Почему элементов четыре?

Андрей Охоцимский
Поставленный в заголовке вопрос не имеет прямого отношения к теме огня, но связан с самой концепцией составления мироздания из небольшого числа элементов. Развитие физики элементарных частиц во второй половине 20 века как нельзя лучше свидетельствует о живучести этой концепции. Почему? Может, это связано с тем, что человеческому уму трудно сосредоточиться на многих предметах сразу, и попытка охватить мысленным взором основы мироздания считается успешной лишь тогда, когда эти основы можно сосчитать по пальцам одной руки ...

История вопроса примерно такова. От Эмпедокла до 18 века включительно мироздание составляли из четырех элементов (огонь, воздух, вода, земля). В 19 веке возникла современная химия, и число элементов скакнуло до многих десятков. В 20 веке выяснилось, что атомы состоят всего из трех частиц: протонов, электронов и нейтронов, но к этому списку вскоре пришлось опять добавить несколько десятков частиц со странными названиями, которые в реальном веществе не встречаются, но почему-то считаются столь же важными, как и первые три. Казалось, что природа выходит из-под контроля, требуя изобретения новых частиц для каждого нового эксперимента на высоких энергиях. Но человечество опять сумело вернуться к искомой простоте, доказав, что весь этот цветник частиц складывается из нескольких кварков ...
 
Однако вернемся в античность. Хотя сама система из четырех элементов была предложена Эмпедоклом, он не ставил пифагорейский по духу вопрос: почему четыре? Этот вопрос был впервые поставлен Платоном и его ответ можно найти во вводной части диалога «Тимей» (31b – 32c). Тимей выводит количество элементов из размерности вселенной – ход мысли, удивительно актуальный в нашу эпоху струн и кварков. Тесная, почти интимная связь космического с микроскопическим – характерное свойство физики именно нашего времени. Но именно такая связь на сущностном уровне утверждается всей логикой диалога «Тимей». Платон излагает свое доказательство сжато, для специалистов-математиков своей эпохи, и его невозможно понять без развернутого предисловия. К этому мы и перейдем.

ЧИСЛО И ПРОПОРЦИЯ

Древнегреческие математики знали натуральный ряд целых чисел и четыре действия арифметики, но до концепции вещественного числа было еще далеко. Если современный школьник без колебаний проведет карандашом по линейке числовую ось и расставит на ней целые числа, как километровые столбы на шоссе, то древние профессора математики не имели понятия о таком практически удобном способе объединения целых чисел с дробями. И в самом деле, такое объединение таит свои опасности:  ведь целые числа и дроби – это довольно-таки разные по природе вещи. Вспомним печальную историю двоечника, получившего в ответе «два землекопа и две трети», т.е. нечто не только неправильное, но и прямо-таки кощунственное.

Дело в том, что целые числа занимают совершенно особое место, будучи результатом счета предметов. Предметы в принципе не делятся. Разрезанное яблоко – это уже не яблоко. Не будем и вспоминать об ужасной судьбе третьего землекопа... Что бы Вы не считали: дома, планеты, домашний скот – все это имеет смысл в виде целых количеств. Основа счета – единица, простая и неделимая сущность, основа мироздания. Напомним, что если древние семиты называли Бога «Сущим», а персы «Мудрым», то для греков он был «Единым». Раздел единицы разрушил бы основы греческого научно-философского мышления.

Поэтому дроби присутствовали в древнегреческой математике не как числа, а как отношения чисел, пропорции. Не случайно в современной школьной арифметике пропорции обозначаются тем же знаком, что и операция деления. Мало кто задумывается, что это в сущности совсем разные вещи. Результат деления есть число, точка на числовой оси, т.е. некое количество. А пропорция это и есть пропорция, т.е. отношение чисел, совсем другое понятие. Эту разницу греки прекрасно ощущали. Деление для них было осмысленно лишь для чисел, делящихся нацело. А вот пропорции можно было составлять из любых чисел, скажем 2:3 или 4:6. Числовые отношения можно сравнивать. К примеру, два только что приведенных числовых отношения равны. В современной математике использование дробей в качестве чисел намного важнее и вытесняет пропорции на обочину, оставив за ними место небольшой главы в начальном курсе алгебры. В вузовских курсах математики и в практических вычислениях пропорции используются лишь изредка.

