Сказка о мальчике и единицах

                СКАЗКА  О  МАЛЬЧИКЕ  И  ЕДИНИЦАХ

                Мы почитаем всех нулями, а единицами себя.  (Пушкин)
                Не ответы двигают эволюцию, а верно и вовремя поставленные
                вопросы.    (Из Акунова)
                …число «Пи» это некоторая характеристика поперечной волны эфира, а
                число «е»  -  продольной.      (Мнимая Единица)               

       Жил-был Мальчик. Было ему семь лет, и он учился в третьем классе. Такое с детьми иногда случается. Когда  Мальчика  спрашивали, почему он сразу в третьем классе, он отвечал, что шесть лет учился экстерном. Услышав такое мудреное слово, интересующиеся с пониманием отходили. А Мальчик говорил им правду. Действительно, как только он появился на свет, его Папа, школьный учитель математики, сразу же занялся его образованием.

        Папа считал, что детей надо  учить с момента рождения, пока они знания, как говорят, впитывают  с молоком матери. Его самого примерно так и учили. Мама его была учительницей русского языка и литературы, а папа -  известным музыкантом. И все же, выбирая профессию, он пошел за своим школьным учителем математики, по прозвищу «Пифагор». 

         Папу Мальчика  связывали с «Пифагором»  долгие годы теплой дружбы и общая любовь к «Волшебнице» -  МАТЕМАТИКЕ. Не забывали «Пифагора»  и другие его ученики, уже ставшие видными учеными. Некоторые просили его совета, иногда пользовались его подсказками. Отдельные вопросы «Пифагор» обсуждал с Папой.

         Мальчику очень нравились «посиделки» у «Пифагора» и то, как Папа и «сам Пифагор» обсуждали что-то неизвестное, но очень интересное для обоих. Мальчик знал, что Папа обязательно найдет ответ, ведь он знает все.  Папа сам иногда говорил, что «учитель должен знать все!».

         Действительно, Папа вскоре находил решение. Иногда, рассказывая Мальчику о проблеме на очень доступном для него языке, Папа вдруг останавливался и говорил: «Стоп! Поймал! Увидел «корень проблемы» - а это и есть решение!».

         В очередной раз, когда Папа рассказывал о найденном решении, кто-нибудь из участников «посиделок» в недоумении спрашивал, почему Папа не стал ученым? Папа отвечал, что его «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВСЕЛЕННАЯ» не вписывается в рамки современной МАТЕМАТИКИ.

         Потом Папа пояснял, что наука не допускает свободомыслия, ученый должен думать только в рамках установленной  «парадигмы».  Поэтому, из любви к предмету, он предпочитает быть не «профессионалом», а «любителем». «Любители» всегда свободнее «профессионалов», и их безымянные «революционные» идеи рано или поздно оформляются в научные знания.

         У «Пифагора» было несколько затруднительное  для учителя имя, еще и поэтому и коллеги, и ученики всех поколений, говоря о нем, называли его, конечно, и с большой долей признательности -   «наш Пифагор».

         Обращались к нему чаще всего  - Учитель. Мальчику сам «Пифагор» позволил называть его так же. «Пифагор» рано заметил у Мальчика серьезную  любознательность, необыкновенный интерес к математике, для его возраста значительный запас знаний и удивительную склонность к обобщениям. И он предложил Мальчику «посиделки» «тет-а-тет», с названием -  «По-сиделки Фа-нтазий».

         Папа повеселился над этим предложением, рассказывая  Бабушке о будущих «Пи-Фи» -  встречах «Пифагора» и Мальчика. «Пифагор»  же сказал Папе, что здесь нет ничего смешного, как известно, «истина глаголет устами младенцев». А здесь,  и очень молодой, и почти зрелый «мыслитель». Будем с ним искать его «Истину», без нашей взрослой заскорузлости.   

         Имея собеседниками Папу и «Пифагора», Мальчик по-прежнему любил общение с Дедушкой и Бабушкой. Они тоже были «фанатами» своих профессий и, как и Папа, имели свои предметные  «Вселенные».

          Бабушка считала, что о Вселенной все написано в Лексике русского языка, умей только читать.  Она говорила, что, конечно, «каждый язык содержит определенный взгляд на Мир», но наш, русский – особенно. Бабушка была уверенна, что в основе Вселенной лежит СЛОВО и конечно, любила выражение:  « Вначале было Слово», иногда цитируя его по-старославянски:  «Искони бе Слово».

          А Дедушка был убежден, что в основе Вселенной лежит ЗВУК. Его «Вселенная» это  Нотный стан, и он  извлекал из него волшебные Звуки, иллюстрируя ее красоту и гармонию. Они с Папой не во всем понимали друг друга, но Папа почти согласился, что восемь нот первой Октавы, это возможные этапы эволюции Вселенной, «ступени ее Бытия».

           Дедушка считал, что нота «До» - это «до того», как «все началось».

           Нота «Ре» - это известное всем «ра», может «рой», может «рея», «рею», а может даже наше русское «ура!». В общем, это Начало!

           Потом нота «Ми» - «ми-стерия» появления Ма-терии.

           Нота «Фа» - «фа-нтасмагория» проявления Фи-гур.

           Нота «Соль» - это «соли-рование» Си-Лы.

           Нота «Ля» - все знают, что это «Лю-бовь и радость вкупе», это «вакхана-лия» Жизни. Неслучайно, у французов это называется «Ля-мур», как «ля-мир».

          А русские хорошее настроение отмечают напеванием: «Ля-ля, ля-ля! Ля-ля, ля-ля! И маленьким детям с искрящейся радостью представляют совсем маленького ребенка: «Видишь Ля-ля! Какая прелестная Ля-ля!»
         
          Нота «Си» - это расцвет, «си-яние» Со-знания. Здесь тоже французы угадали - их   «се ля ви» («это жизнь» или «такова жизнь»!?) по смыслу -  почти шведское  «сделано с умом», но сами они, похоже,  этого не поняли… А русские «источник жизни и сознания» младенца – материнскую грудь, называют «Си-ся», как что-то очень высокое и доступное  лишь только-только «народившейся жизни». 

           Папа спрашивал у Дедушки: «Это ты все сам «наковырял» или «оппоненты» помогли?»

          - Да, кое-что внук подбросил, например, с «фигурами» и «силами». А Бабушка – с «ля-мурами»,  «ля-ля-ми» и «си-ся-ми». Она еще добавила, что слово «Понятие» можно прочитать как «по-Ноти-е». Разве нельзя подумать, что Ноты – это «метод»?..

          Сам Папа не строил предположений, как и следовало учителю. Он знал, что  Вселенная – это Математика. Не случайно предметом Математики является Пространство и Время, а в основе их лежит ЧИСЛО. Он был убежден, что « все есть Число», и «Числа правят Миром».

           Тем не менее, Папа охотно выслушивал все «фантазии» по поводу Вселенной своих ближайших родственников. Он их очень любил и конечно, понимал, что не только у физиков и математиков, но и у всех людей на подсознательном уровне лежит такое «остренькое жальце» -  желание осмыслить Мир, в котором они живут, а может и «построить свою Вселенную».

            Дедушка и Бабушка не обижались на Папу, когда он с некоторой иронией комментировал их высказывания. Они постоянно видели его участие и заботу и понимали, что Папа за словами иронии прячет большую теплоту и одобрение.   

         Мальчик же с восторженным интересом слушал всех собеседников и часто задавал вопросы, пытаясь, как говорил Папа, найти «свой корень». И сам он  охотно отвечал  на встречные вопросы, а  особенно, когда их задавали Папа или «Пифагор». Ведь это чаще всего были вопросы по математике, а, как известно, в математике вопрос важнее, чем ответ – получаешь направление для размышлений. Сам «Пифагор» говорит, что «не ответы двигают эволюцию, а верно и вовремя поставленные вопросы».

         Как-то Папа спросил Мальчика: «Вот ты сейчас занимаешься «фигурами». А скажи, что такое для тебя на сегодня «Пространство»?

       - Сначала, хочу сказать тебе о «фигуре». ФИГУРА – это «фа-гу-ре», здесь ноты «фа» и «ре».

       - Вижу, чей почерк! Это тебе – Дед или Бабушка?

        - Нет, кое-что я придумал сам. Я думал о Пифагоре и увидел в этом имени, сначала, математические константы «Пи» и «Фи» - они как бы на «горе», то есть «Пифагор» это «Пи-Фи-гор-а».  А потом заметил, что «Пифагор» это «Пи-фигура». А в слове «фигура» согласные буквы «ф» и «р» можно понимать как название нот. Ведь известно, что «правильные фигуры» связаны с ритмом, а может им и создаются.

         - Да, понятно, чья стратегия, а тактика – несомненно, твоя. А что же здесь делает буква «ге»? Ты о ней как-то молчишь?

         - А можно об этом в другой раз? Я просто  еще не готов говорить об этом  серьезно.

          - Конечно, как хочешь! А ты о своем толковании имени Пифагор говорил с Учителем?

          - Да, говорил. Ему понравилось. Он даже добавил свою «учительскую»  интерпретацию. Он сказал, что имя «Пифагор» можно также прочитать, как «Пи-Фи-Гуру», то есть, как «Пи-Фи- Учитель» или «учитель математики».

           - Ну, молодец, Старый! Ты, понимаешь, какие у него не по годам острые мозги и завидная революционность мышления!? Он хоть и неохотно впускает в свою «цельную» и чистую математику «окрестные нестерильные науки», но, согласившись с чем-то, тут же добавляет иное, оригинальное «прочтение». Может мне тоже  что-нибудь этакое добавить к античному имени учителя, из того, что ты еще не озвучил?!

            - Давай! Вдруг попадешь?
             - А вот!!! Ты ведь не будешь возражать, что буква «ге», кроме «иго», может иметь и другие смыслы, ну например, «уг-ол»?
             -Да, думаю -  уже попал!?

             -Так вот, «фи-гу-ра» - это комплекс константы «Фи», «угла»(гу) и «луча»(ра).

             - Да…? - ты тоже молодец! Именно это я и хотел сказать. Действительно, правильные фигуры это углы, лучи и константа их отношений – число «Фи». Вот тебе и слово «Фи-Гу-Ра».  В названии математического объекта - его элементы.

              - Учитель, наверняка, с этим согласится. Он как-то говорил, что «нынче «молодняк» такой «острый» пошел - Азбуку «режет». А его поколение  боялось  даже произносить некоторые слова, даже думать о них и, тем более, Слова - «пилить». Одни боялись официальных запретов, другие знали: «Нам не дано предугадать, как слово наше отзовется…» и страшились «сочувствия» во всех смыслах. Поэтому,  если он иногда противится «пилению слов», то просто по старой привычке к осторожности…

             - Хорошо, я ему расскажу о твоей интерпретации понятия «фи-гу-ра». Ты видишь, он уже не только слушает, но что-то добавляет свое. Это как мы с Бабушкой в детстве играли в слова… Это очень увлекает…

              -Пожалуйста, без моего авторства! Сможешь?
              -Попробую! Скажу: «Сорока на хвосте принесла» такую версию!».
              -Но я же, действительно, пошутил! Скажи Учителю, что это была Папина шутка. Это будет правдой.

              -Хорошо, так и скажу, раз ты так стесняешься!?... Но, Папа ты, кажется, спросил о Пространстве? Так вот: Пространство это фигура, в которой содержатся другие фигуры.

             - А как насчет «всех»?
            - А это, о каком Пространстве ты спрашиваешь?

