Кинематика материальных линий

Мир Когнито
Кинематика материальных линий

Изучая физику в школе, мы, как правило, привыкаем, что все тела в ней – материальные точки.
И притом несмотря на то, что в задачах школьного курса встречаются еще нити. Которые, понятно, нельзя себе представить как материальные точки. Но только если не учесть неявные условия для нитей (в таких задачах вот). А именно, что нити эти:
1)нерастяжимы; 2)невесомы.
Что и даёт нам следующие результаты:
2)если невесома нить, то для любого ускорения её (в целом) требуется нулевая сила;
1)если нить нерастяжима, то это даёт нам равенство перемещений связываемых ею (материальных) точек.
В итоге нить такую можно счесть за материальную точку, роль которой лишь связать между собою разные тела, чтобы энергию механическую от тела к телу с помощью неё передавать.

Ну а реальности мы ведь иное видим. Ну, например, если поджечь бикфордов шнур, то видим мы горение этого шнура. Которое представляет из себя распространение волны температурной по нему. Что есть предвестник кинематики линий.
А реальная кинематика линий начинается тогда, когда мы рассматривать начинаем движение реальной пружины.(то есть тела, имеющего размеры, пусть и 1-мерные при этом)  У которой каждая точка движется, вроде бы, как самостоятельная точка. Но при этом связь между движениями этими есть. И выражается она в виде некоторого дифференциального уравненья. Так попытаемся мы это уравнение написать.

Но сначала разберёмся мы вообще, как движение линии описать. И понятно, что в функции этой кроме аргумента t (время) и еще один будет аргумент – внутренняя координата точки тела (которую мы обозначим греческой буквой ksi,сокращенно ks) Которую мы получим не просто прикрепив внутреннюю систему отсчета координат к исследуемому телу, а просто-таки нарисовав на этом теле
(которое при этом обязательно должно находиться в свободном (недеформированном) состояньи)
ось координат (и отметив на ней отсчёты числовые)
Теперь введём мы и внешние координаты точки, то есть в некоторой внешней системе отсчёта координат (несвязанной то есть (и притом никак!) с исследуемым телом) Которой для 1-мерного движения тела (и обязательно вдоль себя) достаточно будет всего одной. (назовём мы эту координату x, то есть x(ks))
А отсюда получим мы функцию такую, описывающую движение всей линии нашей:
X(ks,t).
И функция эта, как мы видим, зависима уже от 2-х аргументов.

Но, по аналогии с описанием движения точки мы легко введём новых два понятья:
1)скорость тела-линии в каждой точке (в проекции на ось х):
Vx(ks,t)=dx(ks,t)/dt
2)ускорение тела-линии в каждой точке (в проекции на ось х):
Ax=dvx(ks,t)/dt

А если взять нам производные по другому аргументу, ks? То что это за понятия мы получим? А именно, сначала вот такое:
dx(ks,t)/dks = e(ks,t)
Это относительное (безразмерное) растяжение тела (=степень растяженья) в каждой его точке и в каждый времени момент.
Чтобы получше нам понять вот это, допустим частный случай вот такой:
de(ks,t)/dks=0 => e(ks,t)=e(t)
А отсюда мы такое вот получим:
dx(ks,t)/dks =e(t) => dx(ks,t) =e(t)*dks
Интегрируя по ks=[ks1;ks2] вот это, мы получим:
Dx(ks1,ks2,t) =e(t)*Dks = e(t)*(ks2-ks1) => e(t)*=Dx(ks1,ks2,t)/(ks2-ks1),
А отсюда понятно: если мы двигаемся по телу в сторону увеличения внутренней координаты и внешняя координата точки тела (определяемой её внутренней координатой) растёт, то получаем мы в итоге (на этом вот участке тела, от ks до ks2 (А3-)) положительное (безразмерное) растяжение тела. (а если же оно вдруг отрицательным станет, то это не растяжение уже, а фактически сжатье)

-А3: Ну а теперь представим, что мы станем Dks всё уменьшать и уменьшать (и в итоге устремим его к 0) (а именно, ввиду того, что de(ks,t)/dks=0 – неверно), то что мы получим? Верно, локальное растяжение тела (в данный времени момент), то еcть растяжение как бы самой этой точки, с внутренней координатой ks = ks1
(хотя понятно, что точка деформироваться не может, ибо размеров у неё нет. (ибо она 0-мерна) Ну а как мы тогда определяем мгновенную скорость точки? Если за мгновенье куда она уедет? А поэтому эту мгновенную скорость как нам определить?
Да используя дифференциальное исчисленье, придуманное еще Ньютоном
(который за него Нобелевки так до сих пор не заслужил. А хотя … конечно, Нобелевки для математиков … всё нет и нет.))

