/Иное изложение. Решающий инструмент для доказательства ВТФ./
Доказательство рассматривается в системе счисления с простым основанием n>2.
Обозначения: A', A'', A''' – первая, вторая, третья, A_(k) – k-я и т.д. цифра от конца числа A; A_[k] – k-значное окончание числа A. Итак,
Лемма о степенных окончаниях в произведении двух степеней
Если a^n*p^n=A^n, где a^n_[k+1]=a'^{n^k}_[k+1], p^n_[k+1]=p'^{n^k}_[k+1]=1, A^n_[k+2]=a'^{n^(k+1)}_[k+2], a) k>0, b) 1<a'<n, c) p'=1, то a_[k+1] = a'^{n^k}_[k+1] и p_[k+1] = p'^{n^k}_[k+1]=1.
Доказательство. (Для облегчения понимания расчет приводится лишь для k=1, т.е. для значений a^n_[2]=a'^{n^1}_[2], p^n_[2]=01 и (ap)_[3]=a'^{n^2}_[3]. Для k>1 расчет аналогичный.)
Логика доказательства. Если окончания a^n_[3] и p^n_[3] не являются окончаниями a^{nn}_[3] и p^{nn}_[3] (согласно требованию Леммы), то равенства a^n*p^n=An и a^{n(n-1)}*p^{n(n-1)}=A^{n(n-1)} противоречивы по третьим цифрам (т.е. по mod n^3), что мы и покажем.
Действительно, допустим, что трехзначные окончания чисел a^n и p^n в третьих цифрах отличаются от a^{nn}_[3] и p^{nn}_[3] на x и y соответственно (при том же значении A^n!). Тогда из третьей цифры произведения (x00+a'^{n^2}_[3])(y00+1)_[3] [здесь x и y – цифры!] мы находим, что третья цифра [в A^n'''=(a'^{n^2})'''] изменилась на значение (x+a'y)', которое равно 0. Откуда x=-a'y.
А теперь вычислим влияние x и y в произведении (a°^{n(n-1)}_[3]*p°^{n(n-1)}_[3])_[3] [=a'^{nn(n-1)}[3]=001] после возведения равенства a^n*p^n=An в степень n-1.
Трехзначное окончание числа y01 в (n-1)-й степени станет равным (n-1)y+1 с третьей цифрой [(n-1)y]' [здесь x и y – цифры!].
Поскольку a°[3]=x00+(d^{nn})[3], то трехзначное окончание числа a°_[3] в (n-1)=й степени будет равно [(n-1)x00(a'{nn}')^{n-2+1]_[3], где a'^{nn}'=a' (см. малую теорему), а третья цифра числа a°^{n-1} будет равна (n-1)x(a')^{n-2}, или [(n-1)x(a')^{n-1}]/a', где a'^{n-1}'=1.
И теперь третья цифра произведения (a°^n*p°^n)^{n-1} будет равна: (n-1)x/a'+a'(n-1)y [=0], откуда x=-a'a'y, где a'=/=1. И мы получили противоречие с n-й степенью: x=-a'y.
Тем самым мы должны признать, что истинные значения: a_[k+1] = a'^{n^k}_k+1] и p_[k+1] =1.
В равенстве Ферма числа A, B, C являются однозначными числами A', B', C' в степени n^k, где k неограниченно велико. Но об этом в другой статье.
===================
Контрольный текст см. на сайте: http://rm.pp.net.ua/