КВАДРАТНЫЕ ЧИСЛА И ОДИНАРНЫЕ ЧИСЛА-СВЯЗКИ

Итак, греческая арифметика базировалась на двух китах: целых числах и пропорциях-отношениях. И те и другие исследовались и классифицировались. Изучение свойств целых чисел привело  к открытию множества понятий и теорем, объединяемых в наше время в раздел математики, называемый «теория чисел». Для понимания рассуждения Платона ознакомимся с двумя классами чисел: квадратные и кубические. Квадратные числа – это квадраты целых чисел (1, 4, 9, 16, ...), а кубические – это кубы целых чисел (1, 8, 27, 64, ...). Значение этих двух числовых рядов заключается в их геометрической интерпретации. Если простые целые числа могли обозначать целые длины, то квадратные обозначали площади квадратов со сторонами целой длины, а кубические – объемы «целых» кубов. Таким образом, ряд квадратных чисел виделся как двумерный аналог натурального ряда, а ряд кубических чисел – как его трехмерный аналог. Соответствие между целыми числами и геометрическими фигурами воспринималось как фундаментальный физический факт, раскрывающий важный аспект мироустройства.

Заметим, что между любой парой квадратных чисел имеется число-связка, являющееся произведением линейных основ обоих квадратных чисел, т.е., на современном языке – среднее геометическое. Например, линейной основой квадратного числа 4 будет 2, а линейной основой квадратного числа 9 будет 3. Тогда числом-связкой между 4 и 9 будет 6=2х3. Это число, уже не квадратное, является площадью прямоугольника со сторонами 2 и 3, который может быть связкой двух квадратов в прямом геометрическом смысле. Представим себе прямоугольник 2х3 и два примыкающих к нему с боков квадрата: квадрат 2х2 будет примыкать к стороне «2» прямоугольника, а квадрат 3х3 будет примыкать к стороне «3». Получается целостная фигура, напоминающая «пифагоровы штаны» (см. иллюстрацию).

Тройку чисел, составляющую два квадратных числа и их связку можно выразить алгебраически так: [PxP;  PxQ;   QxQ] . Подчеркнем, что для любых целых квадратных чисел, число-связка существует и тоже является целым. Такую тройку чисел называли геометрической пропорцией. Пропорция – это равенство отношений. В данном случае, отношение большего квадратного числа к числу-связке равно отношению числа-связки к меньшему квадратному числу и равно отношению их линейных основ:

QxQ / PxQ = PxQ / PxP  = Q/P.

С древнегреческой точки зрения, это равенство отношений было важным аспектом единства и совершенства такой тройки чисел.

КУБИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И ДВОЙНЫЕ СВЯЗКИ

Для кубических чисел требуется две связки, так что эта формула принимает вид: [PxPхP;  PxPxQ;   PxQxQ; QxQxQ]. Рассмотрим её геометрическую интерпретацию. Имеем два куба и два прямоугольных параллелепипеда-связки. Начнем с параллелепипеда-связки PxPxQ. К его квадратной грани PxP можно приклеить куб PxPхP. К его неквадратной грани PxQ можно приклеить неквадратную грань PxQ второго параллелепипеда-связки PxQxQ. Далее, к квадратной грани QxQ второго параллелепипеда-связки PxQxQ можно прилепить куб QxQxQ. Получается не слишком изящная, но прочно связанная конструкция, напоминающая орбитальную станцию, собранную в пустоте из примыкающих друг к другу и торчащих в разные стороны блоков.

Подчеркнем, что для кубических чисел нельзя обойтись одной связкой. Действительно, если бы существовал прямоугольный параллелепипед, способный быть связкой двух кубических чисел PxPхP и QxQxQ, то у него должно было быть две квадратные грани: PxP (для приклеивания куба PxPxP) и QxQ (для приклевания куба QxQxQ). Но такого параллелепипеда не существует. Параллелепипед, имеющий квадратную грань PxP и не являющийся кубом, должен иметь 4 одинаковых неквадратных грани PxQ, через которые он мог бы соединиться с другим параллелипепедом, имеющим такие же неквадратные грани PxQ и квадратную грань QxQ. Таким образом, необходимость двух связок вытекает из наличия у пространственных фигур трех измерений. Имеется и арифметический аргумент: среднее геометрическое двух кубических чисел как правило не будет целым.

Геометрическая пропорция в кубическом случае распадается на две пропорции:

QxQxQ / PxQxQ = PxQxQ / PxPxQ = PxPxQ / PxPxP = Q/P.

Все три отношения опять-таки равны Q/P. После этого предисловия можно перейти к самому доказательству.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО  ПЛАТОНА

Рассуждение Платона не является доказательством в строгом математическом смысле. Это скорее правдоподобное рассуждение, опирающееся на систему понятий античного научного мышления. Его можно разделить на 6 шагов.Мой вольный пересказ платоновского текста не является научным переводом и следует в основных чертах английскому переводу Корнфорда.