            - Понятно!? А что, по-твоему, на сегодня, Время? Это что?
             - Считается, что  это - движущееся Пространство. Но я предполагаю, что это его Источник, это «Ра» или «Луч».  А закрученный Луч или закрученное Ра – будет -  «Пи*Ра», и это уже -  «ПОРА». А, как говорит Бабушка, «Пора» – это и есть Время. Она, правда, говорит, что и Пара, и «Пар»,  и даже «Пир» родня «Поре».

               А слово «ВРЕМЯ» Бабушка читает, как «в – ра - ме». Она  говорит, что, не случайно, все достойные предки, свидетели прошлых событий, висят в «рамах» - все взаимосвязано.
             - Ну и Бабушка у тебя – «физик теоретик»! Хотя она, конечно, права – в русском языке говорят: «до поры, до времени». Но вот «пара», «пар» и «пир» - сомнительно…

             - А Дедушка говорит, что это все НОТЫ. ВРЕМЯ образуют ноты «Ре» и «Ми» и оно начинается в их интервале. А  МИР это наоборот -  ноты «Ми» и «Ре».

             - А про неведомое для них «Пи» они тебе ничего не говорят?
             - Нет. О «Пи» говорит «Пифагор». Он считает, что закрученное Время это и есть Пространство. А закручивание это начинается с произведения «i*Пи», а потом идет пространственно-временной комплекс -  «е^(i*Пи). Как сам знаешь, «i» это мнимая Единица.

             - Ну а здесь «Пи» как тебе «Пифагор» представил?
             - Он говорит, что «Пи» - это некоторая вечная и бесконечная Данность». Благодаря этой Данности, существует наш «весьма любопытный Мир».
             - Со мной он, конечно, не так «откровенен». Это ты, со своими Дедушками и Бабушками, заразил его чуждой математике «неофитской философией».

             - Да, хочу ему еще рассказать, что «Пространство» - это «Пора Странствия». А «пора», я тебе уже об этом говорил, будет «пи умножить на «ра».
              А «Протяженность» или «притяженность» - это что? А «Продолжительность» - «пи-ра-доля-жительности» или «предел жительности» - это, по-твоему, как? Разве это не очевидно без Дедушек и Бабушек?

             - Да, мой Мальчик, все нормально, наверное, где то даже правильно. Просто - это уже не моя школа и не то, как нас учил «Пифагор» - аксиомы, теоремы, множества… Но, если «Пифагору» это любопытно -  дерзайте! «Старый и малый» - это тоже «пространственно-временной комплекс» -  устойчивый и продуктивный!

               Мальчик очень любил такие разговоры с Папой  и даже готовился к ним, собирал вопросы и обдумывал ответы. Пока он был совсем «мелким», Папа ему рассказывал о математических понятиях и «объектах», как о живых существах. Чаще это были сказки о единицах, дробях и разных больших числах, о их взаимоотношениях и результатах.

              Очень интересными были сказки о математических константах, о синусах и косинусах. Особенными были сказки о нуле. В этих сказках Папа широко пользовался бабушкиными образами.

              Сама Бабушка считала, что «образование это то, что остается у человека после того, как  он все забудет». Чтобы «образовать» человека или дать ему Образование, необходимо его сознание наполнить всевозможными предметными образами. Не случайны «пифагоровы штаны» или «охотник и фазаны» - очень мало людей, когда-нибудь посещавших школу, которые не помнят эти законы.

             Получается, что образ человека складывается из образов других объектов и явлений, усвоенных его сознанием или потом им  созданных. Самым интересным и загадочным объектом из основ математики и Папиных сказок для Мальчика был «Нуль», он же «Ноль». Папа говорил, что без Нуля нет и Математики. Нуль это бездонное «О-зеро». Мы видим его как точку и не видим его бесконечную глубину, в которую проваливаются многие математические объекты, чтобы не сказать – все.

           Считается, что Нуль это Ничто, но он же и Все. Он – единственная Точка, которая есть всегда.  Он Начало Всего временного и его Конец. В русском языке Нуль обозначается как буква «О», в английском  - как слово «Zero», а вместе получается как «О-Zero». Вот почему Папа называет Нуль «О-Зером».

            Папа считает, что «Нуль» «очень важная птица». Хоть и говорят иногда о чем-то незначительном, что это «ноль без палочки», но без Нуля в математике нет начала у числовой Оси, и числа не имеют смысла - неизвестно от чего их отсчитывать.

             А, если сопоставлять числовому Миру Дедушкины Ноты, то Нуль и его ближайшие окрестности звучат на ноте «До». Дедушка говорит, что это «До» того, как все Началось. И конец всего - это падение «До» Нуля. В общем, здесь работа ноты «До».

           Бабушка же слово «Ну-Ль» читает как «и-Н-ое Ля», то есть «иная жизнь». Они вместе с Дедушкой считают, что нота «Ля» - это нота Жизни.

           Сам Нуль в Папиных сказках говорит о себе:
          - Я центр Числовой Вселенной. Все числа возвращаются ко мне, как бы далеко не убегали. А все Лучи, откуда исходят? Из меня! Я самая, самая маленькая -  минимальная окружность или минимальный полный угол! Считай, как хочешь!

            Без меня не было бы и «гордячки» Единицы. И еще много чего в числовом Мире от меня. Но главное, Я - «последняя инстанция», я всех уравниваю и смиряю, превращая в Единицу или Ноль.

            Да забыл, еще нужно сказать, что Нуль и Ноль – не одно и то же. Ноль это – «здесь и сейчас», а Нуль это – Вечность. Это то, что есть всегда и везде как «нулевой уровень». «Обнулить» - значит получить «нулевое состояние», создать «платформу»…   

            Единица в Папиных сказках тоже себя понимает. Она считает, что Единица - это начало всех чисел и больших, больше Единицы, и мелких, меньше Единицы – ее Долей. Единица недолюбливает Нуль, считая его источником многих своих числовых проблем. Ее части, ее Доли или, как их чаще называют – Дроби, по неосторожности, «заигравшись» друг с другом или вступив в опасный контакт, соскальзывают в его бездонное «О-Зеро».

            Да и сам Нуль иногда выхватывает «приглянувшуюся» ему Долю и утаскивает в свою глубину. Папа говорит, что  такая у них – «доля», особенно у очень мелких, или «утонуть» в «О-Зере», приблизившись к Нулю, или «улететь» в «О-блака»(поменять «о-блик»), прыгнув через Единицу, а точнее прошмыгнув под ее «троном», превратиться в «обратное число», тем большее, чем меньше была Доля.

            Единице еще не нравится, что Нуль постоянно производит много других единиц, которые «мельтешат под ногами», а иногда и поглядывают на Единицу как на «ровню себе». Им невдомек, что они «единицы, как говорит Нуль, - здесь и сейчас», а она - Единица «от века», а может и «от Вечности».

            Было время, когда у Единицы не было Долей, она была Целая, и обозначалась она просто как «палочка» – « I ». Потом появились другие целые числа и стали вскоре «обращаться» в ее «доли». «Обращение» - это деление единицы на другое число. Эти доли стали называться  «дробями».

             Потом появились «единичные фигуры», главным размером в которых, была «единица». А «отношения» разных элементов фигур  тоже создавали «доли» Единицы. Эти доли стали называться «синусами» или «косинусами». Синусы и косинусы определяют как бы углы между отрезками в фигурах, но также являются проекциями «единицы» на направления этих отрезков.

             Единица со всеми своими долями или со всеми своими дробями стала называться Действительной или Вещественной.
            Целая Единица измеряла только «количество». Это могло быть количество степеней (ступеней), если в Пространстве или количество «циклов» (полных поворотов), если во Времени.

             Вещественная же Единица измеряет все, что видит глаз. Эта Единица уже обозначается как «палочка с крючочком» –« 1 »  или, как говорит Папа, с «загогулиной». А Бабушка говорит, что слово «загогулина» - это одни «углы», здесь –«го-гу» и еще зависимость от них – «узы»(буква «з»).  Поэтому Вещественная Единица – это единица с уголком или с кусочком окружности и как бы несет их.

             О словах «синус» и «косинус» Бабушка тоже имеет свое мнение. Она говорит, что «си-нус» это «си-нес» или «си-несу»  а «си», как известно, самая высокая нота Октавы. А слово «ко-си-нус»  в семье просто «яблоко раздора». Дедушка говорит, что, следуя за Бабушкой, это будет «ко- си-несу». Сама Бабушка считает, что это «око си несу», то есть, что-то вещественное или видимое стремится к «си», и «косинус» это осуществляет.

            А Папа, как всегда, с некоторой долей шутливого сарказма, слегка посмеиваясь, говорит: «Да чего уж там «ко-си-несу»!? Читай сразу – «ко-су-несу», так сказать, для грядущей «жатвы»! Вот юмор с вашей «буквоплетной» интерпретацией!? Хотя звучит, действительно, провокационно…».

           -Если позволите, скажу вам больше, -  Единица и есть та самая «коса», которую несет «коси-нус». Посмотрите на ее изображение – это же «коса» в миниатюре!?».
            Все взрослые смеются. А Мальчик задумывается: «Действительно, как это «косинус» несет Единицу?»… Хотя, конечно, ведь перед каждым косинусом можно поставить «единицу», и это будет - ее проекция и даже она сама…

           Вещественная Единица в папиных сказках знает, что за «О-зером», на противоположной стороне, живет другая, тоже очень важная Единица. Но она перед собой несет не уголок, не кусочек окружности, как сама вещественная Единица, а несет какой-то подносик, какую-то площадочку. И эта площадочка как-то от нее отделена… Называется эта противоположная Единица «Отрицательной», а «подносик» или «площадочка» перед ней называется «знаком Минус».

          Конечно, у Вещественной Единицы тоже есть подобные знаки отличия – она имеет имя «Положительная» и может обозначаться «знаком Плюс», но она не пользуется этими знаками, так как всем и так видно, кто она такая.

          Бабушка читает слово «положительная», как «поле-жительное», а слово «плюс», как «полюс». Дедушка добавляет – «положительная»  это  «пи-ля-жительная», а «плюс» это «пи-ля-си».

          А Папа, как всегда с некоторой долей, пробуждающей сознание иронии, замечает, что он бы слово «положительная» прочитал, как некоторый совет: «положи тельное» или как некоторую угрозу: «положу тельное»!? А слово «плюс», как «плююсь» - «прошу прощения - шутка!? На самом деле, по вашей методике это можно прочитать как «поле-си» или как «поле-сею».  Сам Мальчик согласен со всеми и думает, что Единица тоже бы с этим согласилась.

          Слова же «Отрицательная» и «минус» все единодушно понимают, как «отрицаю тельное» и «ми-несу».   

           Вещественная или положительная Единица знает также, что между нею и Единицей отрицательной на правом и левом берегу «О-зера» живет еще одна Единица. Она какая-то странноватая, призрачная что ли? Она как бы есть, но ее как бы и нет!

           Этой Единицы совсем не видно, но по ее воле « все течет, все изменяется». Называется она Мнимой и обозначается «палочкой», как и все единицы. Но эта «палочка» имеет над собой, вверху «точечку» и получается «палочка с точечкой» - « i ».

           Мальчик считает, что «точечка» над «палочкой» похожа на маленькую « тарелочку». А Папа говорит ему:
          - Да Мальчик, ты прав! Эта твоя маленькая «тарелочка» и есть «блюдечко» с голубой каемочкой», на котором лежит самое мистическое из всех мистических чисел  - число «Пи».   

