Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A', A'', A''' – первая, вторая, третья, A_(k) – k-я и т.д. цифра от конца числа A;
A_[k] – k-значное окончание числа A. Без этих обозначений текст удлинняется втрое.
Числа А, В, С в равенстве Ферма особые: если они не оканчиваются на ноль (т.е. не кратны n), то их [k+1]-значные окончания являются [k+1]-значными окончаниями сложностепенных чисел a'^{n^k}, b'^{n^k}, c'^{n^k}. При этом все остальные цифры (не считая последних нулей в числе кратном n, если такое есть) НИКАКОГО участия в доказательстве не принимают! Получается, что в равенстве Ферма участвуют лишь три последние значащие цифры чисел А, В, С. Поэтому к моему доказательству ВТФ ни величина чисел А, В, С, ни их простые сомножители отношения не имеют и, следовательно, на него (т.е. доказательство) не распространяется якобы существующая теорема о недоказуемости ВТФ.
Сложностепенные числа a^{n^k}, b^{n^k}, c^{n^k] примечательны тем, что их [k+1]-значные окончания никак не зависят от [k+1]-значных окончаний их оснований (a, b, c), которые определяются только их последними цифрами a', b', c', что возможно только в системе счисления с простым основанием и что легко вытекает из бинома Ньютона. (Вот почему я исследовалал равенство Ферма в основном в такой системе счисления.)
Еще одно восхитительное свойство сложностепенных чисел мы наблюдаем в случае последней цифры их основания равной 1: их [k+1]-значное окончание равно... 1! Ну разве это не изящно?! Например, при k=1 (это стартовая ситуация в равенстве Ферма) такое число оканчивается на 01. Ну а поскольку любое число с ненулевой последней цифрой, позведенное в (n-1)-ю степень оканчивается на цифру 1 (в этом и состоит содержание малой теоремы Ферма), то [k+1]-значное окончание сложностепенного числа, не оканчивающегося на ноль, в (n-1)-й степени также равно 1!
Не думаю, что идея рассмотреть числа А, В, С в равенстве Ферма как окончания сложных степеней впервые пришла в голову мне (хотя такие случаи мне не известны). Но я обнаружил фантастическое свойство сложностепенных чисел с последней цифрой основания большей 1, которое человеку с математическим чутьем кажется просто нереальным: [k+2]-значное окончание A^n_[k+2]=a'^{n^(k+1)}_[k+2] не может являться произведением двух окончаний сложностепенных чисел, у которых [k+2]-значное окончание второго числа не равно 1! Иными словами, если окончание
1°) A^n_[k+2], или a'^{n^(k+1)}_[k+2]=(bc)_[k+2], где c'=1, то непременно c_[k+2]=1 и b_[k+2]=a'^{n^(k+1)}_[k+2]!
И вот поверить в это равенство в таком готовом виде человеку даже с очень большой математической интуицией так же невозможно, как поверить в существование вечного двигателя первого рода. Но «Провидение» подвело меня к нему с черного хода!..
Малую теорему Ферма как инструмент для обнаружения противоречия я использовал давно. В частности, нашел красивую формулу для получения бесконечного множества простых чисел m вида m=dn^k+1 (к сожалению не по отдельности, а в виде их произведений). Но в этих случаях я возводил в (n-1)-ю степень каждое из двух слагаемых. А в случае сложностепенных чисел я столкнулся с произведением сомножителей. И поскольку я был уже на последнем издыхании – ибо перебрал все инструменты, наработанные за 28 лет, то мне ничего не оставалось, как поставить на кон последнюю фишку: проверить равенство 1° на зубок – в (n-1)-й степени! И еще не производя вычислений, я почувствовал, что оно обещает противоречие!
В самом деле: если равенство 1° с сомножителями, отличными от значений в 1°, выполняется по [k+2]-значным окончаниям, то на этих окончаниях равенство должно сохраниться и после возведения его в (n-1)-ю степень. Но тут оно вполне определенно НАРУШАЛОСЬ! И это было похлеще «недоказуемости» теоремы Ферма! Не это ли обстоятельство так восхитило автора Великой теоремы?!
А вот проверка этого факта ни малейшей трудности не составляет для любого, кто знает бином Ньютона, ибо, не считая его, сама арифметика состоит в перемножении двух двучленных чисел – правда, в общем виде, на буквах. При этом при любом значении k вычисления будут абсолютно одинаковыми, а потому мы проверим на противоречие лишь случай с k=1. Покажем, что если в равенстве 1° вместо окончаний b[3]=a'^{n^2}_[3] и c_[3]=1 взять b°_[3]=x00+b'^{n^2}_[3] и c°_[3]=y00+1, то равенство a'^{n^2}_[3]=(b°c°)_[3] будет НЕВОЗМОЖНО! (Здесь x и y – ЦИФРЫ, которые определяются вторыми цифрами b'' и c'' чисел b и c.)
А теперь смотрите, что получается. При любом значении х всегда можно найти такое значение у, что равенство 1° будет соблюдаться [при условии x=(-b'y)']. НО! Стоит нам возвести равенство в (n-1)-ю степень, как по [3]-значным окончаниям оно ИСЧЕЗАЕТ!
И действительно, после возведения (n-1)-ю степень [3]-значное окончание левой части становится равным 001 и, следовательно, третья цифра становится равной нулю.
Теперь возведем (n-1)-ю степень правую часть. При этом в биномах Ньютона нам потребуется учесть всего лишь два последних члена.
Трехзначное окончание числа c_[3]=y01 (т.е. у00+1) после возведения в (n-1)-й степень станет равным (n-1)y+1 с третьей цифрой [(n-1)y]' [напомню: здесь x и y – цифры!].
Поскольку b°_[3]=x00+b_[3]=x00+a'^{n^2}_[3] [где трехзначное окончание второго слагаемого в (n-1)-й степени равно 001], то трехзначное окончание числа b°_[3] в (n-1)-й степени будет равно [(n-1)x00(b'^{nn}')^{n-2}+1]_[3], где b'^{nn}'=b' (см. малую теорему), а потому третья цифра числа b°^{n-1} будет равна [(n-1)x(b')^{n-2}]', или [(n-1)x(b')^{n-1}/b']', где a'^{n-1}'=1.
И теперь третья цифра самого произведения (b°c°)n-1 будет равна: [(n-1)x/b'+b'(n-1)y]' [=0!], откуда x=-b'b'y, где b'=/=1. И мы получили противоречие с n-й степенью: x=-b'y.
Тем самым мы должны признать, что истинные значения: c[3]=1 и b[3]=a'^{n^2}_[3], или в общем случае: c_[k+2]=1 и b_[k+2]=a'^{n^(k+1)}_[k+2].
Ну а сама Великая теорема Ферма теперь выеденного яйца не стоит: в равенстве Ферма [k+1]-значные окончания чисел A, B, C являются окончаниями n^k-х степеней однозначных чисел A', B', C', где k стремится к бесконечности.