В процессе обсуждения прежних работ и лекций у читателей и слушателей возникло много вопросов, на которые невозможно ответить «парой фокуснических фраз». Поэтому придётся подробнее и яснее изложить самые фундаментальные и с виду самые простые почти очевидные положения. Но самое простое при исследовании оказывается самым сложным.
Самое трудное понятие в основаниях мироздания и знания – понятие точки, как уже излагалось в конспектах прежних лекций. Это понятие заслуживает повторного внимания.
С одной стороны, точка не имеет никаких атрибутов, - с другой стороны, она может быть входом в целый иной мир, за ней может скрываться через перпендикуляр к отрезку, на которой она лежит, не менее сложный мир. Но тут нужна оговорка. Мы сразу стали оперировать понятиями из геометрии: «отрезок», «перпендикуляр», - не определив их предварительно, что, вообще говоря, некорректно. Как это делается в геометрии, изложение вы легко найдёте, хотя и в этом изложении возникают нетривиальные вопросы аксиоматики. А ещё мы предположили возможность существования иных миров, сразу подспудно введя очень «сильную» аксиому.
Естественно, следующим шагом мы введём множество точек. Считается, почти очевидным, что далее в геометрии можно ввести понятия прямой, отрезка, плоскости. Но можно ли при этом обойти понятие непрерывности. Но стоит это понятие ввести, как мы попадаем в парадоксы: в окрестности каждой точки бесконечное множество других точек! Но если бы только бесконечное – оно неисчислимо бесконечное! И тут мы должны подсоединить фундаментальное понятие числа. Прежде всего, натурального. Существует материалистическая традиция и иллюзия, что человеческая практика определила первые математические понятия, что счёт и земледелие их потребовали, создали и употребили. Насчёт потребления и необходимости спору нет. Но ведь в практике высших животных тоже есть различения множеств, линий, пространства; поэтому необходимость и потребительство и тут присутствуют как аргументы. Но абстрактного мышления нет даже у самого продвинутого животного. Да и у детей поначалу абстрактное мышление отсутствует. Два яблока они отличают от одного яблока. Но понимание того, что такое два вообще, требует большой мудрости. И даже люди, считающие себя вполне образованными, обладают понятием числа довольно поверхностно, инерционно, чисто потребительски, не задумываясь над обоснованием и основанием. Большая разница, быть открывателем идеи, создателем программы или её пользователем.
Но положим, что эту мудрость мы успешно одолели и поняли, что есть натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, …Он бесконечен. Его бесконечность – это некоторый эталон, «единица» бесконечности. Получается каждое последующее число прибавлением единицы к предыдущему (мы вводим понятие операции сложения). Потом оказывается, что можно получать эти числа и сложением, в том числе многократным (вводим так умножение) двух или нескольких чисел. Но такими операциями нельзя получить единицу (она эксклюзивна, она выделена особым образом). В таком случае математики говорят, что натуральные числа образуют группу относительно операций сложения и умножения (это значит, что можно иногда не задумываться (не начинать рассуждения каждый раз сначала) при применении этих операций к натуральным числам (и особенно к множеству натуральных чисел). Математика именно таким образом даёт «экономию» мышления.
На самом деле абстракция натурального числа ещё не осмыслена в истории науки.
Я утверждаю гораздо большее: АБСТРАКЦИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА ЯВЛЯЕТСЯ ДАРОМ АБСОЛЮТА И ГЕНЕРАТОРОМ, И ПРОГРАММОЙ ВСЕХ ВСЕЛЕННЫХ.
Вселенные являются только цугами (обрезками) волн, излучаемых этой абстракцией из абсолюта – ещё более фундаментального производящего абстрактного начала.
Для понимания этого далеко идущего утверждения вернёмся к понятию точки. Мы всегда говорим о принадлежности точки тому или иному множеству, но, с другой стороны, это множество само составлено из точек и ими определено. Что первичней: яйцо или курица?
