Симметрия тессеракта - модель объединения лептонов

\title{Симметрия тессеракта - модель объединения лептонов и кварков}
\author{Устин Валерьевич Чащихин}

\maketitle

\begin{center}
Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова, Москва, Россия
\end{center}

\begin{abstract}
Предложена модель объединения фермионов - лептонов и кварков - на основе симметрии тессеракта - 4-мерного гиперкуба - в 4-мерном пространстве Калуцы-Клейна.
Все лептоны и кварки рассматриваются как проявления одного фундаментального фермиона, что соответствует бритве Оккама.

Модель симметрии тессеракта удовлетворяет критерию фальсифицируемости Поппера.
Она предсказывает ровно столько лептонов и кварков, сколько мы и наблюдаем на опыте. Например, она точно описывает именно 3 левых нейтрино и 3 правых антинейтрино.
Эта модель проверяема на опыте - она предсказывает и естественно объясняет наличие массы у нейтрино, нейтринные осцилляции и невозможность 4-го поколения лептонов и кварков.

Эта модель объединения фермионов - лептонов и кварков - шаг к созданию единой теории материи.

\end{abstract}



\section{Введение}
Ранее было предпринято много попыток создания единой теории материи и единой теории поля [1-30].

В 2015 году была выдана Нобелевская премия по физике за экспериментальное открытие нейтринных осцилляций [31-33]. Это означает, что нейтрино имеют массу.
Однако Стандартная Модель предсказывает, что нейтрино должны быть бесмассовыми. Следовательно, Стандартная Модель противоречит экспериментальному открытию нейтринных осцилляций. Следовательно, Стандартная Модель должна быть пересмотрена или нам нужна другая, более общая теория, которая должна описывать физику частиц на более глубинном уровне и которая способна естественным образом объяснить физику нейтрино - факт их осцилляций и масс и иные свойства.

Данная работа - развитие в этом направлении.



\section{Теория Калуцы-Клейна: 4-е измерение пространства, проявляющееся как электрический заряд}
Для понимания данной модели объединения фермионов - лептонов и кварков - нам сначала следует рассмотреть вероятную физическую природу электрического заряда.

Как известно, теория Калуцы [1-2] объединяет уравения ОТО и Максвелла и выводит уравнения Максвелла из предположения о 4-м измерении пространства, которое, по гипотезе Клейна [3-4], скручено, компактифицировано, имеет конечную протяженность. Клейн [3-4] предложил рассматривать электрический заряд как проявление движения в 4-м измерении. И также, как и в модели атома Бора, конечная протяженность 4-го измерения пространства приводит к квантованости электрического заряда [3-4].

Резонно ли опираться на теорию Калуцы-Клейна? Она, хотя и не привела к экспериментально подтверждённым открытиям, но тем не менее она идейно содержательна, внутренне непротиворечива и не противоречит наблюдениям и пока не опровергнута экспериментально. Поэтому многие физики используют ее разновидности.

Какой физический смысл может иметь этот математический результат теории Калуцы-Клейна? Разумно и естественно сделать вывод, что кривизна 4-го компактифицированного измерения пространства проявляется как электрический заряд, а кривизна остальных бесконечных трех измерений XYZ проявляется только как гравитация.

В данной статье я использую этот вывод теории Калуцы-Клейна и получаются новые интересные результаты - объединение всех лептонов и кварков, которое полностью согласуется с экспериментом.

Обозначим 4-е компактифицированное измерение пространства буквой Q и тогда 4-мерное пространство обозначим XYZQ.

Поскольку заряды дискретны (0, +1, -1), а Q в теории Калуцы-Клейна имеет конечную протяженность, то из предположения о взаимосвязи Q с электрическим зарядом следует квантованность, дискретность движений частиц в 4-м измерении Q, о чем указал Клейн [3-4]. Также как электроны в атоме движутся по строго фиксированым атомным орбиталям, а не произвольно. И также как электроны в атоме могут совершать только квантовые дискретные переходы с одной орбитали на другую, при этом поглощая или излучая кванты энергии - фотоны. Аналогичным образом можно предположить наличие неких фиксированных орбиталей в Q, движение на которых соотсветствующих разному электрическому заряду элементарных частиц.

Значит, мы вынуждены ввести в Q некое квантовое число, соответствующее зарядам $Q=-1$, $Q=0$ и $Q=+1$. Что соответствует трем дискретным направлениям вектора компоненты импульса в Q или трем орбиталям: $-1, 0 и +1$.
 

