Прорыв 5 мая с.г. в проблеме Ферма открыл двери для появления множества элементарных доказательств «недоказемой» Великой теоремы. Ну, первое из них я сделал еще лет двадцать тому назад, но не выдавал его на-гора по простой причине: очень сомневался в доброжелательности великих интеллектуалов мира сего. Но сегодня, под прикрытием майского доказательства, я о нем расскажу.
Суть прадоказательства весьма проста: равенство A^n=C^n-B^n=(C-B)P по трехзначным окончаниям (они обозначены индексом [3]) имеет странность (расчеты приведены ниже):
{a^{nn}_[3]=} (c^{nn}_[3]-b^{nn}_[3])[3]={(c^n_[3]-b^n_[3])p^n_[3]}_[3]: в левой части вторые цифры оснований b, c отсутствуют принципиально, а в правой части они закономерно присутствуют! На мой взгляд, этого факта достаточно, чтобы считать равенство Ферма противоречивым (хотя на уровне трехзначных окончаний они количественного противоречия не создают).
Но 10 мая я нашел убедительное развитие темы: обнулить вторые цифры во всех простых сомножителях чисел А, В, С, после чего доказательство ВТФ в несколько строк завершается так же, как и первое (майское): числа А, В, С бесконечны – несмотря на УМЕНЬШЕНИЕ! Ну и, понятно, если вторые цифры восстановить, то бесконечность решения лишь увеличится.
Это, второе, доказательство имеет два преимущества перед первым: во-первых, оно значительно проще и короче, а во-вторых, можно не поднимать (хотя и интересную!) тему о простых сомножителях чисел P, Q, R (являющихся сомножителями чисел А, В, С). И теперь вопрос о Средней теореме Ферма становится сомнительным: ею может считаться примитивное следствие из бинома Ньютона о том, что вторая цифра степени A^n не зависит от второй цифры основания А.
Таким образом, трехвековая эпопея с Великой теоремой Ферма завершена и теперь стоит вопрос о том, сколько веков потребуется математическому сообществу для того, чтобы оно обратило внимание хотя бы на одно из трех моих доказательств.
Ниже я привожу оба новых доказательства ВТФ.
***
Все целые числа представлены в системе счисления с простым основанием n>2.
Обозначения: A', A'', A_(k) – первая, вторая, k-я цифра от конца числа A;
A_[k] – k-значное окончание числа A (т.е. A_[k] =A mod n^k); nn=n*n=n^2.
Напомню свойства равенства Ферма для взаимно простых натуральных A, B, C:
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P] //и B^n=C^n-A^n [=(C-A)Q], C^n=A^n+B^n [=(A+B)R]//. Откуда
1a°) (C-B)P+(C-A)Q-(A+B)R=0, где наибольшие общие делители соответственно в парах чисел (A, C-B), (B, C-A), (C, A+B) мы обозначим буквами a, b, c. Тогда,
2°) если (ABC)'=/=0, то C-B=a^n, P=p^n, A=ap; C-A=b^n, Q=q^n, B=bq; A+B=c^n, R=r^n, C=cr;
2a°) а если, например, B_[k]=0, но B_[k+1]=/=0, то (C-A) [kn-1]=0, где kn-1>k (важно, что числа k в формулах 2a° и 3° равны);
3°) число U=A+B-C=un^k, где k>1, откуда (A+B)-(C-B)-(C-A)=2U и при k=2
4a-1°) A_[2]=a^n_[2]=a'^n_[2], B_[2]=b^n_[2]=a'^n_[2], C_[2]=c^n_[2]=a'^n_[2]; следовательно (см. 5°),
4b-1°) A^n_[3]=a'^{nn}_[3], B^n_[3]=b'^{nn}_[3] ; C^n_[3]=c'^{nn}_[3];
следовательно (см. 1° и 2°),
4c-1°) a^{nn}_[3]=(c^{nn}_[3]-b^{nn}_[3])_[3], откуда
4d-1°) a^{nn}_[3]={(c^n_[3]-b^n_[3])p^n_[3]}_[3] и
(c^{nn}_[3]-b^{nn}_[3])_[3]={(c^n_[3]-b^n_[3])p^n_[3]}_[3].
5°) Цифра A^n_(k+1) однозначно определяется окончанием A_[k] (простое следствие из бинома Ньютона). И цифра a'' не участвует в образовании a^n_[2], a^{n^2}_[3] и т.д. (Решающая теорема; возможно, она является еще одной Средней теоремой Ферма.)
А теперь само Доказательство ВТФ. Оно состоит из бесконечной последовательности циклов, в которых показатель степени k (в 3°), начиная со значения 2, возрастает на 1.
Легко видеть (см. 5°), что равенства 4d° являются ПРОТИВОРЕЧИВЫМИ, поскольку в их левых частях вторые цифры оснований a'', b'', c'' и p'' ОТСУТСТВУЮТ, а в правых – ПРИСУТСТВУЮТ. И это противоречие устраняется лишь при условии: a''=b''=c''=p''=0. Но тогда P_[3]=p^n_[3]=1. Аналогично и Q_[3]=R_[3]=1. И теперь из равенства 1a° мы имеем:
6°) [(C-B)+(C-A)-(A+B)]_[3]=0. Откуда
7-2°) число U=A+B-C=un^3, то есть ТЕПЕРЬ k=3, и мы составляем исходные данные
4a°-4d° для следующего цикла (увеличивая k на 1). И затем доказательство завершается так же, как и первое (от 5.5.2017).
ОДНАКО, если факт противоречивости равенства 4d° представляется неубедительным, то можно использовать другой прием: обнулить цифры a'', b'', c'', p''. Доказательство завершается аналогично, но с припиской: если в МЕНЬШЕМ решении числа a, b, c бесконечны, то они бесконечны и во всех остальных решениях.
=====================
Приложение. Окончание доказательства:
4a-2°) A_[3]=a^{nn}_[3]=a'^{nn}_[3], B_[3]=b^{nn}_[3]=a'^{nn}_[3], C_[3]=c^{nn}_[3]=a'^{nn}_[3]; следовательно (см. 5°),
4b-2°) A^n_[4]=a'^{nnn}_[4], B^n_[4]=b'^{nnn}_[4], C^n_[4]=c'^{nnn}_[4]; следовательно (см. 1° и 2°),
4c-2°) a^{nnn}_[4]=(c^{nnn}_[4]-b^{nnn}_[4])[4], откуда
4d-2°) a^{nnn}_[4]={(c^{nn}_[4]-b^{nn}_[4])p^{nn}_[4] }[4] и
c^{nnn}_[4]-b^{nnn}_[4]={(c^{nn}_[4]-b^{nn}_[4])p^{nn}_[4] }[4].
[А если, например, B[2]=0, тогда (C-A)_[kn-1]=0 и из 1a° находим, что 2B_[3]=0 и U_[3]=0.]
После чего мы повторяем рассуждения 6°-7° с получением k=4 и переходим к следующему циклу. И так до бесконечности.
В итоге окончания чисел A, B, C принимают вид:
8°) A_[k+1]=a'^{n^k}_[k+1], B_[k+1]=b'^{n^k}_[k+1], C_[k+1]=c'^{n^k}_[k+1], где k стремится к бесконечности, что свидетельствует о невозможности равенства 1° и истинности ВТФ.
==============
Виктор Сорокин. Мезос. 11 мая 2017
===============