            Вещественная Единица, конечно, ничего этого не знает, но относится к Мнимой Единице очень уважительно, хотя и к Отрицательной тоже. Она считает, что, скорее всего, эти Единицы ее родственницы.

            Старый Учитель считает «точечку» над «палочкой» у Мнимой Единицы той самой «Точкой-Нуль», которая и есть Центр Мира. А вокруг этой Точки, этого Центра существует Вечное и Бесконечное «Нуль-Пространство». Его «бесконечность» - это бесконечная «закрученность».
            И это «Нуль-Пространство» есть произведение Мнимой Единицы на число «Пи», правильнее, на его «полный комплект» - « 2 Пи» и на бесконечное число оборотов, натуральное число  n. Получается «Нуль-Пространство» = « i * 2 Пи * n».

             Бабушка слово «Мнимая» читает, как «Мини-Ми», то есть «Мини Мир». А Дедушка считает, что слово «Мнимая» это «Ми иное Ми» или «Ми не Ми», и это возможно другая Октава.

             Но Папа опускает всех с высот «мнимости» и говорит:
             -«Мнимое» это же «мне мое»! Разве это по звучанию не ближе всех ваших «Ми-фов»?

             Здесь даже Мальчик осознает Папино кощунство и спрашивает:
              - Извини Папа, а кому это «мне»? Нулю, числу «Пи» или тебе?
               Нет, Мальчик, здесь я не кощунствую. Мнимая Единица это составная часть «Комплексной» Единицы. А «комплексная» единица, как известно, состоит из двух взаимосвязанных частей: Вещественной Единицы и Мнимой Единицы. И когда из комплексной Единицы выделяется вещественная Единица, мнимая Единица требует назад все свое – «мнимое» и говорит соответственно: «мне мое»!.

               -А, да! Я понял – комплексная Единица это ведь и отрицательная Единица или «минус Единица». А извлеченный из нее корень это и есть мнимая Единица. Действительно, она извлекает себя из «минус Единицы» и говорит ей: «мне мое»!

               -Видишь, как получается: корень квадратный из «минус Единцы» есть мнимая Единица, а квадрат «минус Единицы» есть Единица вещественная, она же положительная. Записать это можно следующим образом:
                Корень квадратный ( -1 ),    - 1,    квадрат ( - 1 )        или иначе,
                i ,       - 1,         +1             и совсем иначе,
                i  ,      i^2,        i^4
Последнее – уже совсем по-взрослому!         

                Первые «Пи-Фи-встречи» Мальчика с Учителем проходили в форме «вопросов и ответов». Учитель после радушной встречи и «корпоративного чая» спросил: « Я понимаю – учителей у тебя и дома предостаточно, но как говорят, « у семи нянек дитя без глазу». Поэтому, может что-то тебе не понятно, может в чем-то есть сомнения, давай спрашивай, мы вместе все аккуратненько обсудим, тем более что, с Папой медленно и долго обсуждать особо некогда».

              - Да, конечно, Папа сейчас очень загружен, а у меня, спасибо Вам за участие, всегда есть вопросы. Можно спрашивать прямо сейчас?
               - Да, давай – любые!

              -  Ну тогда, первое, что я никак не пойму. Папа говорит, что числа при определенных условиях исчезают в «О-Зере», так мы с Папой называем Нуль. Но разве в числовом Мире может что-нибудь исчезнуть? Скорее всего, числа, упав в «О-Зеро» при объединении, во что-то превращаются и могут выскочить из него уже какими-то другими. Например, были вещественными, а станут мнимыми? Ведь превращает же ноль все числа в единицу?

              - Ну что ж! Вполне возможно. Я об этом, конечно не думал, у меня нет образного представления нуля. Математика не работает с образами. Абстрактный Нуль вводится аксиоматически. Но, если предположить, что Нуль это «сток» и «исток» чисел, такое, пожалуй, возможно. Думаю, что дальше мы вернемся к этому вопросу. Что у тебя еще?

             - Почему о положительных числах говорят, что они «больше нуля», а об отрицательных, что они «меньше нуля». Разве нуль не самое маленькое число? Ведь, нуль это вообще ничего нет. Что может быть меньше «ничего»?

           - Ну и вопросики у тебя, мой Мальчик! Ты у Папы это спрашивал?
           - Пока нет! Знаете, я эти вопросы готовил для «семейной дискуссии». Но Вы сказали, что можно спрашивать обо всем, я их сразу и вспомнил.

           - Замечательно! Вопросы, конечно, очень интересные, хотя и не вполне из области Математики. Но, видимо, нам с тобой придется немножко и пофилософствовать. Давай вернемся к первому вопросу. Как я уже понял, «исчезают» в вашем с Папой «О-зере» при объединении пары противоположных чисел.          

             Конечно, ты прав, действительно, «исчезнуть» в нашем Мире ничто не может. Это научный, да  даже и житейский факт. В противном случае «исчез» бы и сам Мир. Наверное, Папа употребил это слово метафорически. Да и само слово «исчез» в буквальном смысле может означать «исчез из поля зрения», а не вообще, не абсолютно.

             - А! Понятно! Они просто исчезают с числовой Оси!
             - Конечно, но это первое. Второе, во что они могут превратиться? В философии «триединства» утверждается, что если есть двое, возникнет «третье», но здесь уже - как говорят, «за экраном». В классической философии при объединении противоположностей рождается «нечто новое». По этому, наверное, как сказала бы твоя Бабушка, «ничто» и «нечто» близки.

              К тому же, как известно, противоположности имеют склонность к объединению, но препятствует этому все тот же «ноль», который их надежно разъединяет. Хотя, в конечном счете, противоположности где-то смыкаются, и даже сам «нуль» смыкается с «бесконечностью». Но это уже за пределами нашего «горизонта видимости».

             - Вообще-то я об этом думаю несколько примитивнее. Если пары чисел падают в «ноль», то при некоторых условиях такие же или другие пары могут выскочить из «нуля» и разбежаться в противоположных направлениях?

              - Ну почему нет? Формально, это правильно. Можно записать, например:
                - 5 + 5 = 0      или
                0 = - 5 + 5
                Такое представление «нуля» широко используется в преобразованиях математических выражений.

                - Да, я это тоже знаю, но меня смущает неоднозначность представления «нуля». Может это возможно и для других чисел?
                - Конечно, где «нуль» определен, всюду возможно. Ну, давай теперь несколько слов о «больше, меньше нуля».
                Мы с тобой сегодня говорим только о «числовой Оси». Так вот, если рассматривать ее половину, то есть  «числовой луч» от «нуля» до «плюс бесконечности», то «нуль» здесь будет самым меньшим числом. Все положительные числа на «числовом луче» будут больше «нуля».

                Теперь, если мы хотим рассматривать всю «числовую ось», от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности», то число «ноль» уже не будет самым меньшим числом. Он теперь представляется как сумма пары противоположных чисел и можно записать, например:
                - 5 меньше 0 ,    так как
                -5 меньше (- 5 + 5)

                - Понятно! Все что слева  на «числовой оси» будет меньше того, что справа. А «нуль» здесь как бы граница отрицательных и положительных, хочется сказать, левых и правых чисел.

                - Ну и на здоровье! Это не будет неправильным. Наверное, на сегодня достаточно, ты уже устал. Пойдем пить чай. Готовь вопросы к следующей встрече. Я тоже буду готовиться.

                Так прошло несколько встреч взаимных «вопросов и ответов». И начались тематические беседы. Первая называлась «О многом понемногу».

                -Учитель, мы могли бы немного поговорить о том, как понимает Мир моя Бабушка -  филолог?
               -Да, конечно! Мы пока говорим обо всем, что может расширить наш кругозор или как теперь говорят «горизонт видимости».

               -Спасибо! Это имеет прямое отношение к нашим прежним темам. Мы говорили о том, что Нуль может содержать ПАРЫ противоположных чисел. Бабушка считает, что слово «пара» близко слову «пора». Папа, конечно, возражает. Но ведь «пора» имеет отношение ко времени, да и «пары», наверное, возникают не вдруг, а со временем, когда наступает их «пора».

              - Ну что ж! Вполне возможно! Я не очень разбираюсь в тонкостях лингвистики, но то, как рассуждает твоя Бабушка, весьма любопытно.
               Это не лингвистика, это, так сказать, «словесность», это «лексика». С позиции «лексики» слово «линия» довольно близкая родня слову «нуль». Ли-ния это «ля иное», а ну-ль это «иное ля». Как известно, «ля» самая устойчивая частота, 441герц, по ней сверяют звуки, это камертон.

               Дедушка считает, что «ля» это нота жизни. Наверное, у линии и нуля разные  степени «закрученности». У линии нет «угла», у нее одна длина, а у нуля нет длины, у него один бесконечно закрученный угол. И эта «закрученность», по видимому, в противоположную сторону по отношению к развернутому Миру. Вы молчите, Учитель?

                -Да! Я внимательно тебя слушаю, продолжай!
                -Так вот, Папа и Бабушка говорят, что все, что «раскрутилось», «развилось», утратило свои «степени», спустилось по «ступеням вниз», дошло до своих «корней» как бы падает в «О-зеро», сбрасывается в «ноль».

                - Да, с этим трудно не согласится. Ты сейчас уже говоришь не только о числах. Наверное, весь описанный тобой процесс это и есть Жизнь! Все, что, как говорят,  «появляется на свет», рождается или приходит в этот Мир  не с пустыми руками, а приносит некоторый потенциал, что-то в значительной степени закрученное. Пример этому всем известное «семечко» или в общем случае «семя».

                - Учитель, можно дальше продолжу я?
                - Конечно, у тебя это получается как-то шире, благодаря твоим Дедушке и Бабушке.

                - Так вот! Названное Вами «семя» начинает «расти», используя «ра-сеть» - эти слова близки. В этой «ра-сети» оно «развивает», заодно и «развеивает» свой потенциал. За жизнь выросшее из семени существо «раскручивается», как говорит Бабушка, «источается» до предела и уходит «пустым» туда, где  «пусто», наверное, в «пи-сеть».

                - Похоже, что и в нашем физическом Мире, как и в числовом все вычитается, делится, извлекается и приходит к неизбежному «нулю».
                - Да, люди все время что-то «делают». А слова «делать» и «делить» – близки. А «извлекать корни»? Как я понял, и математики, и обычные люди, в основном, только этим и занимаются – все «извлекают корни». И этим они сознательно или бессознательно приближают себя к «нулю».

                - Известно, что  «во многом знаньи многая печаль». А мы с тобой дошли до печали раньше, чем до знаний.
                -Ну, давайте немного о менее грустном. Вы как-то слово «Пифагор» интерпретировали, как «пи-фи-гуру». А как Вы думаете, чем близки следующие слова:
                Гуру, герой,  гора,  игра,  горе, эгрегор…?

                - Кроме одинаковых согласных букв ничего более глубокого не вижу…
                - Эти слова, как говорит Бабушка, связаны «победой и поражением». А Папа как бы в шутку заметил, что в этих словах присутствует «угол» и «луч» - согласные буквы «гэ» и «рэ». А угол и луч – основа для построения всех «фи-гу-р». А слово «фи-гу-ра» содержит еще константу «фи», закон для построения очень важных правильных фигур.

                - Да, очень интересные у тебя наблюдения. Давай еще что-нибудь в таком же духе. Не скажу, что я такого никогда не знал, но, наверное, эти понятия так не связывал.