\section{Модель объединения нейтрино и естественное объяснение нейтринных осцилляций}
\subsection{Теоретические предсказания}
Если, как показали опыты [31-33], нейтрино осциллируют, то можно предположить, что 3 нейтрино и 3 антинейтрино являются разными проявлениями одного фундаментального фермиона, который может переходить из одного состояния в другое и такие переходы могут выглядеть как нейтринные осцилляции.

Согласно линейной алгебре и квантовой механике, все частицы (и их волновые функции), которые не являются линейными комбинациями друг друга, представляют собой разные частицы. Тогда рассмотрим некий фундаментальный фермион, спин которого имеет некое направление. Понятно, что в 3-мерном пространстве может быть всего 6 таких различных фермионов, отличающихся перпендикулярным или противоположным направлением спина. Эти 6 направлений не являются линейными комбинациями друг друга и потому соответствуют разным волновым функциям и как следствие - разным частицам. Таким образом, эти 6 частиц можно описать через симметрию куба - направления их спинов перпендикулярны 6 граням куба. Поэтому их можно обозначить, например, так:
$$
\nu_{-x}, \nu_{-y}, \nu_{-z}
$$
$$
\nu_{+x}, \nu_{+y}, \nu_{+z}
$$
Очевидно, что в силу симметрии, эти 6 частиц можно разделить на 3 пары - 3 левых и 3 правых, которые являются зеркальными антиподами друг друга и которые можно рассматривать как 3 пары частица-античастица. Например, очевидно, что частицы $\nu_{-x}$ и $\nu_{+x}$ являются зеркальными антиподами друг друга - одна левая, а другая правая. Выбор право-лево произволен. Поэтому мы получаем, скажем 3 левых частицы и 3 правых античастицы.

Поскольку мы рассматриваем пока 3-мерное пространство, то в рамках теории Калуцы-Клейна импульс этих частиц в 4-м измерении Q равен нулю, поэтому все эти 6 частиц не участвуют в электромагнитном взаимодействии - имеют нулевой заряд и нулевой магнитный момент.

Итак, мы можем обозначить эти 6 электронейтральных фермионов - 3 левых частицы и 3 правых античастицы - соответственно 6 граням куба, например, так:
$$
\nu_{-x L}, \nu_{-y L}, \nu_{-z L}
$$
$$
\nu_{+x R}, \nu_{+y R}, \nu_{+z R}
$$
При этом следует обратить внимание, что если мы обозначили $\nu_{-x}$ как левую частицу $\nu_{-x L}$, то в силу данной симметрии не может существовать
правой частицы $\nu_{-x R}$. Так что данная модель предсказывает только 3 левых нейтральных фермиона и только 3 их правых нейтральных античастицы.

Легко видеть, что эти 6 фермионов можно отождествить с 3 левыми нейтрино и 3 правыми антинейтрино:
$$
\nu_{e L}, \nu_{\mu L}, \nu_{\tau L}
$$
$$
\bar \nu_{e R}, \bar \nu_{\mu R}, \bar \nu_{\tau R}
$$
Так что данная модель уже легко и естественно объясняет наблюдаемый на опыте факт того, что не существует ни правых нейтрино, ни левых антинейтрино.
Она совершенно естественно выводит только 3 левых нейтрино и только 3 правых антинейтрино, легко решая эту загадку века.
Иными словами, эта модель ставит знак тождества между правым нейтрино и правым антинейтрино, а также знак тождества между левым нейтрино и левым антинейтрино.

Обратите внимание, что Стандартная Модель не может объяснить данное явление - почему нейтрино только левые, а антинейтрино только правые. Но моя модель объясняет это совершенно естественным образом.

Очевидно, что каждая из этих частиц при эластичном соударении с иными частицами может изменить вектор своего спина на иное направление и так будет зарегистрирована как нейтрино другого аромата. Это совершенно простое и естественное объяснение механизма нейтринных осцилляций.

\subsection{Экспериментальная проверка теории}
Вышеупомянутое описание нейтрино в модели симметрии тессеракта идеально согласуется с экспериментом. Эксперименты могут проверить следующие предсказания данной модели:
\begin{enumerate}
\item Есть только 3 вида нейтрино и 3 вида антинейтрино - электронное, мюонное и таонное. Нет 4-го поколения нейтрино.
\item Есть только левые нейтрино и только правые антинейтрино. Не может быть ни правых нейтрино, ни левых антинейтрино.
\item Возможны нейтринные осцилляции для всех типов нейтрино и антинейтрино, каждое i-е нейтрино может превращаться в каждое j-е нейтрино, меняя при этом направление вектора спина.
\item Все нейтрино и все антинейтрино имеют массы.
\end{enumerate}
На современном уровне развития физики эксперимент полностью подтверждает эту модель.