Казалось бы, точки можно сосчитать – поставить в соответствие каждой точке её номер – натуральное число. И каждое натуральное число можно изобразить точкой на отрезке. Но на самом деле это распространённая иллюзия, огрубление или просто ошибка. Даже на бесконечно малом отрезке совсем другое бесконечное множество точек (намного «более бесконечное»), нежели бесконечность натуральных чисел. С этим связана настоящая историческая и научная, и человеческая, и божественная трагедия. Трагедия и познания, и самого мироздания.
КАК УСТРОЕН МИР? Всё можно в принципе сосчитать. Причём в реальном, физическом мире всё конечно, всё разделено, дискретно. Поэтому выделяются разные разности. Конечно число элементарных частиц, растений, животных, людей, звёзд. Их много, но всегда, даже если их множество растёт, их число конечно. В этом принципиальное отличие физики от математики, нашей реальности от абстрактной. В абстрактной реальности, или в Абсолюте, число объектов, например, точек, может быть не только бесконечным, но и принципиально неисчислимым, несчётным (как принято определять в математике, невозможно перенумеровать, или поставить в соответствие множеству натуральных чисел). Абсолют, математический мир неизмеримо более сложен, богат, нежели физический мир.
Тут я абсолютно расхожусь с Гегелем, который конкретную реальность и соответствующие понятия считал более богатыми по содержанию, нежели абстракции, рассматривая за последними только свойство отвлечения от содержания (а стало быть, «обеднения»), но Гегель при этом совсем «забывал», что абстракции вслед за отвлечением и расщеплением затем неизбежно возвращаются, объединяются и дают поразительно точные модели, результаты, прогнозы и закономерности физической реальности. А вот мания величия, схемосозидание и навороченная диалектическая логика Гегеля не дали никаких позитивных результатов, кроме прояснения некоторых моментов «старой» диалектики.
Теперь немного порассуждаем в духе логического анализа движения тел. Элеаты, продолжая пифагорейские традиции, пришли к парадоксальным логическим выводам, сформулированным в виде апорий. Известная апория Зенона «Ахиллес и черепаха» два тысячелетия подвергается философско-логическим толкованиям с позиций диалектических антиномий «непрерывность-дискретность», «многое-единое». Но я не видел доступного для любого школьника изложения сути этого парадокса. Поэтому я обращаюсь к этому парадоксу в некотором смысле с новой позиции, новой аксиоматики.
Суть основной физической аксиомы заключается следующем:
ФИЗИЧЕСКИЙ МИР ДИСКРЕТЕН И КОНЕЧЕН. В НЁМ НЕТ НЕПРЕРЫВНОСТИ. ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ, ЭНЕРГИЯ И ВСЕ ДРУГИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДИСКРЕТНЫ.
Действительно, если допустить непрерывность пространства, то никакое движение никакого кванта невозможно, поскольку движение является взаимодействием со средой, с окружением. При допущении непрерывности возникает взаимодействие с бесконечным несчётным множеством точек, т.е. такой же перебор точек, как это делают черепаха и Ахиллес. Мало того, движение при этом вообще невозможно (бесконечный путь, делённый на любую скорость, даёт бесконечное время)!
Но не следует ликовать и представителям атомизма: движение атомов также невозможно из-за допущения пустоты, поскольку пустота предполагает ту же непрерывность и наличие точек (пусть и с нулевым взаимодействием, но которое надо преодолеть), к тому же любое нарушение симметрии или покоя в виде слабой флуктуации вызвало бы массовый поток атомов, не сдерживаемых пустотой.
Единственное решение парадокса заключается в признании дискретности пространства, времени и скачкообразности движения. Пространство в его трёхмерном восприятии составлено будто из квантов типа тетраэдров, а время - будто из квантов-периодов. Можно выбирать и скакать по разным путям, можно пропускать некоторые кванты пространства, но можно ли пропустить кванты времени, проскакать их? Ответ: всё зависит от выбора направления и траектории движения. Ведь мы и получаем эффект пропуска времени при увеличении скорости и выборе кратчайшего пути. Мы можем найти в пространстве такие изгибы, кручения, сближения, сингулярности или даже вызвать их искусственно, что можем сэкономить время эволюции и оказаться досрочно в нужном времени и желанном месте.