                - А это мы еще в детстве с Бабушкой играли в слова и искали их неочевидные связи. Бабушка у меня большой мастер в понимании слов, она и Мир пытается понять, прочитывая многие слова, как говорят, «буквально».
                Вот, например, слова: «четное» и «нечетное» числа. Первое, что приходит: «четное», значит связанное с «четой», а «нечетное»  с «не четой». Когда говорят: «Он ей «не чета», значит «неровня», в чем-то уступает. Понятно, что «нечетное» в чем-то важнее «четного». Оно единичное, без соответствующей пары…

                С другой стороны эти слова можно прочитать, как «читанное» и «нечитанное». Я предполагаю, что последнее просто невозможно считывать, не разрушая «носитель»…
                Или вот еще -  слово «простые», в частности, числа. Слово «просто» это «пи-ра-сеть». Можно предположить, что эти числа, то есть «простые числа» создают некоторую сеть для разворачивания более сложного числового Мира.

                На этом, пожалуй, можно остановиться. Сегодняшнее наше занятие, с Вашего любезного позволения, Учитель, мы посвятили не числам, а словам. Папа не любит такую интерпретацию математических понятий и не выносит слово «предполагаю». Но это любит Бабушка, а я это лишь имею в виду, когда размышляю о математических объектах.

                - Все хорошо! Как я понял, такая интерпретация не может навредить твоему математическому мышлению, по этому, попутно с математическими выкладками ты можешь говорить и о «буквальном» прочтении различных понятий. Мне это тоже интересно.

                - Спасибо, Учитель! Мне почему-то это нравиться, а Папа это просто терпит, хотя иногда, конечно, соглашается. О чем мы будем говорить в следующий раз?

                - Мы с тобой будем потихоньку всматриваться в Математику. А Математика, как известно, начинается с царства, именуемого Арифметикой. И царство это -  царство чисел. А царство чисел с чего начинается?
                - Я, думаю, с единицы. А, скорее всего, с единиц – их ведь, может быть несколько?

                - А вот, давай еще подумаешь и подготовишь сообщение о Единицах. Начнем изучать числовой Мир с Единиц. Можешь смело фантазировать, предполагать, домысливать сверх того, что уже всем известно. Вместе мы, наверное, сможем отделить «зерна от плевел», как сказала бы твоя, очень образованная и сильно уважаемая мной, Бабушка.   

                В следующий раз Мальчик стал рассказывать Учителю о том, что впервые узнал из папиных сказок, что прочитал в книжках, что обнаружил в Интернете и кое-что из того, что сам домыслил и обобщил. И начал он так:
                - Как известно, «Единица» понятие распространенное и многозначное. Но в математике оно означает некоторую абстрактную «меру», меру числа. Не будет преувеличением сказать, что любой  Мир, в том числе и Числовой, состоит из «единиц», которые определяют все его количества и качества.

                В математике известны на сегодня пять «единиц». Это целая, вещественная, отрицательная, и две мнимые единицы. Каждая из этих единиц определяется длиной (единичной) и углом, долей числа «ПИ». Хотя число «Пи» это ведь тоже Единица, это длина окружности, радиус которой равен одной второй, и в то же время Единица для измерения углов…?
                Мальчик замолчал…

               - Тебя что-то здесь смущает? Продолжай! Я тебя внимательно слушаю. Мы потом твои соображения вместе обсудим, что-то, может быть, добавим, что-то, возможно, исключим.

                - Ну, тогда о целой Единице. Целая «единица» это нулевая единица. Она имеет угол, равный «нулю» и располагается на числовой оси. Целая единица определяет все счетные количества. Папа говорит: «В том числе и лет». Возможно, это единица Времени. С нее начинаются все движения:  смещение, поворот и подъем.

                Целая единица образуется как нулевая степень любого числа, как нулевая степень всех возможных чисел. Конечно, она может получаться и при других операциях с числами, но мне думается, что « нулевая степень числа – это ее определение», и это можно записать, как:
                1 = С ^ 0 ,        где С – любое число. 

                Слово «целое» моя Бабушка понимает еще как «нечто без следов разрушения» или «дробления». А слово «целую», близкое слову «целое», понимается ею как «целю», то есть «исцеляю».               

                Следующей единицей считается «единица» вещественная. Эта единица является мерой всего, что может видеть глаз. По величине она бесконечно приближается к единице целой, но имеет, по-видимому, иной угол. Хотя ее тоже изображают на числовой оси, как и единицу целую. Их  зачастую  не различают, но это совсем другая единица. Мне думается, что ее угол отличается от угла целой единицы, равного нулю, на целое число полных углов. И это можно записать, как:
                угол вещественной единицы = угол целой единицы + 2Пи * n ,
 где n – любое целое число, а угол целой единицы = 0.

                Вещественная единица фиксирует важнейшие соотношения в числовом вещественном Мире. Самые, пожалуй, известные можно записать, как:

                cos(фи)^2 +sin(фи)^2 = 1 ,   где  фи – любой угол,
                сos(0) = cos(2Пи) = 1 ,
                e^(i*2*Пи) = 1 ,   где  i   -  мнимая единица ,
                Ф – Ф^(-1) = 1 ,
                Ф^2 – Ф = 1 ,
                Ф^(-2) + Ф^(-1) = 1 ,   где  Ф – число Фидия или константа Фибоначчи,
                Х^2 – У^2 = 1 ,   известное уравнение гиперболы.

                Таких закономерностей у вещественной единицы, конечно, много, но, думаю потом, по мере необходимости, можно добавить и другие. Но, пожалуй, еще следует отметить, что вещественная единица содержит в себе весь вещественный числовой Мир, со всеми его константами и отношениями… 

                Следующей единицей можно считать «единицу» отрицательную. По величине (по модулю) отрицательная единица равна положительной вещественной единице, но имеет отличный угол, равный  «Пи».

                Существует мнение, что отрицательные числа не имеют смысла в числовом Мире. Что они какие-то ущербные: они не имеют четных степеней, из них нельзя извлекать четные корни, при умножении на положительное число - результат отрицательный. Думаю, это потому, что не учитываются углы у положительной и отрицательной единиц.

                Отрицательная единица имеет противоположное направление, она смотрит налево, а положительная единица – направо. Все отрицательные числа расположены как бы «слева», не могу утверждать, что на числовой Оси. У меня здесь большой вопрос!?

                Но то, что «слева» это, пожалуй, правильно. Бабушка к слову «слева» привязывает слова: «слово», «слава» и «слив».

               - Стоп! Слушай, извини, перебил. Но ведь и «се ля ви» это тоже «с-ли-в». Вот французы!? Определили Жизнь как «слив»! Ну, юмористы!
               - Возможно, в этом что-то есть. Дедушка бы сказал, что во всех этих словах звучат ноты «си», «ля» и есть действие «ваяю» или «вью», то есть уже существует «сила», как нота «соль».

              - Согласен с твоим Дедушкой! Ты посмотри еще на слово «справа». Здесь еще больший юмор! По нотам это будет – «си Пи ре ви». Это же сорт вина «Са- пе- ра- ви» из одноименного винограда! Ну, как  не скажешь!?...: «Веселая у «вещества» жизнь!».
               - Я рад, что Вас насмешил! Но слово «справа» можно прочитать еще как «с Пи ра вью». По моему, это вьется «клубок»(колобок) или «ком» вещества.

               - А «слева» по твоему возникает «Слово»?
               - Вполне возможно. Ведь известно, «вначале было слово». Наверное, задолго до вещества. Получается, ровно на «Пи». Смотрите, Учитель! Похоже, что длительность событий здесь определяется «углом» поворота, числом «Пи».

               -Ну, о «длительности» мы еще будем говорить. Мы с тобой сильно увлеклись и несколько отошли от темы. Давай продолжим о единицах.
                - Приведу еще несколько самых известных закономерностей с отрицательной единицей:

                cos(Пи) = - 1 ,
                ln(1/e) = - 1 ,
                X^2 – Y^2 = - 1 ,      сопряженная гипербола ,
                i^2 = - 1 ,      где  i – мнимая единица ,
                e^(i*Пи) = - 1,      формула Эйлера.

            Последнее выражение, формула Эйлера, почему-то считается, чуть ли не «мистической, хотя в ней нет никакой мистики…

            - Знаешь,  Мальчик, мистическими обычно считают малопонятные вещи. А в этой изящнейшей формуле, аж, четыре «малопонятных» величины!?
             - Но эта формула -  обычная закономерность в комплексной области. Это, в сущности, определение отрицательной единицы:

                - 1 = e^(i*Пи)

Через нее определяется «мнимая» единица. И все соотношения с мнимой единицей вполне могут быть записаны через единицу отрицательную. Вот, это же выражение c числовым значением, которое может помочь снять некоторую «мистичность»:
                -1 = 23.14069263… ^ i
   
 Здесь, конечно, есть «туман», непонятно, что через что определяется? Но вот, например, некоторые любопытные формулы с отрицательной единицей:

                e^(Пи) = (-1)^(-i) ,   или
                e = (-1)^(-i/Пи) ,   
                ln(-1) = i*Пи  ,        или
                i = ln(-1)/Пи     и,  наконец,
                i = (-1)^(1/2) .

             Следующей единицей будет, так называемая, «мнимая». Я о ней уже кое-что сказал, рассказывая о единице «отрицательной». Эта единица по величине (по модулю)  равна и вещественной, и отрицательной единицам. Но она имеет отличный от них угол, равный «Пи» пополам, то  есть  Пи/2.

             Через угол  Пи/2 мнимая единица может определяться по формулам:

                i = e^(i*Пи/2)  ,      или
                i = cos(Пи/2) + i*sin(Пи/2) ,   через угол  «Пи» и логарифм:
                i = ln(-1)/Пи ,       а через корень квадратный:
                i = (-1)^(1/2).
   
Обозначается мнимая единица латинской буквой  «i», первая буква слова «image» (воображаемая).
               - Стоп! Image – это же теперешнее «имидж», то есть нечто иллюзорное, кажущееся?

               - Да нет, это вполне реальная единица, вполне существующая. Ее численное значение, точнее ее модуль равен модулю вещественной единицы, они отличаются только углами. Мнимая единица это как бы «довещественная» единица, существующая в перпендикулярном Мире, в перпендикулярном Пространстве.

               Формулу Эйлера можно записать иначе, как:

                i^2 = e^(i*Пи) ,  где  i^2 = -1
 А сопряженную гиперболу можно записать, как:

                X^2 – Y^2 = i^2

                Через мнимую единицу можно выразить все другие единицы и даже весь вещественный Мир. Например, выражения сугубо мнимые, типа « i ^ i» или  « i ^ (-4/5) - i ^ (-6/5)» очень даже вещественные числа. Вот некоторые интересные формулы с мнимой единицей:

                i^i = e^(-Пи/2) = 0.207879576…
                i^2 = 23.14069263 ^ i ,
                ln(i) = i*Пи/2 = 1.5707963 * i

                Разве не достойна удивления первая формула. Мнимость в степени мнимости -  вполне вещественное число. Об этой формуле в виде:

                i^(-i) = e^(Пи/2) ,
Б. Пирс сказал  бы: «  это… что-то чрезвычайно важное». Но у нее обыкновенное числовое значение:

                i^(-i) = 4.81047738… ,    или
                i^i = 0.207879576…

              И я думаю, значит, и нет никакой мнимости… Похоже, «мнимая» единица это очередная мерность существующей реальности.

               Есть еще одна единица в комплексной области, которая определяется, как «- i». О ней очень мало что известно. Она по модулю равна мнимой единице, но имеет угол, равный  3*Пи/2. Это противоположная мнимая единица, или «отрицательная» мнимая единица. Она же «обратная» и определяется, как:
                -i = i^3 = e^(i*3Пи/2) ,    и
                -i = 1/i
 Здесь тоже есть некоторый «туман», я об этой единице пока мало думал.

