назад http://www.proza.ru/2016/12/11/1301
Динамика материальных линий
Ну что ж, пришёл черёд заняться и динамикой линий. И, если со школы мы динамику знаем, то знаем и 2-ой закон Ньютона, вот он:
a(t)=F(t)/m,
где
a(t) – ускорение тела
F(t) – сила, действующая на тело
m – масса тела
И в этом вот законе позволено, как мы видим, во времени движенье. Но движения по внутренней координате тела-линии нет. Так что же нам делать? Как нам получить 2-ой закон Ньютона для линий?
А что если задачу нам поставить вот такую: допустим тело-линию мы разбили на очень малые, элементарные-таки отрезки (длиною dks), которые точками можно счесть, тогда как нам найти ускоренье каждой такой точки? Сначала займёмся мы нахождением массы такой точки. Которая, как известно, с плотностью связана вот так:
ro=m/V => m=ro*V
где
ro – плотность материала тела
m – масса тела
V – объем тела.
Но, поскольку исследуемое нами тело 1-мерно, то надо перейти нам к погонной плотности тела (ro1), а именно вот так:
ro1=m/l => m=ro1*l,
Где
l – длина тела
Но такая формула, понятно, применима, если плотность материала тела одинакова по всему телу (а иначе это формула для плотности средней) Но как найти локальную плотность тела, то есть в данной точке тела? А вот так, вестимо:
Ro(ks)=dm(ks)/dks
И что мы сделали опять же тут? Мы тело распилили на бесконечные малые отрезки, dks всего длиною, а потом определили каждого массу. Вот и получилось dm(ks).(с помощью предельного перехода, для ro(ks))
А отсюда масса точки тела такова:
dm(ks)=ro(ks)*dks,
где
ro(ks) – плотность материала тела в свободном состоянии, которая для однородного материала ro(ks)=ro1
Но если тело деформируется наше, под воздействием каких-то сил? То плотность-то другая станет, в данной точке! А именно, такая:
ro(ks)=ro1/e(ks) =ro1/(dx/dks)=ro1*dks/dx
где
e(ks) – локальное растяжение тела в данной точке.
(ибо понятно: чем растяжение тела больше, тем меньше его плотность)(А5-)
И что же получается в итоге?
dm(ks)=ro(ks)*dks = ro1*dks/dx*dks = ro1*d2ks/dx
А поэтому правильно так:
dm(ks)=ro(ks)*dx = ro1*dks/dx*dx= ro1*dks (1)
Что и логично: масса точки тела не зависит, насколько деформирована эта точка.
Теперь перейдём мы к определению равнодействующей силы, действующей на данную точку тела. И это тоже просто: слева от точки на неё действует сила F(ks), ну а справа F(ks+dks), то какова равнодействующая сила, действующая на эту точку? И на 1-ый взгляд, всё просто: надо просуммировать силы эти. Но, то что было верно для реальной точки, неверно для точки дифференциальной. А именно потому, что результат зависит от того, как направлены эти силы.