Возникает вопрос: почему же в таком случае хорошо «работают» дифференциальное и интегральное исчисления, функциональный анализ, для которых непрерывность, непрерывные продолжения являются важнейшими положениями? Ответ: всё дело в размерах квантов. Они настолько малы, что пока эффекты их дискретности, квантованности не проявляются, можно спокойно принимать их непрерывными. Наше зрение так и воспринимает многие дискретности непрерывными. Но стоит углубиться в познание, эффекты дискретности начинают проявляться, и на определённом этапе приходится признать, что парадигма непрерывности являлась лишь приближением, что она не всегда хорошо «работает».
Но вернёмся к обещанному раскрытию «трагедии». Вначале с дискретностью всё было хорошо в том смысле, что дискретности реальности вполне соответствовала дискретность чисел. Была введена метрика. Мера вещей и явлений могла быть составлена из отельных частей. Всё было в гармонии. Всё можно измерить. Всё соизмеримо. И вдруг у учеников, последователей Пифагора возникли разногласия.
Рассказывали, что пифагореец Гиппас из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), обнаружил, что одних рациональных чисел мало для описания соотношений между двумя реально существующими величинами одинаковой природы. Так, длина диагонали квадрата связана с длиной его стороны таким соотношением, что сторона квадрата несоизмерима с его диагональю, откуда следует, что диагональ не выразима рациональным числом. А множество рациональных чисел счётно, тогда как множество иррациональных чисел несчётно. Миф утверждает, что разъярённые пифагорейцы выбросили Гиппаса за борт за такое нарушающее гармонию открытие…
Действительно, гармония мира рухнула в одночасье. Оказалось, что боги, творя мир, «сэкономили», обманули на средствах: говоря современным языком, дали в реальности счётные конечные множества, а все богатство несчётных бесконечных множеств оставили в абсолюте…
Пифагорейцы скрывали этот факт. Позже элеаты, напротив, стали всячески подчёркивать эту дисгармонию.
Основатели дифференциального и интегрального исчислений Лейбниц, Ньютон и другие математики не очень были озабочены логическими парадоксами, потребности промышленной революции, познавательной практики утвердили примат прагматического подхода и эффективных методов моделирования и вычислений над метафизическими обоснованиями и измышлениями, что в ещё большей степени стало наблюдаться с появлением квантовой теории. Вроде бы дискретность вновь вернулась и обоснование математики и физики стали актуальными, но эта актуальность стала задачей лишь высшей элиты. Огромная армия учёных занялась прикладными исследованиями, дающими, естественно, материально ощутимые эффекты, новые технологии, стратегические и финансово-экономические выгоды.
Гении же (примерно: бог Тот-Джехути-Гермес-Трисмегист, Фалес, Пифагор, Парменид, Платон, Диофант, Эратосфен, Евклид, Декарт, Ферма, Эйлер, Гаусс, Риман, Вейерштрасс, Пуанкаре, Клейн, Харди, Рамануджан и др.) продолжали интересоваться натуральными числами, особенно простыми числами, прогресс в исследовании которых является абсолютно космическим мерилом уровня цивилизации.
В заключение я хотел бы ещё раз ответить на вопрос о том, как абстрактный абсолют порождает конкретный материальный мир. В соответствии с аппаратом вторичного квантования абстрактный математический объект – оператор порождения частицы действует на физический вакуум (который не является пустотой и чаще всего не проявляется и в каком-то смысле является чем-то между абстрактным и материальным; заметим также, что физические поля на самом деле не являются непрерывными, а являются квантованными, дискретными), в результате чего возникает частица и его волновая функция как распределение плотности вероятности нахождения частицы в разных местах пространства одновременно. Оператор уничтожения, естественно, уничтожает частицу. Это как в детской «чик-игре»: чик – и выключилась реальность, чик – включилась…
Не знаю, продвинул ли я мысли кого-то. В следующей миниатюре я хочу базе этой миниатюры построить миниатюру о душе, абстрактном мышлении, личности, её судьбе и её связи с абсолютом.