             Теперь, хочу в завершение своего сообщения еще сказать о своих наблюдениях за синусами и косинусами. Известно, что все вещественные числа от  « 1  до 0», это косинусы углов от «0  до  Пи/2». Поэтому вещественную единицу можно считать «единицей косинусов».

              А все мнимые числа от «0  до  i» это синусы углов от « 0  до  Пи/2». Поэтому мнимую единицу можно считать «единицей синусов».

            На этом, пожалуй, пока все. Это первое мое сообщение, здесь коротко из того, что мне известно о единицах.

           - Ну что ж? Вполне достаточно для первого сообщения. Молодец, не плохо ты поработал. Значит, единиц все-таки пять?

           - Да, четыре определяют направления: « справа, слева, сверху, снизу». Этого вполне достаточно для полной ориентации в пространстве, так как каждая единица несет в своем определении, то есть в себе, угол Пи/2. А четыре умножить на Пи/2 будет полный угол, равный 2*Пи.

            - А как же пятая? Ты ее определил как «нулевую», она «целая» или «натуральная». Где она?
            - Это тоже интересная единица, с нее все начинается и ею все заканчивается. Она расположена на числовом луче с углом равным нулю. Бабушка бы сказала, что эта единица – «иное тора лоно» или  «не тора-льная». Она не образует Миров, она их как бы фиксирует.

            - Ну, хорошо! Я думаю, нам следует сделать несколько твоих сообщений, чтобы потом в некотором комплексе приступить к обсуждению наших соображений. Попробуй к следующей встрече подготовить сообщение об известных тебе числовых константах.
              - Хорошо, Учитель, попробую.

              С числовыми константами оказалось работать не легче, чем с единицами. Что за чем следует, с чего надо начинать и как определить природу этих «фундаментальных» чисел? Мальчик решил рассматривать числовые константы не с наиболее знакомых и часто употребляемых, а с тех, которые определялись через натуральные числа.

               - Учитель, мне думается, что важнейшими константами в числовом вещественном Мире являются те, которые определяют пространство, то есть фигуры, а значит их «углы и лучи». Сами эти константы определяются  через натуральные числа.

                Первой такой константой можно считать число 360. Это градусная мера «полного» угла. Через натуральные числа можно записать:

                360 = (1*2*3*4*5)*3     или
                360 =  5!*3 ,     это краткая запись через факториал.

Через эту константу определяются все углы различных фигур. Очень удачное число, делится нацело на многие числа, и все углы известных правильных фигур выражаются целым числом градусов.

             На мой взгляд, особенно важным является угол  36 градусов, это центральный угол правильного десятиугольника. Он же связывает две числовые константы «Пи» и «Ф». И угол зрения человека – 35 градусов, близок  к этому углу.

             Число 36 считалось священным у Пифагора и его учеников. Число 36 получается как результат деления 360  на 10. Число 10 это сумма первых четырех чисел:

       1+2+3+4 = 10 ,     а число 36 сумма первых восьми чисел натурального ряда:
       1+2+3+4+5+6+7+8 = 36.

            Для числа 10 справедливо выражение:

                1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = 10^2.
  Для числа  36 справедливо:

      1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 = 1296 = 36^2.

      И число 10, и число 36  – так называемые треугольные числа, очень интересные числа:
                1,  3,  6,  10,  15,  21,  28,  36,  45,  55,  66,  78,  91,  105,  120,  136,  153,  171,  190…

 Они получаются как корни квадратные из суммы кубов чисел натурального ряда или просто добавлением числа натурального ряда к предыдущему корню. Очень любопытное занятие «извлекать» эти корни.   

                Следующей числовой константой можно считать константу «Ф», константу Фибоначчи. В литературе оно больше известно, как «золотая пропорция», как «золотое сечение» и прочее. Мы с Папой считаем, что самое подходящее название для этого числа  - «константа Фибоначчи». Фибоначчи определил очень важную числовую последовательность с этой константой. А правильные фигуры: пятиугольники, десятиугольники и им подобные содержат эту константу в качестве сторон и в их отношениях.

                С легкой руки художников эта константа «позолотилась» и утратила свое фундаментальное математическое значение. Она редко используется в практике вычислений, ее нет даже в самых «продвинутых» калькуляторах.

               Проявляется эта константа через корень квадратный из числа «5»:   5^(1/2) = 2.236067977   в самом простом прямоугольном  треугольнике со сторонами, равными: 1, 2 и 5^(1/2). Формула для ее вычисления имеет вид:

                Ф = (5^(1/2) + 1)/2 = 1. 6180339…

Эта формула получается как решение квадратного уравнения:

                Х^2 – Х – 1 = 0 ,   где  его корни  Х1  и  Х2  равны:
                Х1 = Ф = 1.6180339887…    и    Х2 = 1/Ф = -0.6180339887…

                Самые интересные свойства этой константы были мной описаны в соотношениях с вещественной единицей. У этой константы очень интересные связи  с единицей, она как бы от единицы и получается, например:

                Ф^2 = 1 + Ф ,    или      Ф = (1+ ( 1+ Ф )^(1/2))^(1/2).

             Есть формулы с последовательностью квадратных корней из единицы, есть цепные дроби с единицей, и все это число «Ф». Интересны также выражения  с числами из последовательности Фибоначчи и с отрицательными  степенями его константы, числа «Ф». Результат – единица! Ну очень интересно!?

                1 = 1*Ф^(-1) + 1* Ф^(-2) ,    1 = 2*Ф^(-2) + 1*Ф^(-3) ,   1 = 3*Ф^(-3) +2*Ф^(-4) ,
                1 = 5*Ф^(-4) + 3*Ф^(-5) ,     1 = 8*Ф^(-5) + 5*Ф^(-6) ,   1 = 13*Ф^(-6) + 8*Ф^(-7) и  т. д.

             В этой последовательности единиц целые коэффициенты -  числа из последовательности Фибоначчи. А степени числа «Ф» - числа натурального ряда. В общем виде это можно записать:

                1 = F(k)* Ф^(-k) + F(k-1)*Ф^(-(k+1)) ,  где k = 1,2,3…

            В этой формуле заложена какая-то «диалектика»: степени константы Фибоначчи по величине уменьшаются, числа Фибоначчи растут, а единица,  в целом, остается постоянной.

            - Чудная последовательность! Это же эволюция числового Мира, а может и физического. Все дробится, уменьшается, но его становится больше и сумма произведений предыдущего и последующего делений остается постоянной, равной вещественной единице.

           - Да, я тоже чувствую в этой формуле что-то, пока не понятое. Одно мне ясно, что мы уже имеем две последовательности единиц. Я бы их назвал:  «последовательность единиц Эйлера» и «последовательность единиц Фибоначчи». Но о них надо думать отдельно…

         Сейчас я продолжаю дальше о числе «Ф». Вот некоторые формулы еще, связанные с числом  «5»  и соответствующими углами:

                Ф = 5^(1/2) – Ф^(-1)
                Ф = 2* cos (36 градусов) ,
                Ф = sin(72 градуса) / sin(36 градусов)

         Последние соотношения показывают связь константы «Ф» с правильными пятиугольниками и десятиугольниками. Здесь она определяет отношение сторон фигур, отрезков лучей.

                Получается, что константа 360 градусов определяет углы, а константа «Ф» = 1.618… определяет отрезки лучей. Любопытно в связи с этим отношение этих констант:

                360 / Ф^2 = 137.5…

               Числовое значение этого отношения приблизительно равно обратному значению физической константы, называемой «постоянной тонкой структуры» и обозначаемой символом "альфа". В этом отношении, наверное, есть какой-то физический смысл?… 

                Через константу «Ф» можно выразить все целые числа первой десятки, например:

               1 = Ф^(-1) + Ф^(-2) ,    2 = Ф + Ф^(-2) ,    3 = Ф^2 + Ф^(-2) ,    4 = Ф^2 + Ф^0 + Ф^(-2) ,
                5 = Ф^3 + Ф^(-1) + Ф^(-4) ,     6 = Ф^3 + Ф + Ф^(-4) ,     7 = Ф^4 + Ф^(-4) …

             У константы «Ф» много и других замечательных свойств.  Хотел закругляться, ну вот еще одно интересное. Если приближать окружность десятиугольником, то периметр единичной окружности будет:   
                длина окружности = 2* Пи = 6.28… ,  а периметр правильного единичного
              десятиугольника     = 10*Ф^(-1)  = 6.18…

                Вообще же эта константа, правы и художники, устанавливает гармоничные пропорции отрезков и углов  в правильных или гармоничных фигурах.

                Сейчас эта константа вызывает значительный интерес не у профессионалов, а у любителей математики, думаю, что в скором времени она станет в математике не менее важной, чем,  пожалуй, самая фундаментальная математическая константа – число «Пи».

                -Да,  мы с твоим Папой преклоняемся, конечно, вслед за Пифагором (шутка!), перед этим, поистине, «магическим»  ЧИСЛОМ. Ведь оно определяет и твои предыдущие константы и, думаю, все последующие. Прости, не удержался!

               -Согласен! Даже в лексике русского языка это «преклонение» отмечено ( шутка!) – простите. Название этой константы произошло от греческого слова «периферия», что означает «окружность». Но первая буква («П») этой константы отмечена особо в русском языке, в его лексике. Бабушка в полемике с Папой цитирует своего любимого Владимира Даля:

            « Это любимая согласная русских…, и занимает собою…четверть всего словаря».

             Принятое определение для этой константы:
         «Пи» - отношение длины окружности к ее диаметру или  «Пи»  =  L / D.
Формула как бы очень простая, но само число «Пи» не из «простых», как известно, это иррациональное и трансцендентное число. Оно не вычисляется из простых уравнений.

             Для вычисления числа «Пи» используют знакопеременные ряды или статистические методы, например, метод Бюффона. Мне, конечно, очень удивительно, что в этом методе иголки «знают» как им надо падать, чтобы в результате появилось это самое число.

            Существуют и достаточно изящные формулы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами, но они тоже приводят к вычислению бесконечных числовых рядов. Например:

                Пи  =  6 * arctg ( 1 / sqrt( 3 ))         

             Интересно еще одно соотношение, связывающее константу «Пи» с константой «Ф»:

                Ф  =  2 * cos ( Пи / 5) , 
из этой формулы число «Пи» определяется как:
                Пи  =  5 * arcos ( Ф / 2).

               Очень хочется добавить еще:

                1/Ф = 2 * sin (Пи/10) ,    отсюда
                Пи = 10 * arcsin (Ф^(-1)/2).

             Число  «Пи», впервые проявляясь в длине окружности, принимает участие во многих важных математических формулах. Я ее видел с большим целочисленным коэффициентом даже в формулах теории относительности Эйнштейна. А все формулы экспоненциального роста  и падения просто не могут обойтись без числа «Пи».

             О числе «Пи» говорят: «Одно из самых важных и интригующих чисел в математике». К нему проявляют большой интерес и профессионалы и любители. Его вычисляют на компьютерах с триллионным количеством знаков, пытаясь найти в них какие-нибудь закономерности. В практике вычислений в различных областях используют приближенное значение этого числа с необходимым количеством знаком после запятой:
                Пи = 3. 141592653589793…

            В комплексной области число Пи можно выразить через мнимую единицу, через отрицательную единицу, логарифм и число «е». Вот некоторые формулы:

                Пи = ln(i^2)/i        или
                Пи = ln(-1)/i         или
                Пи = -i*ln(-1)        или
                Пи = -2*i*ln(i) ,

Что интересно, число «Пи» выражается через логарифм, как бы еще до появления числа «е».

