.
- С чем пожаловал Диоген? – слегка поклонившись, обратился к Диогену Платон.
- Принес тебе твоего человека – с этими словами вытащил из мешка ощипанного петуха и потряс им в воздухе. Петух вырвался из рук Диогена и с громким криком бросился наутек. Платон проводил взглядом петуха и тут он увидел многопупсиков.
- А как многогранники попали к тебе Диоген?
- Они забрели ко мне в поисках истины. Ты вбил им в сознание, не знаю, правда, где оно у них находится, что существует некая высшая истина, и кто найдет её, тот обретет смысл жизни. Еще ты придумал, что эти фигурки каким-то образом связаны с природными стихиями.
- Ты Диоген, скорее воин, нежели философ и ты не знаком с геометрическим философским построением мира. Всё, что нас окружает - и вода и земля и воздух - состоит из мельчайших частиц, имеющих с большой вероятностью формы четырех правильных выпуклых многоугольников. Существует еще и пятый выпуклый многогранник. Его грани правильные пятиугольники. Этот многоугольник символизирует Космос, а высшая истина состоит в том, чтобы выяснить связь человека и Космоса.
- Чудно ты выражаешься Платон. Для меня истина состоит в том, чтобы называть вещи своими именами, а у тебя простые предметы у тебя предстают в каком-то фантастическом обличии. Я конечно не силен в геометрии, но если я вижу предмет в виде куба, то я думаю, где этот куб можно использовать - построить сарай, например. Ты же стремишься перестроить традиционные способы восприятия пространства, свести его к комбинации простых геометрических тел. Для меня куб он и есть куб, а для тебя простой куб перерастает в «кубизм».
- Что же, «кубизм» это неплохо. Полагаю, что он еще себя проявит.
И тут Диоген неожиданно предложил:
- А знаешь что, давай переведем наш спор в спортивное состязание.
- И в чем же мы будем с тобой состязаться?
- В Афинах очень популярный спорт – метание дротиков.
- В этом я не могу с тобой соперничать, ты же был воином.
- А ты же афинянин! И кроме того я дам тебе фору, я буду кидать дротики стоя на лошади.
- Ну что же попробуем.
Платон попросил учеников принести дротики. Перевернули деревянный щит с надписью «Негеометр – да не войдет» и на обратной его стороне начертили мишень. Началось соревнование. Зрители - ученики Платона и многопупсики с восторгом встречали каждый удачный бросок, независимо кто его совершил Диоген или Платон - «О спорт - ты мир!». Диоген выиграл соревнование с небольшим перевесом и довольный поскакал домой, в свою бочку. А Платон собрал в кружок многопупсиков и попросил их рассказать о том, как они искали истину. Он внимательно выслушал их, а потом поднял указательный палец к небу и сказал – истину следует искать в космосе, космос скрывает её от нас и поэтому она нам недоступна.
Послесловие к мультику
- Ну как, Максимка, понравился тебе мультик?
- Понравился, а что дальше стало с многопупсиками, найдут они истину?
- Послушай Максимка, мы ведь оживили многогранники, чтобы напомнить ребятам о важности изучения геометрии и вообще математики для понимания того, как устроен наш мир. Искать истину в том смысле, как её понимал Платон, эта задача не одного поколения ученых, живущих на земле. А знаешь ли ты, какая наука изучает строение и свойства нашего мира?
- Знаю, дед, физика.
- Так вот, в Германии в прошлом веке жил великий ученый физик Вернер Гайзенберг. Он был одним из основателей современной физики.
- Как Эйнштейн?
- Да как Эйнштейн, но в своей области физики он был круче, чем Эйнштейн. Он был одним из создателей квантовой физики – науки о поведении мельчайших частиц, из которых состоит всё, что существует в природе. Так вот Гайзенберг очень хорошо учился в школе. В той школе, она называлась гимназия, где учился Гайзеберг, кроме физики и математики учили гимназистов еще и греческому языку. Еще тогда в школьные годы Гайзенберг прочел в подлиннике сочинения Платона и восхитился его догадкой о мельчайших неделимых составных частицах материи. Платон сводил материю к математическим формам, представлял элементы мира вещей в виде многогранников, грани которых составлены из правильных треугольников. Раздумывая уже в зрелом возрасте над философией Платона, Гайзенберг пришел к выводу, что современная физика, также как и учение Платона, сводит видимый мир к математическим построениям. Тебе, Максимка, трудно понять, как это возможно, однако не переживай, кроме небольшого числа физиков и математиков, этого не понимает никто. Но, может быть, ты подрастешь, станешь физиком, и тогда тебе удастся прикоснуться к истине – истинной картине нашего мира.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Как самому склеить тетраэдр и октаэдр
- Скажи Максимка, грани тетраэдра и октаэдра - это какая геометрическая фигура?
- Правильный треугольник.
- Верно. Сейчас я научу тебя рисовать правильный треугольник. С помощью циркуля нарисуй окружность.
- У меня нет циркуля, и я не знаю, что это.