Применим критическое мышление. Как можно опровергнуть эту теорию? Например, обнаружение 4-го нейтрино опровергло бы эту теорию. Также ее можно опровергнуть, обнаружив, например, правое нейтрино или левое антинейтрино.

Итак, есть согласующаяся с опытом модель, которая описывает 3 левых нейтрино и только 3 правых антинейтрино через один фундаментальный фермион и симметрию куба.


\section{Симметрия тессеракта объединяет все фермионы - все лептоны и кварки}
\subsection{Теоретические предсказания}
Для описания всех лептонов и кварков, включая электрически заряженные, рассмотрим теперь 4-мерное пространство XYZQ.

Согласно данной модели, 6 нейтральных фермионов - 3 нейтрино и 3 антинейтрино - описываются 6 гранями куба, квантованная координата которого в 4-м измерении равна нулю.
Для нахождения количества электрически заряженных фермионов рассмотрим количество граней у 4-мерного гиперкуба - тессеракта.
Как известно, тессеракт имеет 8 кубов и 24 грани и он обозначается символом Шлафли {4,3,3} [34-35].

Поскольку в Q есть три дискретных "орбитали", соответствующих зарядам $Q=-1$, $Q=0$ и $Q=+1$, то нам надо рассмотреть два тессеракта - один находится в $Q=-1$, а другой - в $Q=+1$. Тессеракт в $Q=-1$ имеет 6 граней куба, сдвинутого в $Q=-1$, 6 граней предыдущего нейтрального куба в $Q=0$ и 12 граней, их соединяющих. Также и тессеракт в $Q=+1$
 имеет 6 граней куба, сдвинутого в $Q=-1$, 6 граней предыдущего нейтрального куба $Q=0$ и 12 граней, их соединяющих.

Рассматриваемый нами фундаментальный фермион может иметь положения в пространстве, соответствующие всем этим граням двух тессерактов и только им.
Если в 3-мерном пространстве XYZ количество нейтральных фермионов определяется количеством граней куба и равно 6, то общее количество фермионов в 4-мерном пространстве XYZQ - количеством граней этих двух тессерактов. Эта модель естественно предсказывает следующее количество фермионов:
\begin{itemize}
\item На 6 гранях куба в $Q=0$ находятся 6 нейтральных фермионов, причем 3 левых и 3 правых, которые представляют собой 3 пары частица-античастица. Их мы уже рассмотрели выше. Это $\nu_{e L}, \nu_{\mu L}, \nu_{\tau L}, \bar \nu_{e R}, \bar \nu_{\mu R}, \bar \nu_{\tau R}$
\item На 6 гранях куба в $Q=-1$ находятся 6 отрицательно заряженных фермионов с зарядом $q=-1$, причем из них 3 левых и 3 правых. И каждый из этих фермионов параллелен своему нейтрино на нейтральном кубе. Их легко отождествить с отрицательно заряженными лептонами $e^-_L, e^-_R, \mu^-_L, \mu^-_R, \tau^-_L, \tau^-_R$.
\item На 6 гранях куба в $Q=+1$ находятся 6 положительно заряженных фермионов с зарядом $q=+1$, причем из них 3 левых и 3 правых. И каждый из этих фермионов параллелен своему нейтрино на нейтральном кубе. Причем каждый из этих фермионов является античастицей для каждого параллельного ему фермиона на противоположном отрицательном кубе противоположного отрицательного тессеракта в $Q=-1$. Их легко отождествить с положительно заряженными лептонами $e^+_L, e^+_R, \mu^+_L, \mu^+_R, \tau^+_L, \tau^+_R$.
\item На оставшихся 12 гранях отрицательного тессеракта в $Q=-1$, которые перпендикулярны этим 3 кубам и находятся в $-Q$ между вышеупомянутыми кубами с координатами $Q=-1$ и $Q=0$ - находятся 12 фермионов с {\bf дробным отрицательным зарядом}, причем из них 6 левых и 6 правых. Их легко отождествить с кварками и антикварками с дробным отрицательным зарядом - $d_R, d_L, s_R, s_L, b_R, b_L, \bar u_R, \bar u_L, \bar c_R, \bar c_L, \bar t_R, \bar t_L$.
\item На оставшихся 12 гранях положительного тессеракта в $Q=+1$, которые перпендикулярны этим 3 кубам и находятся в $+Q$ между вышеупомянутыми кубами в $Q=+1$ и $Q=0$ - находятся 12 фермионов с {\bf дробным положительным зарядом}, причем из них 6 левых и 6 правых. Их легко отождествить с кварками и антикварками с дробным положительным зарядом - $u_R, u_L, c_R, c_L, t_R, t_L, \bar d_R, \bar d_L, \bar s_R, \bar s_L, \bar b_R, \bar b_L$.
\end{itemize}

