К 100-летию со Дня рождения МАМЫ
Не секрет, что либеральные нравственные ценности во многих странах запрещены даже законодательно, общеизвестно. Гораздо интереснее другое: часто запрещена ЛОГИКА! Нередко запрещено даже само научное любопытство! Так, со всех российских и с половины зарубежных научных интернет-форумов меня удалили лишь за размышления над Великой теоремой Ферма (ВТФ) и попытки ее доказательства. Вообще-то меня это не очень удивляет – цивилизация все еще находится в состояниии дремучего Средневековья. За шестьдесят лет своей научной и педагогической деятельности я встретил от силы двух-трех человек с наличием научного любопытства. Любопытства не к результатам науки – этого навалом, – а к самой научной МЫСЛИ, причем хоть в какой-нибудь области!.. Хотя, конечно, такие люди на Земле есть. Им-то я и адресую этот рассказ.
Сама по себе Великая теорема Ферма имеет для науки несущественное значение. Без ее доказательства мир прожил три с половиной столетия и мог бы жить, наверное, вечно. Однако ж встречаются люди, и я в их числе, которым такое положение «западло», т.е. унизительно. Другие люди пусть как хотят это переваривают, а мне унизительно. Но перед кем? – Перед потомками.
Разумная цивилизация появилась на Земле в тот момент, когда на ней появился первый Человек – не обезьяна. Им был... изобретатель огня! На Земле еще не было никаких наук, а он на пустом месте изобрел Чудо. (По-видимому, в надежде овладеть его умстенными способностями, соплеменники его съели.) Мне совершенно наплевать, как к этому факту относится человечество. Но лично я перед Первым человеком, спасшим человечество от вечного обезьяньего рабства, преклоняюсь. И не только за подвиг, но и за любопытствующий УМ!..
Вот и я 37 лет я ищу то, чего, по мнению почти всех людей, существовать не может, а именно: элементарное доказательство Великой теоремы. И ищу лишь потому, что я НЕ ВЕРЮ, что Пьер Ферма солгал или ошибся – мне такая гипотеза кажется нелогичной. А если так, то я должен предъявлять претензии к себе, к своему интилекту! И потому, пока я жив, я не успокоюсь.
Вот и сегодня: выдаю на-гора очередное доказательство. Надеюсь, что тому, кто любит МЫСЛЬ, оно понравится. Тем более, что в нем практически нет расчетов.
***
Понятно, что совсем без чисел объяснить идею доказательства невозможно. Поэтому напомню условие теоремы для приведенного, базового, случая (к которому сводятся почти все остальные) – для взаимно простых натуральных A, B, C, простого n>2, в системе счисления с простым основанием n>2. Так вот, равенство
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B)R и A^n=C^n-B^n=(C-B)P, B^n=C^n-A^n=(C-A)Q],
не имеет решения в целых числах.
Приступая к исследованию, я не допускал наивной мысли, что между малой и Великой теоремами лежит непаханное поле, а потому с самого начала стал исследовать области, прилегающие к малой теореме Ферма: системы счисления с простым основанием, сложные степенные биномы, цифровые окончания в сомножителях чисел P, Q, R и др. В частности, я доказал теорему (Теорему о степенном биноме – ТСБ), согасно которой каждый простой сомножитель (за исключением n) числа R (P, Q) оканчивается на цифру 1. (Кстати, именно здесь Пьеру Ферма понадобилась теория линейных диофантовых уравнений...) Представляется, что именно эта теорема подсказала П.Ферма идею доказательства Великой теоремы.
А сама же идея заключалась в том, чтобы использовать тот факт, что каждое из чисел А, В, С соджержит сомножители, оканчивающиеся на цифру 1 – назовем их е-числами и их произведения в каждом из чисел А, В, С обозначим числами А’, В’, С’, а произведения всех остальных соможителей – числами А'', В'', С''. Таким образом,
2°) А=А’А'', В=В’В'', С=С’С''.
Единственная новая теорема, необходимая для понимания доказательства ВТФ и на которую за четыре столетия, судя по всему, никто не обратил внимания, звучит так:
«Для того, чтобы число A делилось на В, необходимо, чтобы сомножитель А'' делился на сомножитель В''». И наоборот: если А'' не делится на В'', то А не делится на В ни при каких сомножителях А’ и В’. Вот из этих двух простейших утверждений и вытекает КЛЮЧЕВАЯ Лемма для доказательства ВТФ: из равенства А=В следует, что А''=В'', а числа в парах А’ и А'', В’ и В'', С’ и С'' являются взаимно простыми!
Но из этого следует важный вывод: если единичные окончания чисел А’^n, В’^n, С’^n имеют длину в k цифр (min k = 2), то на этой длине окончаний выполняется и равенство
3°) С''^n=А''^n+В''^n [А''^n=С''^n-В''^n, В''^n=С''^n-А''^n] (mod k).
Но тогда, согласно формулам разложения степенных биномов, правые части равенств распадаются на пары сомножителей:
4°) С''^n=(А''+В'')R [А''^n=(С''-В'')P, В''^n=(С''-А'')Q] (mod k). Здесь R, P, Q иные, чем 1°, но по окончаниям они совпадают. Но главное, ВСЕ их сомножители есть е-числа.
Разумеется, могут возникнуть е-числа и в первых сомножителях: А''+В'', C''-В'', C''-A'', которые в соединении с е-сомножителями R, P, Q, образуют общие е-сомножители правых частей равенств 4°, но при этом первые сомножители А''+В'', C''-В'', C''-A'' свои е-сомножители теряют. В итоге мы получаем равенства:
5°) С''^n=(А''+В'')''R’ [А''^n=(С''-В'')''P’, В''^n=(С''-А'')''Q’] (mod k).
Но еще важнее второе обстоятельство: поскольку числа в парах (А''+В'')''R’ и [А''^n=(С''-В'')'' и P’, В''^n=(С''-А'')'' и Q’] являются ВЗАИМНО ПРОСТЫМИ, то каждое из них является n-й степенью и в частности:
6°) А''+В''=c''^n, C''-В''=a''^n, C''-A''=b''^n (mod k*), где 1<k*<=k. Откуда находим:
7°) 2(А''+В''-C'')=c''^n-a''^n-b''^n=0 (mod k*).
Однако это равенство возвращает нас на позиции равенств 4°, т.к. правые части в каждом из равенств
8°) c''^n=a''^n+b''^n, a''^n=c''^n-b''^n, b''^n=c''^n-a''^n вновь образуют е-сомножители
9°) c''^n=(a''+b'')r [a''^n=(c''-b'')p, b''^n=(c''-a'')q] (mod k*).
И мы повторяем рассуждения от 4° до 9°. И так до БЕСКОНЕЧНОСТИ. То есть числа A, B, C содержат бесконечное множество е-сомножителей и, следовательно, равенство Ферма 1° в целых числах невозможно.
Случай же, когда одно из чисел A, B, C кратно n ни малейших осложнений не вызывает: после отбрасывания е-сомножителей радикала R (P, Q) единственный сомножитель n дополняет до n-й степени сомножитель-двучлен.
Мезос. 6 февраля 2017