            Что еще следует сказать о числе «Пи»? Существует много интересных формул, дающих приближенное значение «Пи» с довольно большой точностью. Наверное, здесь есть какой-нибудь более глубокий смысл, ведь приближают же иногда окружность каким-нибудь n-угольником.

            Что для меня интересно в этом числе? С позиций «угла и луча», оно как бы объединяет в себе эти два элемента фигур. С одной стороны это «радианная» мера угла, с другой – это просто длина. Конечно, это длина «завернутая» или «свернутая», но все-таки – длина.

            Кстати, Учитель, вы представляете, моя Бабушка мои «углы и лучи» ассоциирует со «щитами и мечами». Она говорит: «Твой «полный угол» это же «щит», а твой «луч» это «меч». Эти образы, наверное, можно перенести и на константы «Пи» и «е», если хорошо подумать. Получается, это как бы «щит» и «меч».

            И еще, я бы взял на себя смелость определить число «Пи», как длину окружности с радиусом, равным  1 / 2 и как  1 / 2 полного угла в радианной мере.

           Умножение на число «Пи» любого числа это уже его поворот? Хотя умножение и само по себе поворот, а вот на «Пи» какой-то особенный?...

           - Пусть тебя это не смущает. Мы еще не все с тобой узнали о числе «Пи». Это число поистине неисчерпаемо. А пока давай, что у тебя еще о константах?

            - Ну, теперь, наверное, о числе «е». Это число долго не проявлялось, хотя уже математики пользовались натуральными логарифмами. Потом логарифм стал гиперболическим, его значение вычислялось как площадь под гиперболой. И лишь позднее число «е» стало  основанием натурального логарифма, числом Непера, еще не получив самостоятельного значения. Оно определялось через логарифм по формуле:
                ln (e) = 1 ,
то есть,  «е»  это число, натуральный логарифм которого, равен единице.            

              «Вывел это число в свет», как говорит моя Бабушка, великий Эйлер. На этом числе основан весь Математический анализ. Там у него есть замечательные свойства. Но особенно это число интересно в комплексном исчислении.

              Число «е», так же как и число «Пи», иррациональное и трансцендентное и не имеет арифметических формул для своего выражения. Вычисляется это число как сумма ряда с натуральными числами и факториалами и имеет приближенное значение:
                е = 2.718281828459…

 Интересно, что и у числа «Пи», и у числа «е» только их дробная часть вычисляется с помощью рядов, целая как бы просто добавляется.

             Еще очень любопытно, что все три константы «Ф»,  «е»  и  «Пи», имеют целыми частями -  целые натуральные числа, соответственно:  1,  2,  и  3.  А дробные, очень «иррациональные», формируются как бы в другом Мире, в Мире вещественной Единицы.

           -Согласен с тобой. Это ты подметил любопытный факт. Но только число «Ф», его дробная часть, формируется в Мире вещественной Единицы. А числа «е» и «Пи», еще как и трансцендентные, формируются, скорее всего, в Мире другой единицы, отрицательной или мнимой. Но уж точно их дробная, иррациональная часть формируется в единичном Мире.

           - Учитель, получается, что Единица это не только «мера», но и граница?!
           -Похоже, что так. А что у тебя еще о числе «е»?

           Число «е» впервые обозначил так Эйлер, он же и записал самые интригующие формулы с этим числом, но это уже были формулы  с мнимой единицей. Например:

                e^(i*z) = cos (z) + i*sin (z) ,  для   z = 1  будет:
                е^i = cos (1) + i*sin (1),   отсюда
                е =  (cos (1) + i*sin (1))^(-i) , 
                а   для  z = Пи   формула  примет  вид:

                е^(i*Пи) = cos (Пи) + i*sin (Пи)    или
                e^(i*Пи) = - 1

                Последняя формула считается самой «мистической» во всей математике. Мы, Учитель, с Вами уже обговаривали эту «мистику».

              В комплексной области выражения для числа «е» можно записать:

                е = (-1)^(-i/Пи) ,         e = i^(-i*2/Пи) ,
                e = i^(2/ln(-1)) ,          e = (-1)^(1/ln(-1)

              В вещественной области интересны приближенные формулы:

                е = (Ф^2 + 9*Ф + 10)/10
                е = 1 / (100*альфа)^ Пи 

              Через константу «е» устанавливается связь между тригонометрическими и  гиперболическими функциями. Известно, асимптоты гиперболы это угол, поэтому эти функции похожи. Вот некоторые интересные соотношения, например:

                cos (z) = 1/2* (e^(i*z) + e^(-i*z)) ,  а
                cos (i*z) = ch(z) ,    а      ch (i*z) = cos (z) ,
отсюда можно получить все выражения для тригонометрических и гиперболических функций.

               Если немного преобразовать первую формулу, можно получить выражение для числа «Ф» через число «е», число «Пи» и мнимую единицу:

                Ф = е^(i*Пи/5) + е^(-i*Пи/5)
 
 Для числа обратного числу «Ф» формула будет:

                1/Ф = е^(i*2*Пи/5) – е^(i*3*Пи/5)     или:
                1/Ф = е^(-i*2*Пи/5 – е^(-i*3*Пи/5).

Из этих формул можно получить выражения для числа «Ф» только через «i»:

                Ф = i^(2/5) + i^(-2/5) ,
 
                1/Ф = i^(-4/5) – i^(-6/5) ,
 
для меня последние формулы почти «мистические»…

             - Да, любопытные формулы. А ты их проверял?
             - Конечно, я их вывел, а потом много раз проверял на комплексном калькуляторе, не веря глазам своим.

               Интересно еще одно соотношение для обратных величин чисел «е» и «Пи»:

                (1/е)^(1/Пи) = 0.727377…  ,
 
  это величина, приблизительно равная  постоянной тонкой структуры, умноженной на 100. Или иначе можно записать:

                е^(-1/Пи) = 100*альфа

               Или через величину, обратную "альфе":

                100*е^(1/Пи) = 137.5    

             Похоже, что число «е» так же «неисчерпаемо», как и число «Пи», и они почти всегда в одной связке, и об этих числах говорят, что они – «вездесущие». Вот примеры, может быть, повторюсь, некоторых соотношений:

                e^Пи  = (-1)^(-i) ,      e^(Пи/2) = i^(-i) ,
                i = e^(i*Пи/2) ,         -1 = e^(i*Пи)               

             Хотя есть формулы, которые связывают все три константы в вещественном Мире, например:

                10^3 * (Ф^2 + е^2 – Пи^2) = 137.5 ,    
 величина, близкая к обратному значению «постоянной тонкой структуры». Еще интересная приближенная формула:
   
                5/3^(1/2)/Ф*(е/Пи)^4 = 1 ,

   и еще несколько, их так много, не могу удержаться:

                1/Ф^3 + 1/е^3 + 1/Пи^3 = 1/Пи ,
                1/е^2 + 1/Пи^2 – 2*Ф^(-1) = -1 ,
                1/e^2 + 1/Пи^2 = 1/Ф^3 ,
                10^(-1)*e^(Пи/2) = lnФ ,
                1/3*Ф*е^(Ф^(-1)) =1
                e^2 + Ф^2 = 10

Последние две  формулы связывают только константы «е» и «Ф» без «Пи», как это в большинстве случаев.

             Наверное, в этих формулах есть какой-то более глубокий смысл, и может быть в комплексной области эти формулы точные, и только в вещественной приближенные…?

            Ну вот, что пока удалось «накопать» и «домыслить»?!. Теперь, Ваши замечания, Учитель, и о чем мы будем говорить в следующий раз?

            - Все замечательно! Но есть, конечно, и вопросы. Хотелось бы увидеть «е» и «Пи», как говорят «голенькими», то есть выраженными через  «i»,  и только. Как это получилось у тебя с числом «Ф».

            Хорошо бы сделать анализ только дробных, иррациональных частей этих трех констант. Просмотреть бы зависимости их обратных значений, ведь они все лежат в единичном Мире. Но это все, надеюсь, будет легче сделать, когда рассмотрим возможные числовые Миры.

             А, насчет «повторюсь» ты не беспокойся! Что говорит о повторении твоя Бабушка?
             - Она говорит: «Рэпэтицио эст матэр студиорум!»

             - Вот видишь, "повторение - мать учения" - оказывается это очень полезно. Повторяйся на здоровье! А в следующий раз попробуй что-нибудь сообщить нам с тобой о Числовых Мирах. Можешь привлечь геометрию, сделать какие-нибудь рисунки. Ведь Мир чисел в значительной степени геометричен?..

            - Хорошо, Учитель, постараюсь, что-нибудь «наковырять», как говорит мой Папа. И буду  думать над Вашими вопросами.

            К следующей встрече Мальчик так усиленно готовился, что вызвал немалое удивление у домашних. Он, как всегда рылся в справочниках, копался в Интернете, что-то спрашивал у «наблюдавших». Но тут он  еще, кроме формул, что-то рисовал, чертил, измерял, вывешивал на стену, сравнивал. Потом вырезал из бумаги модели, сворачивал, разворачивал, еще резал, фиксировал и измерял углы и отрезки. Похоже, проводил «натурный эксперимент».

          - Ты что, готовишь доклад к защите или сразу в Нобелевский комитет?
          - Да нет, за математику «нобелевские» не дают. Я просто хочу понять сам то, что другим уже известно. А без системы, как говорит «Пифагор», эти знания не осмыслить. Ищу связи!

          - А!? Ну, ну – ищи! Сам знаешь, «кто ищет…»?
           И мальчик искал… Со «словами» он, как всегда, обращался к Бабушке, а с формулами и геометрией к Папе.

          - Бабушка, слово «комплексный» от «комплекс»? И я его читаю, как «ком + поле + коса»?.
           - Правильно, «косу» тебе в руки – «коси»! Сейчас в этом «коси» видят «двусмысленность. А вот заметь, в математических «именах» очень много буквенных «комплексов» - «к+с». Наверное, в числовом Мире существует какая-то «косина» и наш язык это запечатлел.

            - Бабушка, спасибо тебе, я очень рад! Ты просто угадала, о чем я хотел спросить! Действительно, слова «экстерн»,  «экспонента», «касательная» и мой любимый «косинус» чем-то «косят». В них  буквенный комплекс «кс» указывает на «косину», как бы Папа не сопротивлялся…

             - Папа это делает, как мне кажется, для формы. Как говорят, и козе понятно, что вообще-то и весь наш Мир с какой-то «косиной»…

              Потом Мальчик пришел к Учителю и сказал: «Вот, что я придумал… Искал, искал – бесполезно, почему-то так никто не думает. Может это и глупости, но мне самому было очень интересно. И ведь в глупостях тоже надо убеждаться, чтобы их не повторять».

           - Конечно, Мальчик. Но имей в виду, что в каждой глупости есть доля истины. Уверен, мы найдем ее и у тебя.
           - Спасибо, Учитель. Так вот, существуют, по крайней мере, и, конечно, по моему мнению, два Числовых Мира: Вещественный и Комплексный. Эти Миры взаимосвязаны. Они имеют некоторые общие Единицы и общие числовые Константы.

           Считается, что комплексные числа являются «расширением» вещественных. Но сами вещественные числа получаются из комплексных, как их частный случай. Да и сами комплексные числа это очевидные суммы вещественного и мнимого слагаемых, по крайней мере, в двух формах их представления.