- А у меня есть циркуль. Сейчас я достану. Он сохранился у меня со времени моей учебы в институте. Он состоит из двух ножек, в одной ножке закреплена игла, а в другой грифель. Расстояние между ножками это раствор циркуля. Раствор циркуля равен радиусу окружности, которую мы хоти нарисовать. Сейчас я научу тебя им пользоваться.
Обозначь красным карандашом центр окружности. Любая линия, проведенная через центр, соединяющая две точки на окружности это диаметр (в переводе с греческого поперечник) окружности. Половина диаметра – радиус окружности. Раствор циркуля и есть радиус окружности. Например, нам надо нарисовать окружность с диаметром 6 см. Устанавливаем по линейке раствор циркуля 3 см. Далее иголку помещаем в центр окружности и, вращая головку циркуля, рисуем грифелем окружность.
Попробуй теперь нарисовать окружность.
- Вот, дед, у меня, кажется, получилось.
- Не меняя раствора циркуля из любой точки окружности (например, точки 1) сделай отметку на окружности. Обозначь её как точку 2, помести иглу циркуля в точку 2 и таким же образом найди точку 3, и дальше точки 4, 5 и 6. Теперь соедини точки 1, 3 и 5. Получился правильный треугольник с вершинами в точках 1, 3 и 5. Вершинами будем называть точку пересечения сторон треугольника. Посчитаем угол в этом треугольнике. Для этого проведем еще два радиуса – в точку 3 и точку 5. Получим внутри нашего равностороннего треугольника еще три равных треугольника с вершинами в точках 1-0-3, 3-0-5 и 5-0-1.
Рассмотрим треугольник с вершинами в точках 3-0-1 и оценим величину его тупого угла. Для этого надо знать, на какой угол надо повернуть радиус 0-3, чтобы он совпал с радиусом 0-1? Заметь, что при повороте на 360 градусов радиус занимает исходное положение, обойдя всю окружность. А от точки 3 до точки 1, в соответствии с нашим построением радиус поворачивается на треть окружности, то есть на 120 градусов. Таким образом, угол 1-0-3 равен 120 градусам. На долю двух одинаковых углов при вершинах 1 и 3 остается 60 градусов и, следовательно, каждый из них равен по 30 градусов. Точно также, рассматривая треугольник 1-0-5, мы можем утверждать, что и в этом треугольнике угол при вершине 1 равен 30 градусам. Отсюда делаем вывод, что угол равностороннего треугольника 1-3-5 при вершине 1 состоит из двух одинаковых углов по 30 градусов и равен 60 градусам. Очевидно, остальные углы этого треугольника также равны 60 градусам из-за их одинакового расположения.
Октаэдр
Давай склеим тетраэдр, вот его выкройка.
.
Чтобы нарисовать такую выкройку, надо сначала построить большой правильный треугольник. Если мы хотим получить тетраэдр с ребром, например 6 см, то нужно построить треугольник со стороной 12 см. Для этого проводим линию АВ длиной 12 см. Из точки А с помощью транспортира проводим линию АС под углом 60 градусов длиной 12 см. Получаем точку С. Соединяем точки В и С и соединяем середины всех сторон в треугольнике АВС (вместо того чтобы говорить о треугольнике с вершинами в точках А, В и С обычно просто говорят как о треугольнике АВС). Таким образом, внутри большого треугольника оказались все четыре грани будущего тетраэдра. Осталось только пририсовать три полоски для склеивания, как показано на левом рисунке. Давай теперь попробуем склеить тетраэдр. Для этого надо вырезать выкройку, отогнуть полоски для склейки, и согнуть выкройку по всем линиям. Теперь помажем полоски клеем и будем аккуратно склеивать между собой грани.
- Дед три грани легко склеить, а четвертую как приклеить, палец то внутрь не просунешь.
- Если мы сделали правильно выкройку и точно её вырезали, то четвертая грань сама встанет на место.
Октаэдр
- Тетраэдр склеить не так сложно у него всего четыре грани, у нас получился вполне приличный правильный тетраэдр. Гораздо сложнее склеить октаэдр.
Выкройку его сделать довольно легко. Поскольку ты уже умеешь рисовать правильный треугольник, то ты уже можешь придумать, как нарисовать выкройку.
Выкройка октаэдра:
- Мне нравится такой способ. Пусть мы хотим склеить октаэдр с ребром 6 см. Посмотри внимательно на рисунок выкройки. Ты видишь, что три треугольника 1, 3 и 5 одной стороной примыкают к линии AF. Отметим на этой лини точки 6,12 и 18 см. Построим, с помощью циркуля с раствором 6 см треугольники 1 и 5. Получим точки В и Е. Через эти две точки проведем линию BG. На этой линии также отметим точкам длины 6, 12 и 18 см и соединим линиями все отмеченные точки. Теперь нам остается построить треугольники 7 и 8. Ты сам можешь догадаться, как их построить, и нарисовать полоски для склейки.
Здесь можно читать полный текст этой учебной сказки.