И все эти фермионы обладают спином 1/2 и массами покоя.
Судя по свойствам этих частиц, их легко отождествить с лептонами и кварками.
Причем, легко видеть, что это описание полностью соответствует наблюдаемому количеству лептонов и кварков с их наблюдаемыми свойствами -
6 нейтральных лептонов:
$$
\nu_{e L}, \nu_{\mu L}, \nu_{\tau L}
$$
$$
\bar \nu_{e R}, \bar \nu_{\mu R}, \bar \nu_{\tau R}
$$
6 отрицательно заряженных лептонов:
$$
e^-_L, e^-_R, \mu^-_L, \mu^-_R, \tau^-_L, \tau^-_R
$$
6 положительно заряженных лептонов:
$$
e^+_L, e^+_R, \mu^+_L, \mu^+_R, \tau^+_L, \tau^+_R
$$
6 правых и 6 левых кварков и 6 правых и 6 левых антикварков с дробным электрическим зарядом:
$$
u_R, u_L, d_R, d_L, s_R, s_L, c_R, c_L, b_R, b_L, t_R, t_L
$$
$$
\bar u_R, \bar u_L, \bar d_R, \bar d_L, \bar s_R, \bar s_L, \bar c_R, \bar c_L, \bar b_R, \bar b_L, \bar t_R, \bar t_L
$$

Почему данная модель предсказывает дробный заряд кварков? Потому что соответствующие кваркам грани тессерактов находятся между положениями 0 и $\pm 1$.

Обратите внимание, что данная модель точно предсказывает именно то, что есть на опыте - например, и правые электроны и левые электроны и правые позитроны и левые позитроны, но нейтрино только левые, а антинейтрино только правые. Квантовая механика описывает электрон 4-комнонентной волновой функцией, которая соответствует электрону и позитрону с правой и левой спиральностью - $e^-_L, e^-_R, e^+_L, e^+_R$. И именно это и есть на опыте.

Итак, данная модель полностью объединяет все три поколения лептонов и кварков и их античастицы через симметрию тессеракта.
Она полностью описывает их заряды и спины, в том числе и объясняет загадочный дробный заряд кварков.
Таким образом, количество лептонов и кварков строго соответствует количеству граней двух тессерактов в 4-мерном пространстве Калуцы-Клейна XYZQ.
Получается, что в данной модели можно рассматривать все лептоны и кварки как проявления одного фундаментального фермиона в 4-мерном пространстве Калуцы-Клейна XYZQ.


\subsection{Экспериментальная проверка теории}
Данная модель симметрии тессеракта предсказывает, что есть только 3 поколения лептонов и кварков, нет 4-го поколения лептонов и кварков.
На современном уровне развития физики эксперимент полностью подтверждает эту модель [36-40] и 6-й топ-кварк тоже был найден [40].

Применим критическое мышление. Как можно опровергнуть эту теорию?
Обнаружение 4-го лептона или 7-го кварка опровергло бы теорию.
Однако более тяжелые лептоны и кварки не обнаружены [36-42].

Итак, есть согласующаяся с опытом модель, которая описывает все фермионы - лептоны и кварки - единым образом - через один фундаментальный фермион и симметрию тессеракта в 4-мерном пространстве Калуцы-Клейна XYZQ.
Иными словами, в данной модели все лептоны и кварки можно рассматривать как разные энергетические уровни и разные направления в 4-мерном пространстве одного фундаментального фермиона.

Из этого следует, что все нейтрино и все антинейтрино должны иметь массу покоя. и это подтверждено на опыте [31-33].


\section{Сильные и слабые стороны модели}
Для объективного и полноценного анализа данной модели применим метод сильных и слабых сторон.