А именно, если встречно, то равнодействующая их такова: F(ks+dks) - F(ks) = dF(ks)
(а вовсе не dF(dks), как подумалось раньше, по аналогии с DF(Dks),
(где D – уже не дифференциалы, а приращения будут), а именно потому, что dks->0 => ks+dks-> ks)
(и, если равнодействующая эта >0, то данная точка растяжима будет, а если же <0, то сжимаема будет точно)
Если же силы направлены попутно, то складывать их совсем не нужно, ибо сила F(ks) (изначально) – это и есть та сила, которая на всю точку тела действует, то есть в целом. А поэтому вызывает у неё лишь поступательное движенье. Чего не скажешь о силе dF(ks). Ибо это – именно деформирующая сила для данной точки тела. (А6-)
Но что ведь важно? Что реакция на деформирующую силу вовсе не по массе возникает, а по жесткости коэффициенту, который тоже, как и плотность, от материала тела зависит.(который пусть k(ks)=k1) А поэтому отсюда:
Fупр=-k*(e-1) => k=-Fупр/(e-1) => k1=-dFупр(ks)/de(ks) => dFупр(ks)=- k1*de(ks) (2),
где k1 - 1-мерный коэффициент жесткости относительно безразмерной деформации (=растяжения) тела,
[k1]=[e*E*S]=м/м*Н/м^2*м^2=Н
Но возвратимся мы ко 2-му закону Ньютона, который для материальной точки запишется вот так:
a=F/m => F=m*a
Поскольку же ускорение (равно как и скорость, и внешняя координата) относится к точке (тела), на базе этого уравненья мы вводим зависимость ускорения от точки (линии) как производную такую:
dF(ks)=dm(ks)*a(ks)+m(ks)*da(ks)
Ибо ведь, обратно, если a(ks)=a => da(ks)=0,
то получится в этом частном случае такое:
a=DF(ks)/Dm(ks) => DF(ks) =a*Dm(ks) => F(ks)-F(0)=a*(m(ks)-m(0))
Пусть теперь
m(0)=0
F(0)=0 (а какая же сила тут нужна для создания любого ускоренья чисто для начала тела, масса которого равна 0?)
(что получается за счёт выбора системы отсчёта внутренних координат. В которой начало отсчёта – это точка тела, с которой начинается тело, по курсу действия силы)
В результате мы имеем:
F(ks) = a*m(ks) => a=F(ks)/m(ks)
Если же убрать зависимость от ks в формуле последней (что и характерно для материальной точки), то вот мы и получим:
a=F/m,
то есть традиционную форму 2-го закона Ньютона.
Что и подтверждает выдвинутую нами гипотезу выше:
a(ks)=dF(ks)/dm(ks)
Если теперь учесть, что равнодействующая сила, действующая на каждую точку тела, слагается как минимум из 2-х сил:
F(ks)=Fвнеш(ks)+Fупр(ks),
То мы получим такое уравненье:
a(ks)=d(Fвнеш(ks)+Fупр(ks))/dm(ks)
Если же теперь учесть (1) , то выходит:
a(ks)=d(Fвнеш(ks)+Fупр(ks))/(ro1*dks) => a(ks)*ro1=d(Fвнеш(ks)+Fупр(ks))/dks =
= dFвнеш(ks)/dks +dFупр(ks)/dks
Теперь учтём мы (2), и получится это:
a(ks)*ro1= dFвнеш(ks)/dks +dFупр(ks) /dks = dFвнеш(ks)/dks -k1*de(ks)/dks
А, учитывая то, что
a(ks)=d^2x(ks,t)/dt^2
de(ks)/dks = d^2x(ks,t)/dks^2,
получаем вот такое уравненье:
d^2x(ks,t)/dt^2*ro1= dFвнеш(ks)/dks -k1*d^2x(ks,t)/dks^2 =>
=> d^2x(ks,t)/dt^2*ro1 +k1*d^2x(ks,t)/dks^2= dFвнеш(ks,t)/dks (3)
Если мы теперь допустим, что
Fвнеш(ks,t)=0
Или хотя бы:
dFвнеш(ks,t)/dks=0,
то получим, что бы вы думали?
Классическое волновое уравненье:
d^2x(ks,t)/dt^2*ro1 +k1*d^2x(ks,t)/dks^2=0,
которое и описывает те процессы, когда энергия больше не закачивается в колебательную (и распределённую) систему. (то есть система эта находится в равновесии с внешней тут средой)
Ну а как, спрашивается, нам в системе этой колебания (и даже волны) возбудить?
Да энергию закачивая в неё, с помощью необнулённого dFвнеш(ks,t)/dks
Что и позволит нам, наконец-то, описать процесс возбуждения в теле-линии волн, под воздействием внешней силы.