К счастью, могу позволить себе «распоясаться» – будучи человеком в высшей степени сомневающимся на этот раз у меня нет и тени сомнения в том, что 2 марта 2017 года были решены сразу две фантастически трудных математических проблемы: найдено недостающая «Средняя» теорема, лежащая между Малой и Великой (или Большой) теоремами Ферма, и простейшее (фактически без вычислений!) доказательство самой Великой теоремы (ВТФ). При доказанности первой доказательство второй, ВТФ, выеденного яйца не стоит, и я на нем задерживаться не стану. А расскажу про первую.
В самом простейшем случае она звучит так:
В системе счисления по основанию (или в базе) n решение уравнения
1°) 2^{nn}==(xnn+2^{nn})(ynn+1) mod nnn (или n^3) [т.е. по трехзначным окончаниям],
где n – простое, n>2, x и y цифры (однозначные числа), есть x=y=0.
(Поскольку Интернет не приспособлен для математических формул, приходится исхитряться: nn=n*n, значок «^» означает степень, ну а трехзначное окончание числа – это число, состоящее из трех последних цифр.)
Очевидно, что при x=y=0 уравнение 1° превращается в тождество. Но мы покажем, что другие значения x и y порождают неразрешимое противоречие.
2°) Прежде всего отмечу, что последние цифры у чисел 2^n и 2^{nn} есть 2. Это следует непосредственно из формулы Малой теоремы Ферма: последняя цифра числа 2^{n-1} есть 1; следовательно, трехзначное окончание чисел (2^{n-1})^{nn} и (2^{nn})^{n-1} равно 001 (это следует из бинома Ньютона).
К этому остается добавить школьную формулу произведения двух двучленов:
3°) (xnn+a)(ynn+1)=xynnnn+(x+ay)nn+a, где n является цифрой ноль, число a оканчивается на цифру 2 и мы учитываем лишь три последние цифры.
Подставив эту формулу в уравнение 1° и сократив в левой и правой частях равенства по числу а, мы находим, что последняя цифра числа (x+ay)', или (x+2y)' равна нулю.
И вот здесь лежит причина трагедии многих ферматистов, которые, найдя это значение... сдавались! (Я и сам десятки раз упирался в этот факт...) Действительно: при любой цифре у и соответствующей цифре х [=(-2у)'] равенство 1° КАК БУДТО выполняется! И нет ни малейших признаков того, что здесь что-то не так!
Даже после того, как я показал, что именно не так и как оно обнаруживается, десятки высокопрофессиональных математиков просто отворачиваются от противоречия – ибо ставятся под сомнение сами АКСИОМЫ математики!!! И только псих, вроде меня, способен рискнуть удариться головой о железобетонную стену: 10.000 не сработавших гипотез плюс несколько косвенных домыслов и ответственность перед людьми, коnорых я «приручил», заставили меня проверить «на вшивость» неопровержимость равенства 1°. И нужный инструмент в моем арсенале нашелся: это было возведение степенного равенства в (n-1)-ю степень. Даже не производя вычислений, я уже почувствовал, что последняя цифра суммы x+2y будет НЕ нулевой!
Вот по существу и вся история. Для убежденности в правильности моего доказательства остается лишь возвести равенство 1° в (n-1)-ю степень.
Левая часть равенства превращается в 001 (см. 2°).
Последние два члена разложения бинома Ньютона для правого сомножителя будут:
4°) (n-1)ynn+1 с третьей цифрой [(n-1)y]' (sic! знак «'» означает последнюю цифру).
А для левого сомножителя (xnn+2^{nn}) последние два члена будут:
5°) (n-1)xnn(2^{nn})^{n-2}+(2^{nn})^{n-1}, где второе слагаемое равно 001 (см. 2°).
В первом же слагаемом нам нужно будет вычислить лишь последнюю значащую цифру (т.е. после отбрасывания «нулей» nn):
(n-1)x*2^{n-2}, или
6°) (n-1)x*2^{n-1}/2, где (2^{n-1})'=1 (см. формула Малой теоремы Ферма).
И теперь третья цифра в правой части 1° в (n-1)-й степени будет равна (по формуле 3°):
7°) [(n-1)x/2+2(n-1)y]' [=0, т.е. третьей цифре в числе 001], откуда
8°) x=-2*2y.
А ДО возведения равенства 1° в (n-1)-ю степень было: x=-2y. И из равенства
9°) 2*2y=2y, или 2y=0, находим, что у=0. Следовательно, и x=0.
Что и требовалось доказать.
***
Но ехидный вопрос для специалистов по теории целых чисел остается:
ПОЧЕМУ равенство после возведения его в степень превращается в неравенство?!
Что, на мой взгляд, является самым фантастическим явлением в математике, да и в науке вообще. Но пока владыки математического мира молчат...