\subsection{Сильные стороны}
Представленная здесь модель объединяет все фермионы - лептоны и кварки - через один фундаментальный фермион и симметрию тессеракта в 4-мерном пространстве Калуцы-Клейна XYZQ.
Эта модель объединения является внутренне непротиворечивой и идейно содержательной теорией, которая отлично описывает экспериментальные данные и не противоречит эксперименту.

Сильные стороны этой модели таковы:
\begin{enumerate}
\item Эта модель объединяет все наблюдаемые на опыте фермионы - все лептоны и кварки, сводя их разнообразие к одному фундаментальному фермиону.
Это отлично соответствует бритве Оккама.
\item Она использует только 1 компактифицированное измерение пространства, а не несколько, что делает ее более выигрышной по сравнению с иными подобными теориями с позиций бритвы Оккама.
\item Она объясняет нейтринные осцилляции.
\item Она объясняет наличие массы у нейтрино.
\item Эта модель удовлетворяет критерию фальсифицируемости Поппера - она проверяема на опыте - нахождение 4-го лептона или 7-го кварка способно ее опровергнуть.
\end{enumerate}


\subsection{Слабые стороны, вопросы и перспективы}
Представленная здесь модель симметрии тессеракта - только один шаг к созданию единой теории материи.
И здесь остаются вопросы и проблемы для будущих исследований, например:

\begin{enumerate}
\item Эта модель не рассматривает цвета кварков и взаимодействие кварков. Потому что эта модель не рассматривает бозоны - кванты полей (фотоны, W, Z и H бозоны, глюоны и гравитоны). Потому что она объединяет только фермионы - лептоны и кварки, но она пока не является единой теорией поля. Она описывает лишь возможную единую структуру лептонов и кварков, но пока не их взаимодействия.
Эта модель - лишь статика, а не динамика. Так что эта модель - кандидат на единую теорию вещества, но здесь пока нет единой теории поля.
\item Эта модель опирается на гипотезу о 4-м измерении пространства и на теорию Калуцы-Клейна, которая тоже пока является незавершенной теорией [43].
\item Как можно экспериментально проверить наличие 4-го измерения пространства? А если его можно обнаружить, то каковы его топология, кривизна и протяженность?
\item Эта модель нуждается в математическом аппарате для описания лептонов и кварков в 4-мерном пространстве.
\end{enumerate}

Самое главное - здесь представлена непротиворечивая модель, объединяющая фермионы - лептоны и кварки - и описывающая их ключевые свойства.
Описание цветов кварков, глюонов и прочих бозонов и их объединение в рамках данной модели - это следующие шаги.

Структура элементарных частиц - передний фронт современной науки и крайне сложный вопрос. Поэтому от автора нельзя требовать, чтобы он дал ответы на все вопросы сразу.


\section{Благодарности}
Автор благодарит Константина Ковалева и Михаила Гончаровского за плодотворное обсуждение этой модели.



\small
\begin{thebibliography}{999}

\bibitem{1} T. Kaluza, Sitzungberichte Preuss. Akademie der Wissenschaften, Wien, {\bf 33} (1921) 966
\bibitem{2} T. Kaluza, To the problem of unity of physics. in: A. Einstein and the theory of gravitation (Moscow: Mir, 1979) p 529 (in Russian)
\bibitem{3} O. Klein, Z. Phys., "Quantentheorie und fu"nfdimensionale Relativita"tstheorie". Zeitschrift fu"r Physik  {\bf A37} (12): 895–906
\bibitem{4} Klein, Oskar (1926). "The Atomicity of Electricity as a Quantum Theory Law". Nature 118: 516