            Если же учесть, что константы «Пи» и «е» являются «трансцендентными», и не вычисляются по формулам в вещественном Мире, а вычисляются только в комплексном, становится понятным, что комплексный Мир шире вещественного и в некотором смысле включает его.

          Поскольку, Учитель, Вы позволили мне домысливать и фантазировать, я решил рассматривать оба эти Мира как единую числовую модель. Может даже некоторую «единичную» числовую Вселенную…?

          - Ну что ж, наверное, можно и так. Нам ведь детали с тобой пока не по силам. Для этого нужны специальные знания. А вот «глобально» можно фантазировать сколько угодно.

        - Последнее мое соображение основано на том, что все известные нам единицы происходят как бы от одной Мнимой, которая определяется, как:
                i = e^(i*Пи/2)

          А  вот формулы для выражения всего «комплекса» единиц в комплексном числовом Мире:

                i^0 = e^((i*Пи/2)*0) = 1 ,  это «целая» единица,
                i^1 = e^((i*Пи/2)*1) = i  , это сама «мнимая»,
                i^2 = e^((i*Пи/2)*2) = -1 , это «отрицательная»,
                i^3 = e^((i*Пи/2)*3) = -i ,  это обратная «мнимой»,
                i^4 = e^((i*Пи/2)*4) = 1 ,  это уже «вещественная» единица,

 с нее начинается Вещественный Мир, точнее в ней он образуется.

              Надо еще отметить, что целая единица в комплексном Мире это:

                1 = е^(0*i*n) = е^0,     а вещественная:
                1 = е^(2*Пи*i*n) , где n – любое целое число.

               Любое число в комплексном единичном Мире может быть записано как:
                z = e^(i*фи) , где «фи» - любой угол от «0» до «2*Пи».
Если угол «фи» будет меняться, формула с числом «z»  образует множество чисел, геометрическим местом которых, будет единичная спираль. Множество таких спиралей образует некоторую спиральную поверхность.

             Я долго искал физическую модель, подходящую для иллюстрации этой спиральной поверхности и решил предложить ну, например, поверхность «лопасти шнека». Каждая спиральная линия этой «лопасти» поворачивается на угол  (2*Пи) в горизонтальной плоскости и поднимается в вертикальной на некоторый угол.

            - Ну, если говорить только о линии, то тут не совсем «угол». Вся поверхность лопасти при одном полном повороте, действительно, поднимется на некоторый угол с вершиной на оси вращения.

            - Вообще-то, как на это посмотреть. Может быть и так. Папа говорит на «лопасть» - «ля-пасть». И, действительно, спиральная поверхность как бы открывает «пасть», поднимаясь на этот угол. А по моему, слово «лопасть» можно прочитать: «ля-пи сеть», то есть спиральная поверхность это «сеть» из ноты «ля» и числа «Пи».

            - Резонно. И очень любопытно!?
           - Получается, что «лопасть» это уж не такая бессмысленная геометрическая и физическая модель числового комплексного Пространства. Хотя, конечно, этот «образ» очень далек от оригинала, но на нем все-таки можно поупражняться. Да и лучшего пока нет.

            Учитель, хочу Вам рассказать, в качестве отступления, о Папиной реакции на «мою лопасть». Когда Папа увидел мою раннюю модель спиральной поверхности в горизонтальной плоскости, а «пасть» раскрывалась в вертикальной, он возмутился и воскликнул:

           - Как?! У вас комплексный Мир просто падает в «пропасть». А «пасть» - это же его «Лебединая песня».
            -Ну и что? А ведь и «пропасть», и «пасть», и «лебединая песня» -  это же может быть наш Вещественный Мир?

            - Еще чего!? Вот «старый и малый»!? Выковали «лопасть»! Это же «жесть»! А не лучше ли « попробовать на зуб» более мягкую модель: два волнистые «блина», один на другом, в противофазе. Здесь вам и спирально-волновой комплекс и «пещерки» готовы для «вещественного товара» - человека. Да и «пи-чурку» можно в «пи-щерку» – жечь «извлеченные корни». А!?...

              - А чего это Папа вдруг так?
               - А он был расстроен. Бабушка кормила двух наших котов. Они хотели вкусного еще, а Бабушка сказала: «Достаточно, милые, хорошего - понемногу». Папа удивился и сказал: «А почему? Хорошего должно быть достаточно. Все должно быть хорошим, всем хватать, чтобы и всем было хорошо. Ведь сказано же: «И вот хорошо всем».

              На это Бабушка ответила: «Вот там твой сын рисует Мир, скажи ему, чтобы нарисовал по этой формуле. Мало ли? Может когда-нибудь его проект реализуется. Ведь известно: «Нам не дано предугадать, как  слово наше отзовется…».

              Папа пришел в мою комнату посмотреть, что я там «судьбоносное» рисую. Увидел «Мир падения» - расстроился еще больше, потому так и сказал.
             - Ничего. Успокоится. Увидит, как «косое колесо» твоего комплексного Мира собирает ресурс и возвращает его в треугольный Вещественный Мир, и ему тоже станет «хорошо».

              - Спасибо, Учитель, за добрые слова, и как вы верно определили мою «лопасть» -«косое колесо». Это колесо разрезано по одно спице, раздвинуто по разрезу вдоль оси. Получилась, как сказала Бабушка, «прореха» или та же самая «пасть» треугольной формы.

              - Треугольная форма, конечно, будет только в разрезе.
              - Да, «прореха» или некоторая проекция «пасти» будет иметь вид треугольника. Я думаю надо сосредоточить внимание на этом «треугольнике». О комплексной спиральной поверхности мы знаем только из ее единиц, их пять и из соотношения констант. Все другое нам пока не доступно.

                А что треугольник? Вершина его лежит на оси «лопасти». А две стороны являются началом и концом всех линий спиральной поверхности. То есть, стороны его являются геометрическим местом чисел, выраженных формулами:

                i^0 = e^(i*0*n) = 1 ,     это целая единица – начало n-ой спиральной линии,
                i^4 = e^(i*2*Пи*n) = 1.0 ,  это вещественная единица – конец ее n-го витка.

              - Понятно, почему в комплексном Мире пять единиц. Две единицы стоят по обе стороны треугольного разрыва  спиральной поверхности. 

              -Учитель, Вы знаете, существует прекрасная модель для нашего «треугольного разрыва» – это же всем известный «треугольник Паскаля». Две равные его стороны состоят из единиц. Правда, единицы там считаются одинаковыми. На самом деле они разные: одна «закрученная», ее степень равна «4» и угол поворота равен 2*Пи. Другая единица полностью раскрученная, ее степень и угол равны «нулю».

             - Замечательно! Если треугольник Паскаля повернуть против часовой стрелки на угол 90 градусов, он станет прекрасно иллюстрировать нашу «треугольную прореху».

          -Получается, что этот треугольник и есть некоторый числовой Мир с вещественными числами.    
           - Скорее, некоторая проекция этого числового Мира с натуральными числами. Но даже по проекции о нем можно кое-что сказать.

           - Пожалуй, самое первое, это то, что он «эволюционирует», растут числа натурального ряда, как номера витков спирали комплексного Мира и очередного его «падения» в вещественный Мир – в Мир чисел «треугольника Паскаля». Растет все числовое содержимое этого треугольника.

           - Похоже, что своим «падением» комплексный Мир и создает Мир вещественный, постепенно шаг за шагом. Очередной шаг – образует очередную строку треугольника Паскаля. Правильно я тебя понимаю?

           - Да, я думаю, именно так. Еще немного об этом «треугольнике».Это без сомнения целый Арифметический Мир. Стороны треугольника -  бесконечные последовательности единиц. Здесь возможна одна из трех известных мне последовательностей. Может это и частный случай, так называемых, р - чисел  Фибоначчи. За единицами следуют числа натурального ряда.

             Суммы по «косой», то есть по диагонали – это обычная последовательность чисел Фибоначчи. Можно получить ее, суммируя по «прямой», если просто сдвинуть ряды в треугольнике Паскаля и образовать «треугольник Фибоначчи».

          Суммы чисел по строкам это соответствующие степени двойки, то есть:
                сумма чисел n-ой строки = 2^n .   
         Все числа треугольника Паскаля это известные биномиальные коэффициенты, вычисляемые по комбинаторным формулам как число сочетаний элементов.

         С ростом числа строк начинают проявляться в треугольнике числовые константы. Константа «Ф» появляется как предел отношения соседних чисел в последовательности Фибоначчи.

         Константа «е» как предел отношения произведения предыдущей и следующей строк на квадрат промежуточной. Константа «Пи» может появиться как площадь под гиперболой, построенной из отношений  соседних элементов строк. Или из их нормального распределения вдоль строки.

         Получается, что «полноценная» математика с иррациональными числами и константами появляется в вещественном числовом Мире на определенном этапе его развития, соответствующем этапу развития комплексного числового Мира.

         - Знаешь, Мальчик, я особенно пока не вижу влияния комплексного Мира на «разворачивание жизни» в «треугольнике».
           - Да, возможно, это и не очевидно. Но если бы комплексный числовой Мир не поставлял на очередную строку «треугольника» свою «закрученную единицу» слева или сверху, как хотите, разве стал бы продолжаться натуральный ряд, за ним и все «остальное»?!

            -Понятно! Но разве это может быть до бесконечности?
            - Скорее всего, есть какой-то поворот, но пока он не очевиден. Надо думать. Что к этому можно сказать? Как известно из «фрактальных подходов», начальный треугольник – равносторонний или близок к нему. И угол при вершине приблизительно равен 60 градусам. Потом проявляются закономерности с углом 72 градуса.

              Есть, конечно, и интересные промежуточные, например, 63 градуса. Этот угол связан с треугольником со сторонами 1,  2  и  5^(1/2). Начинает «пахнуть», как говорит Бабушка, числом «Ф». А 72 градуса это уже «пятиугольники», в том числе и «звездчатые».

            - Наверное, загораются звезды? Знаешь Маяковского, самого «коммунистического» поэта? Бабушка не говорила? «Если звезды зажигают, значит это кому-нибудь нужно…?».    

             - Да, конечно, говорила!  Я и сам Маяковского всего читал, мне у него многое нравится…
             - Молодец! У него, действительно, кое-что есть…!  А угол? У угла, конечно, есть предел. Но это очень долго!

              - Так. Наверное, так и есть. Должна же в числовом Мире где-то быть бесконечность?    
              - Пока о бесконечности говорить не будем. Я вот вижу строку треугольника, и она очень конечная? Сначала числа нарастают, а потом также падают. О чем это говорит?

              - Да, одна строка это очередной шаг «падения» комплексного Мира. Сначала у «закрученной» единицы достаточно ресурса, она наращивает числа, потом их уменьшает до нулевого уровня, до нулевой степени, то есть до  1.0^0 = 1. Здесь работает нормальный закон распределения. Его определяют числа «е» и «Пи».

              - Похоже, что в комплексном Мире, как мы уже когда-то говорили, все складывается, умножается, возводится в степень, то есть «закручивается». А в вещественном все вычитается, делится, извлекается, то есть «раскручивается», а может даже «расточается», как у людей.

               - Не похоже, а так и есть. Если в вещественном Мире, что-то складывается или умножается, то очень локально или на более низком уровне.

               - Учитель, Вы сейчас сказали о числовом вещественном Мире или о физическом, в котором мы живем?

