1 - 1
2 (1+1)Два нечетных числа уравновешивают друг друга, переводя нечетность в четность.
3 (1+1+1/2+1)
4 (1+1+1+1/2+2/2х2)
5 (1+1+1+1+1/1+4/2+3/2х2+1)
6 (1+1+1+1+1+1/1+5/2+4/3+3/2х2+2/2х3)
7 (1+1+1+1+1+1+1/1+6/2+5/3+4/2+2+2+1/2х2+3/2х3+1)
8 (1+1+1+1+1+1+1+1/1+7/2+6/3+5/4+4/2х2+2х2/2х3+2)
9 (1+1+1+1+1+1+1+1+1/1+8/2+7/3+6/4+5/2х4+1/3х3)
Все чётные числа делятся на 2, то есть, кратны двум.
Нечетные числа трех типов:
1 вид: 1,3 и 9
2 вид: 5
3 вид:7
Нечетные числа кратные 5 заканчиваются на 0 и 5
Числа кратные 7 заканчиваются на все цифры, с последовательным переходом от четного к нечетному http://www.proza.ru/2017/04/17/1075
Простые числа (кроме кратных 2 и 5) оканчиваются на 1, 3, 7 или 9
_______________
Существует 9 семейств цифровых корней любых существующих на земле чисел.
Цифровые корни
_______________
Пифагор отметил, что сумма последовательных нечетных чисел дает полный квадрат:
1 + 3 = 22,
1 + 3 + 5 = З2,
1 + 3 + 5 + 7 = 42
и что каждое простое число представляет собой разность двух квадратов:
22 — 12 = 3
32 — 22 = 5
42 — 32 = 7
52 — 42 = 9
62 — 52 = 11
или, в общем виде:
(n + 1)2 — n2 = 2n + 1
______________
365 дней в году
365 = 10 X 10 + 11 X 11 + 12 X 12=100+121+144
365 = 11 х 10 + 12 х 10 + 13 х 10
365= 13х13+14х14= 169+196
__________________
1х8+1=9
12х8+2=98
123х8+3=987
1234х8+4=9876
12345х8+5=98765
123456х8+6=987654
1234567х8+7=9876543
12345678х8+8=98765432
123456789х8+9=987654321
0х9+1=1
1х9+2=11
12х9+3=111
123х9+4=1111
1234х9+5=11111
12345х9+6=111111
123456х9+7=1111111
1234567х9+8=11111111
12345678х9+9=111111111
123456789х9+10=1111111111
9х0+8=8
9х9+7=88
9х98+6=888
9х987+5=8888
9х9876+4=88888
9х987654+3=888888
9х9876543+2=8888888
9х98765432+1=888888888
9х987654321+0=8888888888
______________
В случае случайного распределения каждое следующее простое число может с равной долей вероятности заканчиваться на любую из четырёх возможных цифр. Например, за простым числом, оканчивающимся на 3, в 25% случаев должно следовать другое простое число, которое также будет заканчиваться на 3. Однако Каннан Саундарараджан (Kannan Soundararajan) и Роберт Лемке Оливер (Robert Lemke Oliver) из Стэнфордского университета рассчитали, что вероятность соседства двух простых чисел с одинаковой цифрой на конце гораздо ниже, чем это можно ожидать от случайной последовательности.
Математики установили, что две единицы на конце простого числа могут стоять рядом лишь в 18% случаев, в то время как 3 и 7 следуют за 1 в 30%, а 9 – в 22% случаев. Как сообщается в препринте статьи, доступном на сайте arXiv, такая же тенденция наблюдается и для других комбинаций окончаний.
Учёные говорят, что на больших выборках картина становится больше похожа на случайность, но даже когда они провели анализ нескольких триллионов простых чисел, необычная закономерность всё ещё присутствовала, пусть и в меньших масштабах.
Лемке Оливер и Саундарараджан считают, что у их открытия есть объяснение. Большинство современных исследований простых чисел опираются на теорию математиков Годфри Харолда Харди (Godfrey Harold Hardy) и Джона Литтлвуда (John Littlewood), которая предполагает, что пары, тройки и большие выборки простых чисел распределяются не равномерно, а более сложным образом. В начале двадцатого века эти учёные собрали вместе все известные правила чередования простых чисел, например, то, что два соседних числа не могут быть простыми, потому что одно из них чётное, а если число N простое, то число N+2 также окажется простым с большей вероятностью, чем любое случайно выбранное число. Эти наблюдения были объединены в общую гипотезу, которая описывает распределение во всех видах первичных кластеров простых чисел.