\bibitem{5} A. Garrett Lisi, 2007, http://arxiv.org/abs/0711.0770
\bibitem{6} O. Diego, http://arxiv.org/abs/0801.2839
\bibitem{7} R.M. Santilli, Found. Phys. Lett. 10:307-327, 1997, http://arxiv.org/abs/physics/9706012
\bibitem{8} M.W.Evans, A generally covariant field equation for gravitation and electromagnetism, Foundations of Physics Letters 16 (2003) 369–377.
\bibitem{9} M.W.Evans, The spinning and curving of spacetime: The electromagnetic and gravitational fields in the Evans field theory, Foundations of Physics Letters 18 (2005) 431–454
\bibitem{10} M.W.Evans, Generally Covariant Unified Field Theory, the Geometrization of Physics Vol.I, Arima Publishing, Suffolk, UK (2005)
\bibitem{11} M.W.Evans, Generally Covariant Unified Field Theory, the Geometrization of Physics Vol.II, Abramis Academic Publishing, publisher@abramis.co.uk (2006)
\bibitem{12} M.W.Evans, Generally Covariant Unified Field Theory - The Geometrization of Physics - Volume III, Amazon.com (2006)
\bibitem{13} M.W.Evans and H.Eckardt, The resonant Coulomb law of Einstein Cartan Evans theory, paper 63 of Evans' theory; http://aias.us/documents/uft/a63rdpaper.pdf
\bibitem{14} S.H.S. Alexander, (2007) http://arxiv.org/abs/0706.4481
\bibitem{15} V.Rychkov et al, JHEP 0803:005, 2008, http://arxiv.org/abs/0712.2903
\bibitem{16} M. Hutter, Algorithms 3:329-350,2010, http://arxiv.org/abs/0912.5434
\bibitem{17} A.V. Smilga, 2005, http://arxiv.org/abs/hep-th/0509022
\bibitem{18} N. Maru, AIPConf. Proc. 1015:152-158, 2008, http://arxiv.org/abs/0802.2379
\bibitem{19} Y. Kawamura, AIP Conf. Proc. 1015:159-177, 2008, http://arxiv.org/abs/0802.3261
\bibitem{20} A.Albrecht, Lect. Notes Phys. 455:323-332, 1995, http://arxiv.org/abs/gr-qc/9408023
\bibitem{21} V.Periwal, Phys. Rev. D55:1711-1713, 1997, http://arxiv.org/abs/hep-th/9611103
\bibitem{22} J.C. Romao et al, Phys. Rev. D77:055002, 2008, http://arxiv.org/abs/0707.2942
\bibitem{23} A.Perez-Lorenzana, Phys. Rev. D77:063507, 2008, http://arxiv.org/abs/0707.1678
\bibitem{24} W. Buchmuller, JHEP0709:113,2007, http://arxiv.org/abs/0707.1651
\bibitem{25} J.B. Dent, T.W. Kephart, Phys. Rev. D77:115008, 2008, http://arxiv.org/abs/0705.1995
\bibitem{26} P.J. Werbos, 2008, http://arxiv.org/abs/0707.2520
\bibitem{27} F.W. Hehl, http://arxiv.org/abs/physics/0703116
\bibitem{28} F. De Aquino, 1999-2013, http://arxiv.org/abs/gr-qc/9910036
\bibitem{29} H.Kragh, http://arxiv.org/abs/1510.04046
\bibitem{30} M. Tegmark, Annals Phys. 270:1-51,1998, http://arxiv.org/abs/gr-qc/9704009

\bibitem{31} Takaaki Kajita, Super-Kamiokande, Kamiokande collaborations, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 77:123-132, 1999, http://arxiv.org/abs/hep-ex/9810001
\bibitem{32} Super-Kamiokande Collaboration. Evidence for Oscillation of Atmospheric Neutrinos, Phys. Rev. Lett. V. 81. 24 August 1998, \bibitem{33}
\bibitem{34} H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes. Dover (1973)
\bibitem{35} http://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract

\bibitem{36} K.A. Olive et al. Particle Data Group, Chin. Phys. C, 38, 090001 (2014) and 2015 update, http://pdg.lbl.gov
\bibitem{37} K. Nakamura et al. Particle Data Group, J. of Phys. {\bf G37}, 075021 (2010), http://pdg.lbl.gov
\bibitem{38} R. M. Barnett et al, Particle Data Group, Phys. Rev. {\bf D54} (1996) n1 part 1, http://pdg.lbl.gov
\bibitem{39} CRC Handbook of chemistry and physics. (73rd edition, ed.D.R.Lide 1992-1993, Boca Raton, Ann Arbor, London, Tokyo) section 11
\bibitem{40} F. Abe et al. (CDF Collaboration), "Observation of Top Quark Production in $\bar pp$ Collisions with the Collider Detector at Fermilab". Physical Review Letters {\bf 74} (1995) 2626-2631

\bibitem{41} A. Romosan et al, Phys. Rev. Lett. {\bf 78} (1997 ) 2912
\bibitem{42} K. S. McFarland et al, Phys. Rev. Lett. {\bf 75} (1995) 3993

\bibitem{43} Williams, L.L. (2015). "Field Equations and Lagrangian for the Kaluza Metric Evaluated with Tensor Algebra Software". Journal of Gravity 2015: 901870. http://dx.doi.org/10.1155/2015/901870
http://www.hindawi.com/journals/jgrav/2015/901870/


\end{thebibliography}
\end{document}