Математика вообще представляет собой «библиотеку» абстрактных схем эмпирических рассуждений, которые формируются в эмпирических областях знания. Абстрактные же их схемы строятся в математике посредством отображения структуры в специальной символике и формального развертывания построенных схем.
Г. Г. Цейтен, рассматривая отношение математических формальных средств и эмпирических рассуждений, отмечал, что можно было бы вполне обходиться и без первых, т.е. пользуясь только эмпирическими рассуждениями. Преимущество же математических абстрактных схем рассуждений в том, что они фиксируют, аккумулируют и как бы рафинируют опыт мышления, что позволяет не заниматься переоткрытиями уже найденных операциональных структур процессов мышления. Кроме того, формальное развертывание систем математических объектов позволяет находить схемы не только встречавшихся эмпирических рассуждений, но также и таких, которые в данный момент являются еще только возможными.
То обстоятельство, что одни и те же математические методы находят применение в содержательно различных областях науки, общеизвестно. Его адекватное объяснение и исследование связаны, видимо, с рассмотрением математических методов как абстрактных схем эмпирических рассуждений. Многочисленные иллюстрации этой точки зрения можно найти в истории математики.
Возвращаясь к "знаменитой" задаче о наполнении бассейна при наличии труб, как вливающих в него воду, так и наоборот, отметим, что математической формуле, описывающей операциональную структуру ее решения, может быть поставлена в соответствие пространственная фигура, имеющая вид древовидного графа. Его вершины служат для обозначения операций, а ребра - для обозначения операндов и результатов. Совокупность путей от корня к вершинам соответствует анализу задачи и построении упорядоченного перечня предписаний. Совокупность путей от вершин к корню соответствует выполнению найденных предписаний в установленном порядке.
Рассмотрение операциональной структуры процесса решения задачи "бассейн" выделило три различных способа ее задания: словесный, аналитический и графический. Содержательно они эквиваленты и различаются лишь по виду языковых знаков и выражений. Использование одного из этих способов зависит от того, в какой интеллектуальной системе выполняется соответствующий процесс мышления или же какие задачи решаются относительно самого этого процесса.
Аналогия между «бассейном», «рукописью» и «встречей» устанавливается на основе семантического анализа предложений, в которых формулируются эти задачи. Этот анализ связан здесь с использованием категорий «целое», «часть», «состав целого из частей», а также отношений между частями или частями и целым. Посредством перечисленных категорий характеризуются объекты, обозначаемые терминами, входящими в задачи.
Мы умышленно рассматриваем простой пример, чтобы обратить внимание на сложность автоматизации анализа условий задачи. Три способа представления операциональной структуры являются объектами логического исследования. А. А. Зиновьев полагает, что каждый исследователь умеет перейти от словесного рассуждения к рассуждениям в других языках (символических или графических). Но для организации интеллектуальных систем указания на «умения», «практический навык» и т.п. лишены содержания.
Использование указанных категорий позволяет устанавливать аналогии между содержательно различными задачами и тем самым сводить нерешенные задачи к задачам, уже решенным. Но семантический анализ, разработка категорий и связанных с ними правил являются в значительной степени практическим навыком и не имеют еще теоретических основ, сопоставимых с синтаксическим анализом операциональной структуры процессов мышления и отношений между задачами.
Следуя за С.О. Шатуновским, будем считать любую учебную задачу, для человека, понимающего язык данной науки свободно (т.е. владеющего тезаурусом этого языка необходимого объема и знающего его морфологию и синтаксис), языковым описанием какой-либо ситуации. Причем, используя идею А.И. Колмогорова, будем считать эквивалентными и язык математики, и язык алгоритмов, и любой другой естественный или искусственный язык, на котором правильно и полно эта ситуация описана. Отсюда, любые неудачи при изучении какого-то предмета, в том числе школьные проблемы в изучении математики, не более чем:
- результат недостаточных усилий по приобретению тезауруса языка математики необходимого объема и
- незнание элементарных правил орфографии и синтаксиса этого языка.
Попытки объяснить неудачи своей неспособностью к какой-то науке, той же математике, в итоге приводят к систематическим неудачам и в дальнейшем, при изучении других предметов школьного курса. Почему, плохо зная язык математики, и плохо думая на этом языке, учащиеся надеются, что при изучении языка других наук не произойдет того же самого? И причина не в их неспособности к изучению этого языка, а недостаточный уровень мотивации, а отсюда недостаточность усилий по его изучению.
Успехи учащихся, все равно будут ли эти науки гуманитарные или точные, легко объясняются большим интересом к предмету, более высоким уровнем мотивации, большими, но, в связи с повышенным интересом обучаемого, не столь заметными для него, временными затратами и интеллектуальными усилиями.
Помочь справиться с трудностями, возникающими у учащихся, учителя часто не могут, т. к. сами не осознают причины их возникновения, ограничиваясь таким, например, «советом», приведенном в книге Д.К. Фадеева «Алгебра 6-8» (Библиотека учителя математики. М.: Просвещение, 1983, 271 с.). : «…При решении подобных задач нет возможности дать какие-либо рекомендации, кроме общего совета – ПРИСМОТРЕТЬСЯ к частным особенностям системы и ПОДУМАТЬ как их можно использовать. Ограничимся рассмотрением примеров...». То есть эту рекомендацию надо понимать как подтверждение того, что – «Я сам не понимаю, как я это делаю, но делай как я и у тебя все получится!»
См. продолжение в других частях монографии "Микроструктурирование мышления ..." в этом же разделе моей страницы.