Новое исследование показывает, что именно гипотеза Харди-Литтлвуда, которая до сих пор не была доказана, лучше всего описывает чередование последних цифр в простых числах. Она также подразумевает, что по мере расширения выборки чисел характер распределения будет всё больше напоминать случайный.
http://www.vesti.ru/doc.html?id=2731722
__________________
Однажды во втором классе на уроке математики нам продиктовали ряд цифр: 1, 2, 3, 4 - и предложили дома составить из них все возможные суммы. У меня получились такие примеры:
1+234=235, 4+123=127, 214+3=217, 14+23=37,2+134=136, 432+1=433, 21+34=55, 321+4=325 и т.д.
От нечего делать я придумал игру: начал искать суммы цифр всех полученных ответов. Во всех случаях результат был один и тот же - число 10. Например, 2+3+5=10, и 2+1+7=10, и 4+3+3=10 и т.д. Дальше мне пришло в голову найти сумму исходных цифр (продиктованных учителем): 1+2+3+4=10.
Я заинтересовался этой закономерностью и стал ее проверять на больших числах.
Например, число 548 769. Сумма его цифр 5+4+8+7+6+9=39. Сложил 3+9=12 и 1+2=3, а затем опять начал составлять все возможные суммы и находил суммы цифр, составляющих найденные ответы:
54+87+69=210, сумма цифр ответа 2+1=3;
967+845=1812, сумма цифр ответа1+8+1+2=12, а 1+2=3;
769+485=1254, сумма цифр ответа 1+2+5+4=12, а 1+2=3.
Продолжая составлять все возможные суммы из цифр, составляющих число 548 769, убедился, что окончательная сумма цифр всех полученных ответов всегда равнялась 3.
Я увлекся замеченной мною закономерностью и стал проверять ее на разных числах. Результат был тот же: для всех возможных сумм цифр, составляющих число 52 863 749, сумма цифр ответа всегда была 8, а для сумм цифр, составляющих число 269 751, - равнялась 3.
Пораженный открытой закономерностью, пробовал включать в ряды цифр нули и повторяющиеся цифры. Вот, например, число 10 972.Сумма его цифр:
1+0+9+7+2=19, 1+9=10, 1+0=1.
Некоторые из возможных сумм, составленных из цифр этого числа, и суммы цифр ответов:
109+72=181, 1+8+1=10, 1+0=1;
19+270=289, 2+8+9=19, 1+9=10, 1+0=1;
297+10=307, 3+0+7=10, 1+0=1.
Опять повторилась та же закономерность.
Я проверял свое открытие на десятках номеров трамвайных билетов, номерах телефонов из справочника и т.д.
Например, телефон лицея 95-4-65.
9+5+4+6+5=29, 2+9=11, 1+1=2.
564+59=623, сумма цифр ответа 6+2+3=11,1+1=2;
956+54=1010, сумма цифр ответа 1+0+1+0=2;
495+65=560, сумма цифр ответа 5+6+0=11,1+1=2;
55+694=749, сумма цифр ответа 7+4+9=20,2+0=2.
Видно, что и в этом случае закономерность остается в силе.
Арифметическая игра с числами и цифрами, составляющими их запись, не только очень увлекательна. Я смог показать, что эта игра имеет практическое значение. Учитель легко сможет проверить любые примеры на сложение, а каждый покупатель - быстро узнает, не обсчитали ли его. Для этого следует на ценниках штучного товара рядом с его ценой указывать сумму цифр его цены. Например, мы купили:
шоколад - цена 15 руб., сумма цифр цены 1+5=6;
10 яиц - 29 руб., сумма цифр цены 2+9=11,1+1=2;
рулет - 18 руб., сумма цифр цены 1+8=9;
хлеб - 12 руб., сумма цифр цены 1+2=3;
молоко - 17 руб., сумма цифр цены 1+7=8;
Еще в очереди я сосчитал:
6+2+9+3+8=28, 2+8=10, 1+0=1.
Всего мне сказали уплатить 93 руб.
А сумма цифр цены моей покупки 9+3=12,
1+2=3.
3 не равно 1, значит, продавец ошибся.
Всего за покупку мне нужно было уплатить
91 рубль (9+1=10, 1+0=1).
Зная о найденной закономерности, можно легко и просто проверить, верна ли названная кассиром сумма.
https://www.nkj.ru/archive/articles/4574/