Напомню каноническое условие теоремы для первого случая (ABC не кратно n): для взаимно простых натуральных A, B, C, простого n>2. Доказательство рассматривается в системе счисления с простым основанием n.
Итак, допустим, что возможно равенство
1°) A^n+B^n=C^n, [=(A+B)R и A^n=C^n-B^n=(C-B)P, B^n=C^n-A^n =(C-A)Q], где, как известно,
2°) последняя цифра в числах A^{n-1}, B^{n-1}, C^{n-1}, P, Q, R есть 1 (следствие из малой теоремы Ферма).
Доказательство ВТФ
Из 1°-2° следует система равенств (числа A^{n-1}, B^{n-1}, C^{n-1}, P, Q, R оканчиваются на цифру 1!):
3°) AA^{n-1}+BB^{n-1}-CC^{n-1} =A^n+B^n-C^n=0=(C-B)P+(C-A)Q-(A+B)R=C(P+Q)-A(R+Q)-B(R+P),
И тогда в левой части равенства 3° все вторые сомножители оканчиваются на цифру 1, а в правой – на цифру 2 – при ТЕХ же первых сомножителях.
Если это обстоятельство порождает противоречие равенства Ферма, то оно измеряется целым числом и не может быть меньше 1. При этом при бесконечно малом приближении числа C; к C (при фиксированных A и B) неравенство A^n+B^n=/=C^n будет сколь угодно (меньше, чем на единицу) отличаться от равенства, но величина отличия будет стремиться в лучшем случае к 1 и ни в коем случае к нулю. (Трудность заключается лишь в понимании этого логического вывода.)
Из чего следует невозможность равенства Ферма.
Рассуждения остаются верными и для второго случая (например, C кратно n): вторые сомножители в левой части оканчиваются на 01, 01, 00, а в правой – на 11, 11, 02 – при ТЕХ же первых сомножителях – A, B, C.
Мезос, 13 марта 2017