                - Ты знаешь, большой разницы не вижу. Как в числовом Мире, так и у нас в физическом, биологическом и даже человеческом. Не случайно физический Мир называется вещественным и числовой тоже...
                Ну что у тебя еще о треугольнике, просто замечательная модель со всех сторон.? Умница был Блез Паскаль, таким увидел наш Мир.

               - Учитель, думаю, этот треугольник неисчерпаем как сам Мир. Он полон всего! Может на этом пока можно остановиться?

               - Ты устал, Мальчик!? Конечно, нельзя «объять необъятное». Но есть очень интересные вопросы по этой теме, которые хотелось бы обсудить. Не сегодня конечно!

                Мы с тобой не обговорили «отрицательный Мир». Он здесь как-то не вписался. Да и «мнимый», что это и где он?

               - Учитель, мы еще хотели о константах -  поглубже. Может быть о их физическом смысле? Это все в этой теме.
               - Правильно, Мальчик, и о треугольнике можно - поглубже! Давай посвятим этой теме несколько занятий. Ты особо не готовься. Пусть это будет  - «экспромт».

                - А потом хотелось бы просмотреть Папины «блины»!?
                - Конечно, дойдет очередь и до них. Может Папины «пещерки» в разрезе тоже треугольники? Только, где для них взять столько «единиц»?
                - Я задам этот вопрос Папе!

                Мальчик и Учитель пошли отдыхать. Мальчик, действительно, устал.  Наверное, так в первый раз. Он силился, но не мог уснуть. Это, наверное, потому что он долго и тщательно готовился. Потом напрягался, боясь, что Учитель не поймет его «рваную лопасть» и ее переход в «треугольник» и посмеется как Папа.

                Все обошлось, Учитель, как всегда понял его с полуслова. Даже предложил свою модель, свой образ – «косое колесо». «Надо об этом рассказать Папе,  а Бабушке об «экс-промте» - это тоже «косое» слово», -  подумал он, наконец, засыпая.    

                А ночью ему приснился сон… Сидит он за компьютером… И вдруг, в комнате какой-то неясный свет, и в нем все четче проявляются человеческие фигуры. Мальчик в недоумении встал, и прямо перед ним оказались пять молодых, необыкновенно красивых девушек.
               Одна, наверное, самая красивая, заметив его изумление и растерянность, сделала легкий жест рукой и сказала: «Садитесь, Мальчик, Вам будет так удобнее!»

               Мальчик сел. Тогда девушки, немного отодвинувшись, как по команде, сделали жест рукой и головой и почти пропели: «Приветствуем Вас, Молодой человек!» Мальчик автоматически привстал, тоже поклонился и сказал: «Здравствуйте!» И тут же сел, теперь уже боясь упасть.

            - Не смущайтесь! Вы о нас много думали, говорили и писали!  И вот – мы здесь! Мы – Единицы, те самые, которых Вы насчитали пять!?

             Говорила самая красивая, и в ее голосе прозвучал вопрос. Мальчик почувствовал вопрос, но он  боялся проронить не только слово, но даже и звук. Да и дар речи пока еще к нему не вернулся. И Единица, заметив его замешательство, продолжала: «Понятно, Вас так учили! Но Вы, все равно, молодец! Вы многое уже домыслили!»

            Мальчику опять стало не по себе. Он осознал, что Единица явно заблуждается, говоря о нем так. Ничего он не домыслил. Это  просто была его игра, и он что-то в ней «предполагал» - вспомнил вдруг нелюбимое слово Папы. Теперь Учитель в следующих беседах все его «предположения» отсеет как «плевелы», и останутся одни «зерна», которые всем известны.

           - Не смущайтесь! Во всех предположениях, если они по существу, всегда есть доля истины. И мы хотели бы Вас немного к ней «повернуть». Это, так сказать, некоторая награда за ваше усердие.

            Мальчику стало как-то легче. Свое «усердие» он осознавал и сам. Он «все это» просто очень  любил и ощущал себя счастливым, когда по теме что-то слушал, читал, писал или думал. Он, уже немного придя в себя, привстал, поклонился и сказал, неожиданно даже для самого себя: «Благодарю Вас Единица, я Вам очень признателен».

             Единица улыбнулась и продолжала:
         - Давайте поиграем в слова! Вы знаете, Мальчик, что связывает слова: синь, сень, сено, сон, и даже, нос?
           В другой обстановке он бы, конечно, что-нибудь придумал, близкое к ответу. Но сейчас он все забыл, даже то, что означали сами эти слова. Но молчать было неприлично, вопрос был поставлен прямо, а не по «косой». И он сказал: «Я могу об этом подумать?»

         - А не надо думать, вы это знаете! Это же информация, и всем известно, что «нос» ее проводник! А у слов «свет» и «тьма» какая связь?
           - Думаю, это две противоположности, - осмелел Мальчик.

           - Это с некоторой стороны! А, вообще-то, противоположностей в нашем Мире нет. Есть лишь некоторые его «состояния». Свет – это рассвет, но впереди у него закат. А тьма – это закат, но впереди у нее рассвет. Тьма это потенциал Света. Знаете выражение «все заканчивается закатом и только ночь рассветом»? Его можно понимать по разному…Это я к слову! Но сегодня я хочу говорить о Ваших «сообщениях».

           Посмотрите, пожалуйста,  внимательнее на моих спутниц. Что Вы можете сказать?
          - Это, наверное, Ваши сестра? У всех одно лицо!

          - Правильно, Мальчик, но это, скорее, мои дочери, это и есть «мои состояния». Все, что вы с Учителем рассматривали, как пять единиц – это всего лишь «состояние одной». И эта одна Единица – «единая» на весь числовой Мир, называется у вас «мнимой».

           - Но ведь, если бы назвали «единая Единица», было бы не лучше?!
           - Конечно, как я себя понимаю, Я – Единица «комплексная», ведь Единица Мнимая, это тоже одно из моих состояний. Подвожу итог: все пять единиц числового Мира это устойчивые состояния одной Единицы, пусть будет «комплексной». Сама она как бы явно не проявляется, а выражается через единицу мнимую и имеет ее обозначение. Вам это понятно, Молодой Человек?

             - Да, понятно, я и сам так думал об этом, но как-то не системно, а между прочим. Все понятно с Единицами. А как же константы? Что это?

            - А числовые константы «Пи», «е» и «Ф» - это устойчивые комбинации моих устойчивых состояний. Как тебе такое определение? Ты не возражаешь, если я перешла на «ты»?

            - Конечно, пожалуйста!
            - Константы, это то, что не меняется ни при эволюциях и ни при инволюциях. В сущности константы их и определяют. Соотношение констант, да и сами константы  – законы числового Мира. И это тоже Я – «комплексная» Единица. Я и состояния, и законы, и структуры, и все остальное, что есть в числовом Мире.

             В конечном счете, моя внутренняя структура определяет все, что происходит со мной, а  значит и с этим Миром. Ведь на этот счет известно мнение: «Природа сконцентрирована с невероятной емкостью в одной числовой структуре». Правильно, и эта числовая структура – «комплексная Единица», то есть Я.

           Тебе, Мальчик, не надоело «мое Я»?
          - Да нет! Я Вас понимаю!
          - Молодец! Я это делаю для краткости и что б тебе было легко запомнить.

          - Хорошо, спасибо! А что же все-таки константы, что это в физическом Мире?
          - Вы же говорите «числа «е» и «Пи» - вездесущи». А вам не приходило в голову, что число «Пи» это длина поперечных волн эфира, а «е» - продольных?

           - Нет. Ведь мы говорим не  об эфире, а о «физическом вакууме».
           - И «физический вакуум», и «эфир», и «микромир» – это тоже Я, -  «мелкой россыпью».

           - А что же тогда Числовой Мир?...
           - Правильно! Это адекватная модель реального Мира на некотором этапе его эволюции. На каком-то этапе его адекватно отображал ЗВУК, потом СЛОВО, сейчас ЧИСЛО. Но я думаю, теперь уже всем понятно, что целые и рациональные Числа это прошлое Реального Мира. Сегодня уже иррациональных чисел недостаточно, чтобы описать реальное состояние Мира. Нужны комплексные числа, и тогда все разрозненные теории срастутся.

           А коды вычислительных машин? Были десятичные, потом двоичные. Сегодня разрабатывают иррациональные, и этих уже недостаточно, нужны комплексные на основе «мнимой единицы». Мир становится мельче, нужны мелкие единицы!

          - А как же Вы?
          - Правильно! Я изящнейшая из Единиц! И мной можно описать очень тонкие вещи. Кстати, твои приближенные формулы, связывающие константы «Пи», «е» и «ф», они вчера еще были точными. Это вчерашний день и числового, и реального Мира. Сегодня «точными» являются только комплексные соотношения. Тебе ведь известны соотношения единиц?:

                i =   4.810477380965 ^ i ,
 
                - 1 =  23.140692632779 ^ i ,   и

                1 = 535.49165552476 ^ i      

            - Да, конечно, известны! Это обычные выражения!  А Вы – такая необыкновенная!?...
             Единица засмеялась.
            - Конечно! Благодарю за комплимент! Необыкновенная – Я сегодня, а завтра буду обычной! И это нормально!

           - Еще мне удивительно: меняются Звуки - пусть ноты, меняются Слова – растет их количество, меняются Числа – понятно как. А получается: из Звуков появляются Слова, из Слов – Числа… И можно сказать: «из «кроликов Фибоначчи» получились «люди»?

           - Вообще-то да! Только наоборот! Предшественниками людей были «кони»! Не удивляйся! Потом поймешь это сам. Сегодняшние кони это их вырожденные потомки – благодарная память Природы. А кролики – это возможное будущее. Хотя, последними из живых будут насекомые! Спроси у своей Бабушки, - почему?

           - Да!? Спасибо! Но я - в «шоке»!?
           - А ничего, это пройдет! Расскажи своему Папе, что такое Числа!
          - Да нет! Папа это не поймет, он фанат Чисел! Если я ему скажу о Вас, он сразу спросит:  «А она тебе не сказала, что «человек – это Бог «мелкой россыпью»?

         - Ну и ничего! Может это и правда!? Наши предки знали больше нас, они были «россыпью более крупной». Ну тогда, скажи Папе, что основное действие в Мире – это «дробление». Это он поймет на примере Целой и Действительной единиц. И думаю, несколько приблизится к пониманию «мнимой».

           Я это тебе советую, чтобы числовая Математика через тебя, твоего Папу, Учителя и других,  стала Математикой Гармонии. И Мир станет лучше. Все взаимосвязано, как говорит твоя Бабушка.

           Думаю, что Вы с учителем заметили - Мир сам идет вам навстречу: увеличилась «золотая середина» в последовательности единиц Фибоначчи, а значит и «свобода воли» у человека...
        «MEN-я вам в руки»! Меня-йтесь!

         И Мальчик проснулся… Сел на кровати и стал думать: «Кому первому рассказать сон? Учителю или Папе?»…
               
 
          
 


Рецензии
"...О словах «синус» и «косинус» Бабушка тоже имеет свое мнение. Она говорит, что «си-нус» это «си-нес» или «си-несу» а «си», как известно, самая высокая нота Октавы. ..."

Как права бабушка!!! Синус и косинус это те же семь нот, но в звучании...

Петро Март Нчук   23.05.2018 04:57     Заявить о нарушении
Очень рада, Петро, что наши взгляды на Мир: Ваши, мои и Бабушки в некотором смысле совпадают! С благодарностью и наилучшими пожеланиями, Мария!

Мария Мызникова   12.09.2018 13:43   Заявить о нарушении
На это произведение написаны 2 рецензии, здесь отображается последняя, остальные - в полном списке.