После этих вот лирических отступлений мы всё-таки 2-ую производную (по ks) возьмём:
de(ks,t)/dks. И что это такое-то, по смыслу? Скорость увеличения растяжения вдоль тела, в данный времени момент, поэтому его величину нам эту логично обозначить так: de(ks,t)/dks=ae(ks,t)
Пускай для простоты dae(ks,t)/dks=0 => ae(ks,t)=ae(t)
А отсюда мы такое вот получим:
de(ks,t)/dks =ae(t) => de(ks,t) =ae(t)*dks
Интегрируя по ks=[ks1;ks2] вот это, мы получим:
De(ks1,ks2,t) =ae(t)*Dks = ae(t)*(ks2-ks1) => ae(t)*=De(ks1,ks2,t)/(ks2-ks1),
Где D – приращение, а не дифференциал.
И интерпретируется последний результат вот так: если мы двигаемся по телу в сторону увеличения внутренней координаты и при этом растяжение точки тела (определяемой её внутренней координатой) растёт, то получаем мы в итоге (на этом вот участке тела, от ks до ks2) положительное (безразмерное) «ускоренье» растяженья вдоль тела.
Если же Dks к 0 нам устремить, то мы получим локальное «ускоренье» растяженья вдоль тела, то есть в данной точке (ks=ks1)

Но функция x(ks,t) еще один нам приготовила сюрприз, а именно, такие вот понятья:
dvx(ks,t)/dks  и de(ks,t)/dt. И, не смотря на то, что значения их равны (как нам высшая математика говорит), интерпретации для них разными будут. А именно, понятие 1-ое, dvx(ks,t)/dks – локальная скорость изменения скорости вдоль тела. Тогда понятие 2-ое, de(ks,t)/dt – это мгновенная скорость растяженья.

А отсюда нам становится понятна и общая система построения наименований этих вот понятий: Если дифференцируем по времени мы, то получаем мгновенную скорость (чего-то), тогда как если по внутренней координате, то локальную скорость этого чего-то.
Ну, например, мгновенная скорость внешней координаты – это просто мгновенная скорость, а вот мгновенная скорость скорости мгновенной – это уже просто мгновенное ускоренье. (и в этой области нам хватает привычных нам понятий)
А вот локальную скорость внешней координаты нам растяжением пришлось назвать, а вот локальную скорость растяженья логично нам назвать … локальным ускорением.
И в соответствии с этой вот системой для dvx(ks,t)/dks мы скорректируем названье: локальная скорость скорости мгновенной.

Отсюда мы можем ввести также и такие вот понятья:
1)при dvx(ks,t)/dt=0  – равномерное во времени движение тела (тогда вдоль тела движенье это может быть и не равномерным)
2)при dvx(ks,t)/dks=0  – равномерное вдоль тела движение тела
(то есть при движении вдоль тела скорость неизменна. А значит, в каждой точке тела скорость равняется v(t))
3)при de(ks,t)/dt=0  – равномерное во времени растяжение тела
(то есть во времени растяжение неизменно. А значит, в каждой точке тела растяжение равняется e(ks))
4)при de(ks,t)/dks=0 - равномерное вдоль тела растяжение тела.
При этом 2-ое и 3-ье понятье по смыслу (согласно математике) идентичны. Но как же получается такое? Ведь если в каждой точке тела скорость равняется v(t), то тело движется как одно целое при этом (хотя и разгоняется иль тормозит оно), то есть совсем без растяженья. Тогда как если в каждой точке тела растяжение равняется e(ks), то это значит что? Что растяжение тела во времени остановилось. (хотя предварительно растянуто тело быть могло)
Вот и выходит идентичность понятий этих, dvx(ks,t)/dks=0  и de(ks,t)/dt=0 

В заключение я добавлю, что в этой вот статье мы строили понятья для описания движения линии в 1—мерном мире. Тогда если мы к миру 2х-мерному перейдем, то придётся нам ввести еще 2-ую внешнюю координату (y) и рассматривать еще функцию такую: y(ks,t) А поэтому и новые понятия мы здесь получим. Ну, например, такое: dy(ks,t)/dx. Как интерпретировать его?
Если же мы наше тело из линии (плоской) в поверхность … нет, сначала в плоскость превратим, то придётся нам еще добавить и 2-ую внутреннюю координату (назовём её мы, по аналогии с y, ипсилон (ips)) А отсюда опять же новые понятия возникнут. Например, такие: dx/dips, dy/dks. Как интерпретировать их?

P.S. Вот еще до кучи несколько понятий для кинематики линий в мире 1-мерном:
1)da(ks,t)/dt=0 – равнопеременное (во времени) линии движенье
2)da(ks,t)/dks=0 – равнопеременное (вдоль тела) движенье
3)dae(ks,t)/dt=0 - равнопеременное (во времени) линии растяженье
4)dae(ks,t)/dks=0 – равнопеременное (вдоль тела) растяженье
5)dv(ks,t)/dks/dt=0 = da(ks,t)/dks – равнопеременное (вдоль тела) движение тела
6)dv(ks,t)/dks/dks=0 = dae(ks,t)/dt – равнопеременное вдоль тела движение тела
7)de(ks,t)/dt/dt=0 = da(ks,t)/dks – равнопеременное (вдоль тела) растяженье тела
8)de(ks,t)/dt/dks=0 = dae(ks,t)/dt - равнопеременное (во времени) растяженье тела.

вперёд http://www.proza.ru/2016/12/13/240