Частный дифференциал и полный - запутанный вопрос?
В школе мы изучаем функции от 1-го лишь аргумента. А поэтому и производная для них всего одна. Но как только в функцию добавляем мы еще 2-ой аргумент, так вот и начинается явление новое для нас, частная производная (и частный дифференциал) И это при том, что полную производную (и полный дифференциал) не отменили. Поэтому путаница в голове и возникает, между частным чем-то, ну и полным.
Вот давайте и разберёмся в этом вот вопросе.
Частная производная по x определяется вот так:
df(x,y)/dx=lim(Df(x,y)/Dx,Dx->0)
Соответственно частная производная по y определяется вот так:
df(x,y)/dy=lim(Df(x,y)/Dy,Dy->0)
Но давайте мы частные производные обозначим по-другому:
df(x,y)/dx = f’(x)(x,y)
df(x,y)/dy = f’(y)(x,y)
Потом понятно будет, почему.
Так каков же полный этой функции дифференциал, то есть приращение функции, линейное (в теории бесконечно малых) относительно приращения её аргумента?
А если аргументов функции 2? То получится такой вот полный дифференциал:
df(x,y)= f’(x)(x,y)*dx+ f’(y)(x,y)*dy
Который, как мы видим, равен сумме дифференциалов частных:
f’(x)(x,y)*dx = df(x)(x,y)
f’(y)(x,y)*dy = df(y)(x,y)
(где df(x)(x,y) и df(y)(x,y) - обозначенья частных дифференциалов)
Так какая же полная производная отсюда? А по какому аргументу? Сразу по двум – такой вот производной нет (по определенью) Найдём тогда полную производную по x: (А1-)
df(x,y)/dx= f’(x)(x,y+ f’(y)(x,y)*dy/dx
Которая, теперь понятно, зависит от dy/dx, то есть от направления того (на плоскости x0y), по которому мы будем идти, значение полной производной определяя. (или, интереснее еще, от функции y(x), со всеми «изгибами» её)
Ну а при каком условии полная производная равна частной? Если производная по х, то условие это такое:
dy/dx=0
Если же производная по y, то условие для этого иное:
dx/dy=0
И вроде бы, с математики точки зренья, это одинаковые условья.
Но на самом-то деле:
dy/dx=0 => y=const(x)
dx/dy=0 => x=const(y)
то есть на самом деле совершенно разные функции это.
А теперь рассмотрим мы две функции такие:
f(x,y)=a*x+b*y => df=a*dx+b*dy (1)
g(x,y)=c*x+d*y => dg=c*dx+d*dy (2)
И найдём для этих функций производную такую:
df(x,y)/dg(x,y)=(a*dx+b*dy)/( c*dx+d*dy) (5)
Но нам же нужно, чтобы справа была функция от g. А поэтому мы решим систему эту относительно x и y:
x=(d*f-b*g)/(a*d-b*c) (3)
y=(a*g-c*f)/( a*d-b*c) (4)
Но если мы теперь подставим это в (1) и (2), то … тождество получим: 0=0
Как же нам найти производную эту? Учитывая (5) и поделив (знаменатель и числитель) на dy, мы получим:
df(x,y)/dg(x,y)=(a*dx/dy+b)/(c*dx/dy+d) (6)
В итоге, при dx/dy=0, получим:
df(x,y)/dg(x,y)=b/d
Если же поделить на dx и допустить, что dy/dx=0, то выходит:
df(x,y)/dg(x,y)=a/c
Но как же может такое быть? Что одна и та же величина равняется значениями разным, и притом константам? А только при таком условьи:
b/d= a/c => b*c=d*a => b*c-d*a=0
Но, что странно, решения системы (1+2) при этом условьи как раз не существует! Так что ж нам делать? Да очень просто: а почему системы этой решения не существует? Да очень просто: потому при этом (выполнении условия b*c-d*a=0) тождеством становится 1-ое уравнений системы этой, в рамках, конечно, решения 2-го уравненья вот такого: y=(g-c*x)/d
Вот в итоге и выходит, что для любого f найдётся соответствующий g, то есть функция получается, f от g. Что нам и нужно было, чтоб существовала производная функции этой.