1.Огонь и земля необходимы для мироздания (31b)

Мироздание должно быть твердым, осязаемым. Кроме того, оно должно быть видимым. Но ничто не может быть видно без элемента огня (из легкой фракции которого состоят световые лучи). Ничто не может быть твердым без присутствия элемента земля. Поэтому Демиург-творец должен был сразу понять, что для творения мира ему нужны огонь и земля.

2.Огонь и земля должны быть связаны (31c)

Однако всякие две вещи, предназначенные быть частью целого, должны быть соединены. Иначе они распадутся. Соединение должно осуществляться при помощи третьей вещи – скрепляющей их связки. Лучшая связка (а Демиург стремится все делать только наилучшим образом) должна обеспечить единство результата соединения в наиболее полном и совершенном смысле. Примером такой совершенной связки служит геометрическая пропорция, т.е. рассмотренная выше тройка, состоящая из двух квадратных чисел и их среднего геометрического.

3.Совершенство геометрической пропорции (32a)

Геометрическая пропорция образует совершенное единство, так как в ней последнее относится к среднему как среднее к первому. И наоборот, первое относится к среднему как среднее к последнему. Таким образом, среднее имеет шанс побыть первым и последним; последнее может побыть в роли среднего; первое может действовать как среднее и последнее.

Здесь имеется в виду симметричность участия трех компонент в геометрической пропорции, выраженной словесной формулой. Действительно, ведь можно сказать, что «первое относится к среднему, как среднее к последнему», либо что «среднее относится к последнему, как первое к среднему», либо что «последнее относится к среднему, как среднее к первому». На первом, среднем и последнем местах в этих математически эквивалентных фразах фигурируют поочередно все три числа.

4.Трехмерность вселенной (32a-32b)

Если бы вселенная была плоской, одной связки было бы достаточно. Но вселенная трехмерна и состоит из объемных тел. А для связывания двух объемных тел разного размера (подразумевается, что частицы огня – маленькие, а земли – большие) необходимы две связки.

5.Вода и воздух как две связки между землей и огнем (32b)

Поэтому Демиург расположил воду и воздух между землей и огнем как две связки и сделал их пропорциональными, чтобы огонь был к воздуху тем же, что воздух к воде, а воздух к воде тем же, что вода к земле. И таким образом он создал вселенную видимой, осязаемой и связанной.

6.Заключение (32c)

Вот почему космос состоит именно из четырех элементов, согласующихся друг с другом при помощи пропорции. Из этой пропорции вселенная получила Любовь, так что вселенная не может быть разрушена иначе как тем, который её создал.

ЧЕТЫРЕ ЭЛЕМЕНТА ПЛАТОНИЗМА

Использование Любви в конце рассуждения выглядит необязательным. Очевидно, Платон не может игнорировать диалектику Эмпедокла, у которого мир создается действием двух противоположных сил: Любви и Вражды. Ведь именно у Эмпедокла он заимствовал концепцию устройства мира из четырех элементов, которые должны быть чем-то соединены. Характерно, что о Вражде Платон не вспоминает. А Любовь он здесь привлекает лишь для пояснения того, как из его математической теории выводится то все-соединяющее действие, которое Эмпедокл «феноменологически» приписывает Любви как «физической» силе. Подчеркнем, что Любовь не является у Платона атрибутом Божества. Платон далек от христианской формулы «Бог есть любовь». Все основные принципы принадлежат неизменному миру вне-временных идей-сущностей, а Демиург лишь использует их в своем дизайне мироздания, формируя мир в соответствии с вечными принципами единства и совершенства.

Этот маленький кусок из диалога «Тимей» иллюстрирует свободное использование Платоном наследия всех основных предшестввовавших философских школ, в первую очередь пифагорейской, из которой взят основной принцип объяснения мироздания через свойства чисел. От элейцев он взял принцип неизменности реально сущего, разработав на его основе концепцию вечного мира идей. От атомистов он позаимствовал теорию строения вещества, которая будет обсуждаться в следующем очерке. Подобно тимеевскому Демиургу,  приготовившему субстанцию мировой души, смешивая в своей чаше разнородные компоненты, Платон формирует здание своего вечно актуального учения, замешивая и переплавляя в горниле своего творчества все лучшие достижения предшествовавшей греческой мысли.

ЛИТЕРАТУРА

F. M. Cornford. Plato’s cosmology. NY. Liberal Arts Press, 1937.